1.5有理数的乘除（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

1.5有理数的乘除 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的乘法法则 · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数与0相乘，都得0。 · 公式表示： 若(a>0)，(b>0)，则； 若(a<0)，(b<0)，则； 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则； （(a)为任意有理数）。 有理数乘法的运算律 · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 公式：。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 公式：。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 公式：。 有理数的除法法则 · 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 公式：（）。 · 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 公式： 若(a>0)，(b>0)，则； 若(a<0)，(b<0)，则； 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则； （）。 · 运算顺序：从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。 · 统一转化：通常将除法转化为乘法，再利用乘法法则和运算律进行计算。 例如：（）。 型 习 练 题 有理数乘法运算律 1．公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，需根据运算法则逐一判断. 【详解】解：∵ A: ，∴ A错误； ∵ B: ，∴ B错误； ∵ C: ，∴ C正确； ∵ D: ，∴ D错误； 故选：C. 3．运用运算律计算，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律的灵活运用，通过凑整简化计算． 将99拆分为，利用乘法分配律进行变形计算． 【详解】解：， ， 故选：D． 4．根据有理数的运算律，下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，乘法分配律和除法计算，根据有理数的加减计算法则可判断A；根据乘法分配律可判断B；根据除法计算法则可判断C、D． 【详解】解：A、，原式运算正确，不符合题意； B、，原式运算正确，不符合题意； C、，原式运算错误，符合题意； D、，原式运算正确，不符合题意； 故选：C． 5．运用了乘法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解∶ 运用了乘法分配律， 故选∶C． 有理数乘法的实际应用 6．齐齐哈尔扎龙自然保护区内有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的，白鹤比丹顶鹤少（   ）只． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法和有理数减法的应用，根据白鹤的数量是丹顶鹤的，先求出白鹤的数量，再计算白鹤比丹顶鹤少的数量． 【详解】解：∵有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的， 故白鹤的数量为（只）， 白鹤的数量比丹顶鹤的数量少（只）． 故选：A． 7．风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量，通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计：风寒指数气温风速，其中气温以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．当气温为，风速为时，风寒指数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据风寒指数公式直接计算即可． 【详解】解：∵风寒指数气温风速，气温，风速， ∴， ∴风寒指数， ∴风寒指数为， 故选：C． 8．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【详解】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 9．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 10．人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，分别计算与，即可知道小亮体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小亮体内血液质量位于与之间， 由四个选项知，小亮体内的血液质量可能为； 故选：C． 倒数 11．的倒数是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义．根据倒数的定义，直接计算的倒数即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：B． 12．的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数：乘积为1的两个数互为倒数，熟记倒数的定义是解题关键．根据倒数的定义解答即可得． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：D． 13．下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．和 B．和4 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数，计算各选项的乘积即可判断． 【详解】解：∵倒数定义：两数乘积为1则互为倒数； 计算各选项： A.，符合； B.，不符合； C.，不符合； D.，不符合； 故选A． 14．若的相反数是，则的倒数是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义．根据相反数的定义求出的值，再根据倒数的定义求解． 【详解】解：的相反数是， ， ， 的倒数为． 故选：C． 15．的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数和倒数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用相反数和倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 的倒数的相反数是． 故选：C． 有理数的除法运算 16．计算（    ） A．2 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B 17．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加、减、乘、除运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据正负数的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 18．已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，通过逐一验证每个运算符号的结果，找出使等式成立的符号即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ “”内应填入“”， 故选：． 19．计算（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，由此计算即可． 【详解】解： 故选：B． 20．计算的结果等于（  ） A．－3 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数除法的运算，两个负数相除结果为正数，计算数值后化简分数即可． 【详解】解：， 故选 ：C． 有理数四则混合运算 21．计算：． 【答案】42 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则． 先计算括号内的式子，再利用乘法法则计算，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 22．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算除法，再算减法即可； （2）先算乘除，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘除，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算顺序，先算乘除、后算加减； 利用加法交换律和结合律，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算： 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． 先把除号变成乘号，再使用乘法分配律计算，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式   . 有理数四则混合运算的实际应用 26．一架直升机从高度为的位置开始，先以的速度竖直上升，后以的速度竖直下降，这时直升机所在高度是多少？ 【答案】50米 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解题的关键. 根据题意直升机的飞行高度，先算乘除，再算加减. 【详解】解： （米） 答：这时的直升飞机所在的高度是50米. 27．某校七年级举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加1分，答错1道题扣1分，基本分为0分．七年级（五）班在第一环节答错3道题，第二环节答对5道题，第三环节答对4道题，第四环节答错2道题．求该班在这次知识竞赛中的总积分． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，正负数的实际应用，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题意可以列出相应的式子，从而可以求得这个班最后的得分． 【详解】解：（分） 所以，该班在这次知识竞赛中的总积分为4分． 28．两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达．客车每小时行50千米.如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？ 【答案】3小时 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是掌握有理数四则混合运算的实际应用． 先求出北京到该地的距离，再求出客车行驶的时间，然后求出客车它要比货车提前开出的时间． 【详解】解：∵货车每小时行60千米，15小时可到达. ∴北京到该地的距离为：（千米）， ∵客车每小时行50千米， ∴客车行驶的时间为：（小时）， ∴客车它要比货车提前开出：（小时）． 29．如果高度每增加，气温大约下降．现在地面的气温是，某飞机在该地上空处，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，利用高度每增加1km，气温大约下降，列出式子求解即可. 【详解】解：由题意，得， 答：此时飞机所在高度的气温是． 30．甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 【答案】丙在仓库做了4.5小时 【分析】本题考查工作效率，工作时间，工作质量之间的关系，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是，丙在仓库比仓库少做（小时），再根据和差问题的解法即可得出答案． 【详解】解：（小时）， （小时）， 故丙在仓库做了4.5小时． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5有理数的乘除 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的乘法法则 · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数与0相乘，都得0。 · 公式表示： 若(a>0)，(b>0)，则； 若(a<0)，(b<0)，则； 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则； （(a)为任意有理数）。 有理数乘法的运算律 · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 公式：。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 公式：。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 公式：。 有理数的除法法则 · 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 公式：（）。 · 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 公式： 若(a>0)，(b>0)，则； 若(a<0)，(b<0)，则； 若(a>0)，(b<0)（或(a<0)，(b>0)），则； （）。 · 运算顺序：从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。 · 统一转化：通常将除法转化为乘法，再利用乘法法则和运算律进行计算。 例如：（）。 型 习 练 题 有理数乘法运算律 1．公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．运用运算律计算，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．根据有理数的运算律，下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．运用了乘法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 有理数乘法的实际应用 6．齐齐哈尔扎龙自然保护区内有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的，白鹤比丹顶鹤少（   ）只． A． B． C． D． 7．风寒指数是对人们暴露在室外风中时寒冷感觉的度量，通过下面的计算可以对风寒指数做出很好的估计：风寒指数气温风速，其中气温以华氏度（）为单位，风速以英里每小时（）为单位．当气温为，风速为时，风寒指数为（    ） A． B． C． D． 8．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 9．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 10．人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 倒数 11．的倒数是（   ） A． B． C． D．4 12．的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 13．下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．和 B．和4 C．和 D．0和0 14．若的相反数是，则的倒数是（    ） A． B．5 C． D． 15．的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 有理数的除法运算 16．计算（    ） A．2 B． C．9 D． 17．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 18．已知算式的值为，则“”内应填入的运算符号为（ ） A． B． C． D． 19．计算（   ） A．3 B． C．4 D． 20．计算的结果等于（  ） A．－3 B．3 C． D． 有理数四则混合运算 21．计算：． 22．计算： (1)； (2) 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) 25．计算： 有理数四则混合运算的实际应用 26．一架直升机从高度为的位置开始，先以的速度竖直上升，后以的速度竖直下降，这时直升机所在高度是多少？ 27．某校七年级举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加1分，答错1道题扣1分，基本分为0分．七年级（五）班在第一环节答错3道题，第二环节答对5道题，第三环节答对4道题，第四环节答错2道题．求该班在这次知识竞赛中的总积分． 28．两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达．客车每小时行50千米.如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？ 29．如果高度每增加，气温大约下降．现在地面的气温是，某飞机在该地上空处，则此时飞机所在高度的气温是多少？ 30．甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个工作量完全相同的仓库工作．搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个较大仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，三人搬运效率不变；甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了12小时后同时搬运完毕，问：丙在A仓库做了多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $