第15章 轴对称图形与等腰三角形（复习课件）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统覆盖轴对称图形、垂直平分线、等腰三角形等核心知识，通过单元知识图谱将轴对称性质、等腰三角形判定等内容分块串联，结合考点串讲构建知识网络，清晰呈现知识点内在逻辑。 其亮点在于创新采用“题型口诀+分层训练”模式，如轴对称题型口诀强化几何直观，针对训练从基础题到综合题分层设计，培养推理意识与创新思维，助力学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

单元复习课件 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 沪科版·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能够系统阐述轴对称、垂直平分线、角平分线的概念与性质，并熟练运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理解决基本证明和计算问题。 3.运用本单元知识，解决涉及坐标系变换、多知识点融合的综合性问题，养成数形结合、逻辑推理的思维习惯。 2.运用对称变换、转化与化归、分类讨论等数学思想，识别或构造轴对称基本图形，角度与线段关系证明等典型问题。 单元学习目标 轴对称图形与等腰三角形 轴对称 等腰三角形 轴对称 轴对称图形 等腰三角形 性质:三线合一 等边三角形 性质 垂直平分线 画轴对称图形 特殊的直角三角形 判断：等角对等边 性质 判断 单元知识图谱 考点一、 轴对称图形 互相重合 1.定义: 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的________，这时，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称. 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形. 对称轴 考点串讲 考点一、 轴对称图形 3.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做__________. 4.轴对称和轴对称图形的性质 (1)两个图形成轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连____________________. 对称点 线段的垂直平分线 考点串讲 考点一、 轴对称图形 (2)轴对称图形的性质:轴对称图形的_________是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 (3)轴对称图形的对应线段______，对应角_________. (4)成轴对称的两个图形全等;轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不-定是轴对称图形. 对称轴 相等 相等 考点串讲 考点一、 轴对称图形 5.轴对称变换 一个图形与其关于直线L对称后的图形之间的关系 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小________. (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线L的对称点. (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴____________. 完全相同​ 垂直平分 ​ 考点串讲 考点一、 轴对称图形 (x，-y) 6.用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特点: (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为__________. (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为__________. 已知两个点的坐标分别为(，)，(，)， 若=，+0，则点P，P关于_____对称; 若，=，则点P，P关于_____对称，反之也成立. (-x，y) x轴 y轴 考点串讲 考点二、 线段垂直平分线 垂直平分线 1.线段垂直平分线的定义及其性质 (1)线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的____________. (2)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______. 相等 考点串讲 考点三、 等腰三角形 相互重合 1.等腰三角形的性质 性质 1:等腰三角形的两个底角_______(简写成“等边对等角”) 性质 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________ (简写成“三线合一”). 相等 考点串讲 考点三、 等腰三角形 2.等腰三角形的其他性质: (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等 (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的_____. 高 考点串讲 考点三、 等腰三角形 3.等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法: (1)定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形; (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的____也相等 (简写成“等角对等边”). 边 考点串讲 考点四、 等边三角形 1.等边三角形及其性质 等边三角形的概念:三边都相等的三角形是______三角形. 等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于_____ 等边 60° 考点串讲 考点五、 含30°角的直角三角形的性质 一半 1.含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的_______. 考点串讲 例1：  题型一、轴对称图形 解析：沿直线MN折叠,△A'B'C'与△ABC能够完全重合的只有B.故选B. 　 下面是四位同学作△ABC关于直线MN成轴对称的图形,其中 正确的是( )   A B C D     B     题型剖析 题型一、轴对称图形 轴对称图形题型技巧口诀 判断对称有绝招， 对折重合是王道。 不只一条要数全， 动手操作最可靠。 题型剖析 变式： 题型一、轴对称图形    如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是 ( ) A.AD⊥BC　　　     B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO　　　    D.AC∥BD 　        A     解析：如图,连接AC,BD,∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称, ∴△ABO≌△CDO,PQ⊥AC,PQ⊥BD,∴AC∥BD,故选项B,C, D正确,AD不一定垂直于BC,故选项A不一定正确. 题型剖析 题型二、平面直角坐标系中的轴对称 例2： 解析:∵点P到直线l的距离为1-(-1)=2,点P(-2,1)与点Q(a,b)关 于直线l:y=-1对称,∴a=-2,点Q到直线l的距离也为2, ∴点Q到x轴的距离为1+2=3,∴b=-3,∴a+b=-2-3=-5. 如图,点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l:y=-1对称,则a+b=_______.   　-5     题型剖析 题型二、平面直角坐标系中的轴对称 平面直角坐标系轴对称题型口诀 坐标变换是根本，关于谁轴谁不动。 画图两步走，先找对称点，再连线成图。 口遇等腰，先找轴，坐标关系马上有。 题型剖析 题型二、平面直角坐标系中的轴对称 变式：    在平面直角坐标系中,已知点A关于x轴对称的点B的坐标是(3-5m,2-m),点B是第二象限的整点(横、纵坐标都是整数的点,称之为整点),则点A关于y轴对称的点C的坐标是______________.     (2,-1)     解析　∵点B在第二象限,∴  ∴ <m<2.∵3-5m,2-m 都是整数,∴m=1,∴3-5m=-2,2-m=1,∴点B的坐标为(-2,1), ∵点A与点B关于x轴对称,∴点A的坐标为(-2,-1), ∴点A关于y轴对称的点C的坐标为(2,-1). 题型剖析 题型三、线段垂直平分线的性质 例3： 解析：　∵MN垂直平分BC,∴DB=DC.∵AB=7,AC=3, ∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+AD+DB=AC+AB=3+7=10. 如图,在△ABC中,MN垂直平分BC,垂足为E,交AB于点D， 若AB=7,AC=3,则△ACD的周长是__________.  　          10 题型剖析 口诀： 一看垂直平分线， 等距结论直接现。 距离相等两点间， 连线必在中垂线。 题型三、线段垂直平分线的性质 题型剖析 变式： 题型三、线段垂直平分线的性质 如图,DE是△ABD的边AB的垂直平分线,垂足为点E,DF是△BDC的边BC的垂直平分线,垂足为点F,若AD=8,则CD=_________.     8     解析　∵DE垂直平分线段AB,DF垂直平分线段BC,AD=8, ∴CD=BD=AD=8. 题型剖析 题型四、角平分线的作法与性质 例4： 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为点F,DE=DG, △ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为( ) A.8　　 B.12　  C.4　　　 D.6     D     解析　过点D作DH⊥AC于点H(图略),∵AD是△ABC的角平 分线,DF⊥AB,∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中,  ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴S△EDF=S△GDH. 同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH,∴S△ADF=S△ADH, 即S△ADE+S△EDF=S△ADG-S△GDH, ∴S△DEF= (S△ADG-S△ADE)= ×(50-38)=6. 题型剖析 口诀： 角平分为对称轴，点到两边距离等。 已知角平分线，作双垂得等距。 距离相等作垂线，连线即为平分线。 题型四、角平分线的作法与性质 题型剖析 变式： 题型四、角平分线的作法与性质 如图,七年级(1)班与七年级(2)班两个班的同学分别在M,N两 处参加植树劳动,现要在道路AB,AC的交叉区域内设一个茶水 供应点P,使点P到两条道路的距离相等,且使PM=PN, 请你找出点P(写出作法,要求保留画图痕迹).   题型剖析 变式： 解析　作法:(1)作出∠BAC的平分线AD; (2)连接MN,作MN的垂直平分线EF交AD于点P. 如图,点P即为所求. 题型四、角平分线的作法与性质 题型剖析 题型五、 例5： 角平分线的判定定理 如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE与CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.   证明　∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°. 在△BDF与△CDE中,  ∴△BDF≌△CDE(AAS). ∴DF=DE,∴AD平分∠BAC. 题型剖析 核心动作是“作垂线、证相等”。 点到两边距相等，则点必在平分线 题型五、 　角平分线的判定定理 题型剖析 变式： 题型五、 　角平分线的判定定理      证明：如图,过点D作DP⊥BM于P,DQ⊥AC于Q, ∵DE⊥BN,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE, ∴DP=DE,DQ=DE, ∴DP=DQ,∴AD平分∠CAM. 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ACB的外角∠ACN的平分线交于点D,过点D作DE⊥BN于点E.连接AD, 求证:AD平分∠CAM.   题型剖析 例6： 题型六、三角形的三条内角平分线的性质 如图,△ABC的周长为12,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点 O,过点O作OD⊥BC于点D,当OD=1时,△ABC的面积为_______.       6     题型剖析 例6： 题型六、三角形的三条内角平分线的性质 解析　如图,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接AO, ∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD. ∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD. ∴OD=OE=OF=1. ∵△ABC的周长为12,∴AB+BC+AC=12, ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC = AB·OE+ BC·OD+ AC·OF = (AB+BC+AC)·OD= ×12×1=6. 题型剖析 口诀： 三角平分必交心， 内心独居形内里。 等距性质是法宝， 切圆半径即距离。 解题时，始终抓住 “内心 → 三边等距 → 作垂线 → 用面积。 题型六、三角形的三条内角平分线的性质 题型剖析 变式： 题型六、三角形的三条内角平分线的性质   三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 解析　要使集贸市场到三条公路的距离相等,根据角平分线 的性质,集贸市场应建在∠A,∠B,∠C的平分线的交点处.故选C.     C     题型剖析 例7： 题型七、等腰三角形的性质定理 (等边对等角) “三等分角”是古希腊三大几何问题之一.如图,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=72°, 则∠AOB=__________°.     24     解析　∵OC=CD=DE,∴∠COD=∠CDO,∠DCE=∠DEC. ∵∠DCE=∠COD+∠CDO=2∠COD,∴∠DEC=2∠COD, ∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3∠COD,∵∠BDE=72°, ∴∠COD=24°,即∠AOB=24°. 题型剖析 口诀： 证角相等，先看边。 等腰三角一出现，三线合一记心间。 边等转角等，桥梁是等腰。 题型七、等腰三角形的性质定理 (等边对等角) 题型剖析 变式： 题型七、等腰三角形的性质定理 (等边对等角) 某平板电脑支架示意图如图所示,其中AB=CD,EA=ED,为了使用的舒适性, 可调整∠AEC的大小.若∠AEC增大16°,则∠BDE的变化情况是( ) A.增大16°　　  B.减小16° C.增大8°　　　    D.减小8°     D     解析：∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA, ∴∠AEC=∠EAD+∠ADE=2∠ADE. ∵∠AEC增大16°,∴∠ADE增大8°. ∵∠BDE=180°-∠ADE,∴∠BDE减小8°. 题型剖析 例8： 题型八、等边三角形的判定 如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA的延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形.   题型剖析 例8： 题型八、等边三角形的判定 证明　∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°, AB=AC=BC,∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=CD+BC,即AE=BD, 在△BDE和△AEF中,  ∴△BDE≌△AEF(SAS), ∴ED=EF,同理可得EF=FD,∴EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形. 题型剖析 口诀：等边判定三条路，边等、角等、六零度。 等边三角形有三种判定方法： 1. 有一个角是60°的等腰三角形 2. 三个角都相等（每个角60°） 3. 三边都相等 题型八、等边三角形的判定 题型剖析 变式： 题型八、等边三角形的判定 在△ABC中,AB=BC=6,∠B=60°,则AC等于 ( ) A.4　　　    B.6　　　    C.8　　　    D.10     B     解析　∵AB=BC=6,∠B=60°, ∴△ABC是等边三角形,∴AC=6. 故选B. 题型剖析 例9： 题型九、含30°角的直角三角形的性质定理 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D.若BD=8,则AC的长为________.     4     解析　∵点D在AB的垂直平分线上, ∴DA=BD=8,∴∠BAD=∠B=15°, ∴∠ADC=∠BAD+∠B=15°+15°=30°. ∵∠C=90°,∴AC= AD= ×8=4. 题型剖析 题型九、含30°角的直角三角形的性质定理 核心口诀： 三十度角对半边， 斜边中线等半弦。 知一求三速算巧， 逆用判定亦成立 题型剖析 变式： 题型九、含30°角的直角三角形的性质定理 解析：∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.∵∠BCD=30°,BD=2,∴BC= 2BD=4,∠B=90°-∠BCD=60°. ∵∠BCA=90°,∴∠A=90°-∠B=30°, ∴AB=2BC=8.故选C. 如图,在△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠BCD=30°, BD=2,则AB的长为 ( ) A.2　　　    B.4　　　    C.8　　　    D.16            C     题型剖析 1． 点P(a,b)与Q(-2,-3)关于y轴对称,则ab的值为 ( ) A.-6　　　    B.-8　　　    C.8　　　    D.      D     解析　∵点P(a,b)与Q(-2,-3)关于y轴对称, ∴a=2,b=-3,∴ab=2-3= . 针对训练 2． 解析：连接AC,由题意得∠ABC=60°,AB=BC=40海里, ∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40海里. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海 里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地, 则A,C两地相距 ( ) A.30海里　　　B.40海里　  C.50海里　　　  D.60海里     B     针对训练 3. 如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD=_________. 解析　∵AC=8,CD=5,∴AD=8-5=3. ∵D在AB的垂直平分线上,∴BD=AD=3.     3     针对训练 4． 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=1,AB=4. 若S△ABC =3.5,则AC的长为_______.       3     解析　过点D作DF⊥AC于F 由角平分线的性质可得DE=DF=1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=3.5, ∴S△ACD=S△ABC-S△ABD=3.5- ×1×4=1.5. ∵S△ACD= AC·DF=1.5,∴AC=3. 针对训练 5． 将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置,已知∠1=60°,点B,C表示的刻度分别为1cm,3 cm,则线段AB的长为_________cm. 解析　∵直尺的两对边相互平行, ∴∠ACB=∠1=60°.∵∠A=60°, ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°,∴∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=3-1=2(cm).     2     针对训练 6． 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高. (1)实践与操作:仅用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分 线,并交CD于点E,交AC于点F.(保留作图痕迹,不写作法) (2)推理与计算:在(1)的条件下,若CE=2,求点F到边AB的距离. 针对训练 6． 解析    (1)如图,BF即为所求. (2)过点F作FG⊥AB于G点,如图, ∵BF是∠ABC的平分线,FG⊥AB,FC⊥BC, ∴FG=FC,∠CBF=∠ABF, ∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠CBD=90°, ∵∠A+∠CBA=90°,∴∠BCD=∠A, ∵∠CEF=∠BCD+∠CBF,∠CFB=∠A+∠ABF, ∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF=2,∴FG=2,即点F到边AB的距离为2. 针对训练 7． 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且AE=CD. (1)求证:AD=BE. (2)求∠BFD的度数.   针对训练 7． 解析    (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAE=∠C=60°,AB=CA. 在△ABE和△CAD中,  ∴△ABE≌△CAD(SAS),∴AD=BE. (2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD. 又∵∠BFD=∠BAD+∠ABE, ∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°. 针对训练 8． 如图1和图2,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8.点P从点A出发沿AB→BC匀速移动,到达点C时停止,点Q在边AC上随点P移动,且始终保持∠APQ=∠ABC, 设点P运动的路程为x.   (1)若点P在BC上,当x=__________时,点P与点A的距离最短. (2)如图3,当点P在AB上时,若PQ经过△ABC的两条角平分线BM与CM的交点M,求四边形PQCB的周长.(用含有x的式子表示) (3)当点P在BC上时,在点P的运动过程中,能否使得△ABP≌△PCQ? 如果能,请求出x的值;如果不能,请说明理由. 10 针对训练 8． 解析    (1)10. 当点P在BC上时,由垂线段最短可知,当AP⊥BC时,点P与点A的距离最短. ∵在△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AP⊥BC, ∴AP是BC边上的中线,∴BP=CP= BC=4, ∴x=AB+BP=6+4=10. (2)由题意可得∠APQ=∠ABC, ∴PQ∥BC,∴∠PMB=∠MBC, 针对训练 8． ∵BM平分∠ABC,∴∠PBM=∠MBC, ∴∠PMB=∠PBM,∴PM=PB, 同理可得QM=QC. ∵AB=AC=6,∴∠ABC=∠ACB,∴∠APQ=∠AQP, ∴AP=AQ=x,∴BP=PM=QM=QC=6-x, ∴四边形PQCB的周长=BP+PQ+CQ+BC=4(6-x)+8=32-4x. 针对训练 8． (3)在点P的运动过程中,能使得△ABP≌△PCQ. 由(2)可知∠APQ=∠ABC=∠ACB, ∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APQ+∠CPQ, ∴∠BAP=∠CPQ. 当AB=PC=6时,△ABP≌△PCQ(ASA), ∴x=AB+BC-PC=6+8-6=8, ∴当x=8时,△ABP≌△PCQ. 针对训练 ✅ 知识构建：全等三角形 轴对称图形 线段垂直平分线 等腰三角形 等边三角形 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 对称思想：轴对称是一种基本的几何变换。它改变了图形的位置与方向，但保持了形状和大小。 转化与化归思想：“等边对等角”和“等角对等边”实现了边与角这两类几何元素的等价转化。 数形结合思想：轴对称的规律（关于x轴、y轴对称的坐标变化）用代数语言精确描述了几何变换。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $