数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：构造数列间题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 考点目录 构造数列问题 奇偶数列问题 数列最值问题 考点一 构造数列问题 例1.(25-26高三上辽宁月考)已知数列an}满足a=1,an+1=3an+2×(-3)”. (1)证明：数列 an (-3) 是常数列，并求数列an}的通项公式； (②)设b,=1an,Sn为{bn}的前n项和 (i)求Sn; (①若neY,S≥mx-护产+店相废立，求实发m的最大值 例2.(25-26高三上宁夏银川期中)(1)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n∈N),求数列{an}的通 项公式： (2)已知数列an}的首项a=2,且满足an+1=3an+2n-1（n∈N),数列{an}的通项公式 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 例3.(24-25高二下.上海宝山期末)已知数列an}中，a1=1,a,=2a-1+1n≥2)；数列{bn}为等差数列，且满足： b=1,bs+2=a5 (I)求证：数列{an+1为等比数列，并写出数列{an}的通项公式； (2)令cn=元log,a,+1-nb.,若数列{cn}为严格减数列，求实数2的取值范围. 例4.(24-25高二下-河南月考)己知数列an}满足a,=2,a+1=4a。+2+1 (I)证明：{an+2}是等比数列，并求出数列{a}的通项公式； a设a=bea+2-1,求领列-广品 的前n项和Sn: 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 变式1.24,25商二上重庆期肿)已知数列a的前n项和S满足：35，=5+2+2≥2引，S=号 (1)求an; (2)若cn=nan+cos(nπ)-1，求{cn}的前2n项和T2m. 变式2.(24-25高三上新疆乌鲁木齐·月考)设数列{an}满足a2=4,a1=2an-2. (1)求数列an}的通项公式： (2)求数列{an}的前2n项和S2m· 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 变式3.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨阶段练习)己知数列{an}的前n项和为Sn,且2S。=3an-2n+1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=an2,求数列bn}的前n项和Tn. 变式4.(2025·陕西安康模拟预测)在数列{an}中，已知an=2a.-1-2n+4(n≥2)，a,=4. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{2”·an-4"}的前n项和. 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 考点二 奇偶数列问题 例1.(25-26高三上·天津滨海新期中)己知数列an}是等差数列，设Snn∈N)为数列{a}的前n项和，数列b} 是等比数列，bn>0,若4=3，b=1,b+S2=12,a-2b2=a (I)求数列{an}和bn}的通项公式： (2)求数列{abn}的前n项和Qn; 〔(3n-2b1,n为奇数 (3)若cn= 求数列{cn}的前2n项和Pn bn,n为偶数 例2.(25-26高三上湖南长沙月考)已知an}为等差数列，bn= an-5,n为奇数 2a,n为偶数，记S,T分别为数列a,,的 前n项和，S=35,T3=10. (I)求数列{an}的通项公式： (2)证明：T2m≥S2n 5 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 例3.2526商三上福建泉州期)已知等比数列0的前n项和为S,S-分4，+4，=号 (I)求{an}的通项公式： n,n为奇数 (2)若bn= a,n为偶数·求数列6，的前2m项和1； (3)若存在正整数n,使得S.-m)Sn+1-m)<0成立，求m的取值范围. 例4.(25-26高二上黑龙江哈尔滨·期中)记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和，其中Sn=n2+n, 2an,n=2k-1 6-n=2eN, (I)求{an}的通项公式： (2)求T1. 6 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 变式1.(25-26高二上·云南曲靖·期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a=5,S,=9 (I)求数列{an}的通项公式： 2,n为奇数 (2)记数列cn= a,n为偶数·C,的前n项和为，求 变式2.(25-26高二上·重庆沙坪坝期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,3a2+a4=ag,S,=15 (1)求数列{an}的通项公式： 2)求数列{《-1)a}的前n项和 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 变式3.(2025·四川泸州一模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知2Sn=3an-3 (I)求数列{an}的通项公式： n为奇数 (2)设bn= log,a,n为偶数，求数列b}的前2n项和了。 an, 变式4.(25-26高三上·天津滨海新·月考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn,a1=1,且 S3+a3,S,+a5,S+a4成等差数列 (1)求数列{an}的通项公式： (2n+1)an,n=2k-1 (2)设bn= (3n+5)am ,1=2k'n∈N，求数列b,的前2n项和7 （n-1(n+1 6 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 考点三 数列最值问题 例1.(25-26高二上·甘肃金昌·月考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a=b,=a2-b2=a-b=1,其中 {an}与{b,}的前n项和为Sn和T (1)求{an}与{bn}的通项公式： ②若c,=2,求数列c,的前n项和0： anant (③)当2>0时，若2Sn≤Tn+1对任意的n∈N恒成立，求实数入的最大值. 例2.(25-26高二上甘肃金昌·月考)数列{an}满足：a+3a2+5a,+…+(2n-1an=3+(n-1)·3+,各项均为正数 的等差数列(bn}的前n项和为Sn,4是b,b的等比中项，且S。-3S,=12. (I)求{an},{b}的通项公式： ②设c,a,-0-可，工为数列c的前n项和，若<m-4m+号恒成立，求实数m的取值花周。 2a, 0 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 例3.(25-26高三上·重庆期中)记Sn为数列an}的前n项和，且a,=0,2Sn=(n+I)an+n-1,其中neN (1)证明： 8为等差数列，并求出数列a的适项公式： (2)若对VmeN',不等式2·2-<S,恒成立，求实数λ的取值范围. 例4.2526高三上江宁泼期D已知数别a,满足4+2a+…+加，-++neN)数列b,满型 an) (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)记数列{b}的前n项和为Sn,求Sn; (3)若an(4-S.)≤元对任意n∈N恒成立，求实数1的取值范围. 10数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 考点目录 构造数列问题 奇偶数列问题 数列最值问题 考点一 构造数列问题 例1.(25-26高三上辽宁月考)己知数列an}满足a,=1,an+1=3an+2×(-3). (1)证明：数列 an (-3) 是常数列，并求数列{a}的通项公式： (2)设b。=n·an,Sn为bn}的前n项和 (i)求Sn; (若meN,S之mx(驴+心桓咬立，求实数m的设大值 【答案】(1)证明见解析，a。=(-3)-1 ②s1上+0：m6 16 【详射】D由避意知舒号=2， 》,则4+d=2 令dn= 由4=8 (-3)° =1,可得dn=dn1=d-2=gd1=1, 所以对任意和eN,d=1,甲=山 所以数列 是常数列， (-3)” 所以a。=(-3)-1 (2)(i)b.=n×(-3)-,则Sn=1×(-3)°+2×(-3)'+…+n×(-3)-, -3Sn=1×(-3)'+2×(-3)2+…+n×(-3)°， 所以45，=（←3+(-3》+…+(-3-nx(-3y=二-3》-nx-3y-1-(4n+×(-3 1-(-3) 4 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 所以3，=1-(4n+1x(-3 16 (i)由题意知-(4n+1)x(←3)”、 emx3t6,即4切+1 ≥m 16 16×(-3)” =16x32，则2 令cn= 0+,8 -(4n+9)16×(-3)”1 c。16x(-3)×-4n+lg0+4n+1 <1, 当n为奇数时，cn>0,所以cn+2<cn,Cn}单调递减， 当n为偶数时，Cn<0,所以c2>cn,{cn}单调递增 所以当n=2时，6，有最小值，且G=- 16 所以加的最大值为石 例2.(25-26高三上宁夏银川期中)(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n∈N),求数列{a,}的通 项公式： (2)己知数列an}的首项a,=2,且满足an1=3an+2n-1（n∈N),数列{an}的通项公式 【答案】(1)an=2"; (2)a。=3"-n 【详解】(1)因为Sn=2an-2, 当n=1时，可得S,=2a1-2=a1,解得a=2; 当n≥2时，可得Sn-1=2a-1-2,则an=2a,-2aa1,即an=2a-4: 可知数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2×2-=2” (2)由an1=3an+2n-1,得a+(n+1)=3(an+n,n∈N,且a1+1=3≠0， 所以数列{an+n}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以an+n=3×3"-=3”，即an=3”-n. 例3.（24-25高二下·上海宝山期末)己知数列an}中，a1=1,a,=2a-1+1n≥2)；数列{bn}为等差数列，且满足： b=1,bs+2=as (1)求证：数列{an+为等比数列，并写出数列{an}的通项公式： (2)令cn=1log,an+1-nbn,若数列cn}为严格减数列，求实数2的取值范围. 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 【答案】(1)证明见解析，a,=2”-1; (2)1<9. 【详解】(1)数列an}中当n≥2时，由an=2an-1+1得： an+1=2(an1+,又a1+1=2≠0，故an+1≠0， 故8+=2，故口，+川为等比数列，公比为2，首项4，+1=2， an-1+1 得到a。+1=2×2=2”,所以数列{an}的通项公式为an=2”-1. (2)数列{b}中，b=1,b+2=a, 则1+7d+2=2-1解得d=4, 所以{b}的通项公式为b.=1+4n-1)=4n-3, cn =log2 (a +1)-nb =alog2 2"-n(4n-3)=an-4n2+3n 已知数列{cn}为严格减数列，则cn+1<cn对任意正整数n都成立， 即2(n+1)-4(n+1)+3(n+1<元n-4n2+3m 化简得2<8n+1对任意正整数n都成立， 所以1<9 例4.(24-25高二下河南月考)已知数列(a}满足a=2,a1=4a.+2 (1)证明：{an+2”}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； ②设b,=1ga+2”-1,求数列-164”是 的前n项和Sn 【答案】(1)证明见解析，an=4”-2”: 2s.=-1+(-ly2n+i 【详解】(1)由a41=4a,+2,则a1+2*1=4(a,+2“),又a=2,则a,+2=4, 所以{an+2}是首项、公比都为4的等比数列，则a,+2”=4”,故an=4”-2”; (2)由(1)及已知有bn=1og24”-1=2n-1, 所以旷2ran品小 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 所以5=-0+的+写9-4-（3-r 11 变式1.(2425高二上重庆期中)已知数列a,的前n项和满足：3.=5+2m+2(n≥2，S- 4 (1)求an: (2)若c,=n[a+cos(n)-1],求{c}的前2n项和Ta· 1 【答案】)a,=+ ag2 【详解】(1)因为数列{an}的前n项和Sn满足：3Sn=S.+2n+2(n≥2)， 周近感+6号则8召将48号号日 当n≥2时，由3Sn=Sn1+2n+2可得3Sn1=Sn+2(n+1)+2, 上述两个等式作差可得3a1=a,+2,可得a=30,+3, 1 2 令a++小，可得an号，则号子得1， 12 所以，a-1=a-小，且a-1a-. 3 所以，数列a,-为等比数列，首项为4-1写，公比为写 2因为o-=图r 对在意mkeN,6+e=2--小k(京+小21， 同题转化为数列心g3+1小的前项和，记或列g}的前a项和为4， 32m 9g+g++8n-3 51321 4 90, 则g号+，山3 9” 8 9+8g+g+…+）--35 1 上式-下式得8A-+8+是 9 8n-3 9 9”9*1 9 1- 9 28n+6 39y*1Γ， 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 化简得4=34n+3 44.9" 因此，Tn=A+n= 34n+3, 4490+n. 变式2.(24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考)设数列{an}满足a2=4,，a+1=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前2n项和S2m· 【答案】(1)an=2-+2 (2)S2m4”4n1 【详解】(1)解：因为数列an}满足a2=4,an1=2an-2,则an1-2=2an-4=2(an-2), 且a2-2=4-2=2,所以，数列{an-2是等比数列，且该数列的第二项为2，公比为2， 所以，an-2=2×2”-2=2"-,则an=2"-+2 (2)解：因为an=2-+2, 所以，Sn=(2°+2)+(2+2+(22+2++(22m1+2 -242+2+2+2x20=2+4n=44n- 变式3.(25-26高二上黑龙江哈尔滨阶段练习)己知数列an}的前n项和为Sn,且2S。=3an-2n+1. (I)求数列a}的通项公式： (2)若bn=a,2,求数列{b,}的前n项和. 【答案】(1)an=23-1-1 @江-y-2+号 【详解】(1)当n=1时，2S,=2a=3a1-2×1+1=3a,-1,得a=1, 当n22时，8，=5-5=3a,-2n+-3a-2n-+ 33 F2020-l, 所以a,=3a+2,变形得a,+1=3到a1+1,即+=3， 0n-1+1 数列an+}以a+1=2为首项以3为公比的等比数列， 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 所以an+1=23-,即a。=23--1 (2)由a,=2-3-1-1,所以b,=a,2=(23-1-12=4x9-1-4×3-1+1, 所以Tn=49°+9+.+9-）-43°+3+..+3-1）+n 3 3+刀=90-23+n+ 2 2 变式4.(2025陕西安康模拟预测)在数列{an}中，已知a,=2a.-1-2n+4n≥2)，a1=4. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列2”·a。-4“}的前n项和. 【答案】(1)an=2”+2n (2)Tn=(n-1)2*2+4 【详解】(1)因为an=2a-1-2n+4n≥2， 所以a.-2n=2[a1-2(n-1]n22),又a,-2=2≠0， 所以{a,-2n是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a,-2n=2"，即an=2”+2n; (2)由(1)知2”·0n-4”=n21. 设前n项和为Tn, 则T,=1×22+2×23+3×24+…+n×21, 2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n×2m+2, 两式相减可得 -7,=2+23+25++2叫-n×22=21-2 -n2+2 1-2 =2*2-4-n×2*2=(1-n)2*2-4, 所以T,=(n-12+2+4」 6 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 考点二 奇偶数列问题 例1.(25-26高三上·天津滨海新期中)己知数列an}是等差数列，设Snn∈N)为数列{a}的前n项和，数列b} 是等比数列，bn>0,若4=3，b=1,b+S2=12,a-2b2=a. (I)求数列{an}和bn}的通项公式： (②)求数列a,b.}的前n项和Qn; （3n-2·b,n为奇数 (3)若cn= S 求数列{cn}的前2n项和Pn. bn,n为偶数 【答案】(1)an=2n+1,bn=2- (2)0.=2n-1)·2"+1 6那.=2n++3 21+12n-8 3 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列b}的公比为9， b+S2=12 因为4=3，b=1,则由 a5-2b2=a31 9品f g2+6+d=12 即 3+4d-2g=3+2d' d=2.「d=-3 d=-3 解得 9=2 或{g=-3”又6>0，所以舍去 =-3' 所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2"-1 (2)由(1)得a,=2n+1,b,=2"-,所以a,b,=(2n+1·2"-1, 所以2n=ab+ab2+ab+…+a,bn, 即2n=3×1+5×2+7×22+…+(2n+12"-1, 22n=3×2+5×22+7×2+…(2n-12+(2n+1-2”, 两式相减得-2，=3+2×2+2×22+…+2×2-1-(2n+1×2”, 数列：构造数列间题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 则-0，=3+2(2+22+…2-）-(2n+12”=3+2 2l-2）-2n+10×2 1-2 整理得0.=(2n-12”+1」 (3)由a=3,a,=2m+1,得S.=a+a=nn+2, 2 3n-2·2" ,n为奇数 2*22” 所以Cn= nn+2) ，n为奇数 n+2 n 2”-,n为偶数 2-1,n为偶数 设An=C1+C3+C3+…+C2m-1, 232252 22n+1 22m-1 22m1 则A3153 +…+ -2 2n+12n-12n+1 设Bn=C3+C4+…+C2m, 则8=2+2+…+2.2-2.2+2… 33 所以Pn=An+Bn= 2+21-8 2n+13 3 例2.(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知{an}为等差数列，bn= an-5,n为奇数 2an,n为偶数 记Sn,Tn分别为数列{a},{bn}的 前n项和，S=35,T=10. (1)求数列{an}的通项公式： (2)证明：T2n≥S2m 【答案】(1)an=2n+1 (2)证明见详解 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为S=5a3=35,即a,=7, 三。为售数数，则6=a-5,A=20,64-5, 又因为bn= 可得T=(a1-5)+2a2+a3-5)=(a+a+2a2)-10=4a2-10=10,即a2=5, 则-4+2d=7 (a,=g+d=5，解得 a=3 d=2 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 所以数列{an}的通项公式an=3+2(n-=2n+1. [2n-4,n为奇数 (2)由(1)可知：an=2n+1,bn= 2(2n+1),n为偶数’ 则5.-2ml4+a-2n3+n+1-4n+4, 2 2 且Tn=(b+b3+…+b2m-1)+(b2+b+…+b2m) =(-2+2+…+4n-6)+2(5+9+…+4n+1 n-2+4n-6+2xn5+4n+l 2 2 =6n2+2n, 因为Tn-Sn=(6n2+2n)-(4n2+4n)=2n(n-1)≥0，当且仅当n=1时，等号成立， 所以T2n之S2n 例3.(2526商三上都建泉州期p已知等比数列a的前n项和为S,鸟=分4a,=-号 (I)求{an}的通项公式： n,n为奇数 (2)若bn= a,n为偶数'求数列6，}的前2项和I: (3)若存在正整数n,使得(Sn-m)(S1-m<0成立，求m的取值范围 【答案】()a,=（ 2-2m2 (2)n2+ 33 a 【详解】(1)设等比数列a,的公比为g,则q=+=马+a= a,+a1S21 2 2 由8=4+4=44-号分都得4=1 1 所以a=(”: n,n为奇数 (2)由(1)有bn= an,n为偶数 0 数列：构造数列问题、奇偶数列问题、数列最值问题专项训练 所以不-1+342n--+++( n1+2n- 〔 14 (3)由(1)知， 锅 S=- 存在正整数n,使得Sn-m)川S+1-m)<0成立， 当n为偶数时， 8-引-引号 由Sn-m(S+1-m)<0,得Sn<m<Sn1, 因为S单调递塔，所以8的最小值为S= 因为S单调递减，所以S的最大值为S,=3 3 所以2人m<年： 当n为奇数时， 由Sn-m)(Sn+1-m<0,得Sn1<m<Sn, 因为Sn单调递减，所以Sn的最大值为S=1, 因为S单调递道，所以5的最小值为5-所以m<1, 综上，m的取值范围 例4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期中)记Sn,T分别为数列{an},{bn}的前n项和，其中Sn=n2+n, [2an,n=2k-1 bn= (2°，n=2k EN". (1)求{an}的通项公式： (2)求T1. 【答案】(1)an=2n 10