专题02 分式（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材湘教版

专题02 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 能识别分式并确定定义域（分母≠0） 高频易错：忽略隐含条件（如需同时满足且） 幂的运算法则 熟练运用幂的运算公式进行分式化简（新增内容） 命题趋势：与分式乘除、科学记数法结合考查（如） 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，规范书写步骤 易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等） 跨学科题型：与物理、化学中的浓度问题结合考查（如溶液混合问题） 知识点01 分式的概念及其基本性质 分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 示例：计算： 需通分： 易错点： 异分母加减时直接相加分母（如） 漏乘分子：通分时未对分子整体乘因式（如漏乘或） 知识点03 分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 示例：计算： 转化为乘法： 易错点：未颠倒除式直接相乘（如误为） 约分不彻底：应化为而非 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05 整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 示例： 计算： 幂的运算： 易错点： 混淆公式：误为 负指数变形错误：误为 知识点06 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 示例： 解方程： 去分母得 解得（验根为增根，无解） 易错点： 漏乘无分母项（如方程两边同乘时漏乘“3”） 未验根：解分式方程必须检验分母是否为零 题型一 分式有意义的条件与值为零 解｜题｜技｜巧 双条件判断：分式值为零需同时满足分子=0且分母≠0 隐含条件：分母≠0在化简过程中始终成立（如解分式方程时） 易｜错｜点｜拨 漏验分母：如求分式值为零时，易忽略的条件 混淆概念：误认为分式无意义时值为零 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 即应满足， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型二 分式化简中的符号处理 解｜题｜技｜巧 统一负号：将分母最高次项系数化为正数 变号法则：，但 分子添括号：多项式分子在约分时需保持整体性 易｜错｜点｜拨 约分丢负号：如误为 通分漏乘： 【典例1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 【变式3】（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分．把分式的分子和分母因式分解，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型三 整数指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 负指数转化：（注意） 科学记数法：（指数为小数点移动位数） 易｜错｜点｜拨 混淆法则：误为 符号错误：误为 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘除，先算幂的乘方，再算同底数幂乘除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了有理数乘方、零次幂等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 方程 成立的条件有三种：底数为1；底数为且指数为偶数；指数为 0 且底数不为0．分别求解并验证即可解答． 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先将算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，最后进行加减计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、负整数指数幂和零指数幂．先计算绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 题型四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 解方程步骤：去分母→解整式方程→验根 增根判定：使最简公分母=0的根必为增根 易｜错｜点｜拨 漏乘项：如解时，易漏乘常数项 未检验：直接写出整式方程的解 【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）若关于的方程无解，则的值是（   ） A．2 B．0 C．2或 D．2或0 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程无解、增根的定义是正确解答的关键． 将分式方程去分母化为整式方程，再根据分式方程无解，分两种情况，即原方程有增根或整式方程关于的项系数为0进行解答即可． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以得， ， 即， 由于分式方程无解， 或分式方程有增根， 或， 即或， 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽·期末）若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·广西百色·期末）小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数的绝对值是原数中第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 先把两个分式写成同分母的分式相减，然后把所得分式的分子分解因式，并与分母约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简与运算．选项A中分子与分母相等，故值为1；选项B、C、D通过取特殊值或运算规则可判断错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 3．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 先去分母，再去括号，最后移项和系数化为1即可求出解，并对解进行检验． 【详解】解： 解得， 检验：当时，，所以原方程的解是． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．且对数满足性质（），则以下结论正确的有（    ）个． ①；     ②； ③（为正整数）； ④若，，则． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，负整数指数幂，理解对数的定义和性质是解题关键．根据对数的定义、性质及运算，逐一验证四个结论的正确性即可． 【详解】解：①，， ，， ，①结论错误； ②令，，则，， ， ， 即，②结论正确； ③设，则， ， ， ， ，， ，， ，③结论正确； ④若，， 则，， ，④结论错误， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解，求出a的取值范围． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， 故答案为：，且． 3．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据题意可得，，进而根据所得规律解答即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴原式 ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 【答案】小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程并要注意检验；设小水管进水速度为，则大水管进水速度为，列出方程求解即可． 【详解】解：假如小水管的半径为r，则大水管的半径2r，每分钟进水的长度是一样的为h；根据体积公式可知小水管的进水速度为立方米分，大水管的进水速度为立方米分，可设小水管进水速度为立方米分，则大水管进水速度为立方米分．由题意得： ， 解得： ， 经检验得：是原方程解， ∴， ∴小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与性质 能识别分式并确定定义域（分母≠0） 高频易错：忽略隐含条件（如需同时满足且） 幂的运算法则 熟练运用幂的运算公式进行分式化简（新增内容） 命题趋势：与分式乘除、科学记数法结合考查（如） 分式的约分与通分 能结合因式分解和幂的运算进行化简 易错点：约分时漏掉负指数（如） 分式的四则运算 能熟练进行分式的加减乘除及混合运算，规范书写步骤 易错点：运算顺序错误（如先乘除后加减）、通分时漏乘分子（如通分错误） 分式方程的解法与应用 会解分式方程并验根，能建立分式方程解决实际问题（工程、行程等） 跨学科题型：与物理、化学中的浓度问题结合考查（如溶液混合问题） 知识点01 分式的概念及其基本性质 分式的概念: 一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母. 分式有意义的条件:对于分式,当B≠0时分式有意义;当B=0时无意义. 分式值为零的条件：当A=0且 B≠0 时，分式的值为零 分式的基本性质 分式的基本性质: 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式 注意:分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式 约分的基本步骤: 1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂. 2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式 示例：判断是否为分式： 是分式（分母含字母且不为零） 不是分式（π为常数，分母不含字母） 易错点：误认为所有含分母的式子都是分式（如是整式） 忽略取值范围：需同时满足且 知识点02 分式的加法和减法 同分母的分式的加减法 1.同分母的分式加、减法运算法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 2.同分母的分式相加减的一般步骤： （1）分母不变，把分子相加减； （2）分子相加减时，应先取括号，再合并同类项； （3）结果应化为最简分式或整式. 3.特别注意：分子相加减就是把各个分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式，括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，括号不能省略，否则容易出现符号 错误. 4.警示误区 1）当分母不相同而是相反数时，不能直接相加减，需将分母变为相同，同时，中间的运算符号随之改变； 2）当分子是多项式时，在对分子进行加减时，要带括号，后去括号运算； 3）加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫做分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 3.通分的一般步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母分别除以各分母求商； （3）用所得的商分别乘相应分式的分子、分母得出同分母分式. 4.确定最简公分母的一般方法： 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由 ①各分母系数的最小公倍数； ②各分母相同字母的最高次幂； ③各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数，相同因式、不同因式三个方面去确定. 异分母的分式的加减法 1.异分母的分式的加、减法运算法则： 异分母的分式进行加、减法运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减. 2.异分母的分式相加减的一般步骤： （1）通分：将异分母的分式化为同分母的分式； （2）加减：按照同分母的分式进行加减运算时的一般步骤进行计算； 注意：异分母的分式进行加减运算时的关键是通分. 3.特别提醒 （1）通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换； （2）类似同分母的分式相加减，分子是多项式的注意带上括号； （3）最后运算的结果应是最简分式或整式. （4）在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体；通分时要带上括号. 示例：计算： 需通分： 易错点： 异分母加减时直接相加分母（如） 漏乘分子：通分时未对分子整体乘因式（如漏乘或） 知识点03 分式的乘法和除法 分式的乘法法则：则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母. 即： 法则的运用方法： （1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再 约分； （2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后， 再进行乘法运算； （3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式. 分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号； 第三步：约分，将结果化成最简分式或正式. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 法则的运用方法： （1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运 算. 分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法； 第三步：利用分式的乘法运算法则计算。 分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即对于任意一个正整数n，有 分式乘方法则的运用方法： （1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果 符号的方法相同. （2）分式乘方时，一定要将分式的分子、分母分别乘方，不能将错写成 （3）分式乘方时，若分式的分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看做一个整体乘方，避免出现的错误 示例：计算： 转化为乘法： 易错点：未颠倒除式直接相乘（如误为） 约分不彻底：应化为而非 知识点04 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后 加减，有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号 的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行。 2.分式的混合运算的方法： （1）进行分式混合运算时，可以根据需要合理运用运算律来简化运算，此时需将分式的乘除法统一变成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算率简化运算. （2）运算过程中及时约分简化，有时可使解题过程简单. （3）运算结果是最简分式或整式. 3.方法点拨 （1）分式的计算应先分清运算数学，再按分式的运算法则进行计算，当某一项是整式时，可将此项看成分母为1的式子； （2）分式的混合运算中要注意对各分式中的分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-”号提到分式的前面； （3）所有的分式运算，结果必须化到最简. 示例： 计算： 通分括号内： 除法转乘法： 易错点： 运算顺序错误：先算加减后乘除（如误先算加法） 符号错误：提取负号时未变号（如） 知识点05 整数指数幂 同底数幂相除的运算法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为=(a≠0,m,n是正整数，且m>n) 特别解读 （1）运用法则的关键有两点：一是底数相同，二是除法运算，二者 缺一不可. （2）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0. （3）同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1； 零次幂要把握三点： ①底数不为0；②指数为零；③结果是1. 负整数指数幂： (1) 任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.即(a≠0，n为正整数) (2) 由于,因为(a≠0，n为正整数) 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数时负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号. 整数指数幂的运算法则 示例： 计算： 幂的运算： 易错点： 混淆公式：误为 负指数变形错误：误为 知识点06 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 注意：分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数。 3.特别注意： （1）分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据； （2）识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形. 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 2.解分式方程的一般步骤： (1)分式方程去分母: 方程两边同乘最简公分母; (2)解整式方程：去括号，移项，合并同类型等； (3)检验： ①最简公分母不为0，是分式方程的解； ②最简公分母为0，不是分式方程的解. 3.检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： （1）将整式方程的解待入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. （2）将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 4.增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 5.特别注意： （1）解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项， 当分子是多项式时要用括号扩起来； （2）解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去. （3）对增根的理解： ①增根一定时分式方程化成的整式方程的解； ②若分式方程有增根，则必是使最简分母为0时的未知数的值. 6.去分母时常见三种典型错误： ①分母与最简公分母中的因式不是相同而是相反时，去分母后注意改变符号； ②分子是多项式时，去分母后要带上括号； ③不含分母的项易漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式也要带上扩号. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系： （1）行程问题：速度×时间=路程 （2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率； 工作总量=各个分工作量之和 （3）利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100% 2.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系，当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程。 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程， 则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程， 还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 示例： 解方程： 去分母得 解得（验根为增根，无解） 易错点： 漏乘无分母项（如方程两边同乘时漏乘“3”） 未验根：解分式方程必须检验分母是否为零 题型一 分式有意义的条件与值为零 解｜题｜技｜巧 双条件判断：分式值为零需同时满足分子=0且分母≠0 隐含条件：分母≠0在化简过程中始终成立（如解分式方程时） 易｜错｜点｜拨 漏验分母：如求分式值为零时，易忽略的条件 混淆概念：误认为分式无意义时值为零 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）要使分式有意义，则x应满足（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 题型二 分式化简中的符号处理 解｜题｜技｜巧 统一负号：将分母最高次项系数化为正数 变号法则：，但 分子添括号：多项式分子在约分时需保持整体性 易｜错｜点｜拨 约分丢负号：如误为 通分漏乘： 【典例1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【变式1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简： ． 题型三 整数指数幂的运算 解｜题｜技｜巧 负指数转化：（注意） 科学记数法：（指数为小数点移动位数） 易｜错｜点｜拨 混淆法则：误为 符号错误：误为 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则的值是 ． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）计算：； 【变式3】（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算：． 题型四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 解方程步骤：去分母→解整式方程→验根 增根判定：使最简公分母=0的根必为增根 易｜错｜点｜拨 漏乘项：如解时，易漏乘常数项 未检验：直接写出整式方程的解 【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）若关于的方程无解，则的值是（   ） A．2 B．0 C．2或 D．2或0 【变式1】（25-26八年级上·安徽·期末）若关于的方程有增根，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【变式3】（24-25七年级下·广西百色·期末）小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）用科学记数法表示 ． 4．（25-26八年级上·安徽·期末）计算： ． 5．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 3．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）解方程：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．且对数满足性质（），则以下结论正确的有（    ）个． ①；     ②； ③（为正整数）； ④若，，则． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 4．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $