培优专题04 排列组合常考的16大解题技巧题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题04 排列组合的解题技巧 题型1 分类加法与分步乘法的综合 题型9 正难则反间接法 题型2 数字的排列问题 题型10 相同元素隔板法（难点） 题型3 图形的染色问题 题型11 完全平均分组问题 题型4 特殊元素/特殊位置优先法（重点） 题型12 部分平均分组问题（重点） 题型5 相邻问题捆绑法（重点） 题型13 先分组再分配问题（重点） 题型6 不相邻问题插空法（重点） 题型14 圆桌排列问题 题型7 相邻与不相邻综合（重点） 题型15 配套问题 题型8 定序问题倍缩法 题型16 多条件叠加综合复杂题型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分类加法与分布乘法的综合（共3小题） 1．（四川省仁寿第一中学校（北校区）2026届高三上学期一模考试数学试题）将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 1 2 3 4 5 【答案】 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片， 第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片， 第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽5号卡片， 第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片， 第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片， 第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 2．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 【答案】ACD 【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解. 【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种. 对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确. 对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误. 对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为 ，概率为,故C选项正确. 对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种， “至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为， 所以概率为,故D选项正确. 故选：ACD. 3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 【答案】D 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解即可. 【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 题型二 数字的排列问题（共3小题） 4．(25-26高三上·四川成都郫都区·)【多选】用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD 5．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【答案】(1)240 (2)352 (3)108 【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 6．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 【答案】C 【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解. 【详解】 先排1，3，5，7，有种排法； 再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有种排法； 最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有种排法. 故相邻数字互质的排法共有（种）． 故选：C. 题型三 图形的染色问题（共3小题） 7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·月考)如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得. 【详解】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 8．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出区域1与区域3种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种． 故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为. 故选：B. 9．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 题型四 特殊元素/特殊位置优先法（共3小题） 10．甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 【答案】B 【分析】分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可. 【详解】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种， 甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种， 共有种， 故选：B 11．(25-26高三上·上海中学东校·)将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 【答案】504 【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得. 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 12．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 题型五 相邻问题捆绑法（共3小题） 13．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中)有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【答案】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 14．(25-26高三上·云南曲靖会泽县实验高级中学校·期中)若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 【答案】A 【分析】利用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可. 【详解】把甲､乙捆绑在一起，则甲､乙相邻的种数为， 故选：A 15．(25-26高三上·江苏镇江·)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 【答案】144 【来源】江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期初监测数学试题【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解. 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 题型六 不相邻问题插空法（共3小题） 16．(25-26高二上·上海宜川中学·期中)人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 【答案】 【分析】先把除甲乙之外的其他三人全排列，三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意，分步进行分析： ①把甲、乙之外的其他三人全排列，有种排法， ②三人排好后，有个空位，将甲乙安排到空位中，有种排法， 故甲乙不相邻的安排方法有种. 故答案为：. 17．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 【答案】A 【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题. 【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有种方法，再和化学书排列有种方法，最后剩下的2本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 综上，共有种方法. 故选：A 18．现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为 .（结果用数字作答）. 【答案】 【分析】先确定班主任位置，再从3名女生中选2名，将“相邻”的女生与剩余1名女生排列，最后排列男生，根据分步乘法计数原理计算站法总数. 【详解】班主任站中间位置，只有1种站法； 从3名女生中选2名女生，有种选法， 将“相邻”的2名女生排列，有种排法，则另外一个女生有种排法， 将3名男生排入剩下的3个空位种，有种排法， 根据分步乘法计数原理，总站法数为. 故答案为： 题型七 相邻与不相邻综合（共3小题） 19．(25-26高三上·贵州部分学校·)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 【答案】144 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 20．(25-26高三上·重庆兼善中学·月考)6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 【答案】/0.3 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得. 所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. 21．(25-26高一上·北京首都师范大学附属中学·期中)某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有种方法；甲班两人内部有种排法，故共有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故答案为：144 题型八 定序问题倍缩法（共3小题） 22．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 23．7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有 种排法． 【答案】20 【分析】法一：利用直接法求解即可；法二：先对6名同学作全排列，再去掉两边3人的排序即可求解. 【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有1种． 先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有种． 解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定， 所以排法共有种． 故答案为：20. 24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有 种情况. 【答案】60 【分析】解法1：因为甲比乙先到，所以排甲乙，再排另外3人即可. 解法2：根据题意，结合定序问题，先对所有人进行排序，再消除甲乙的顺序即可. 【详解】解法1：先在5个位置中选2个位置放定序元素甲、乙，有种；再排另外3人，有种.所以共有种. 解法2（定序问题）：5人全排列有种情况，由于甲和乙的顺序确定，因此满足条件的共有种情况. 故答案为：60. 题型九 正难则反间接法（共3小题） 25．(25-26高一上·上海向明中学·期中)某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有 种． 【答案】 【分析】利用排除法求解即可. 【详解】10名学生任选2名代表的选法为， 其中全部来自男生的选法不符合题意， 故至少有一位女生当选的选法有， 故答案为：24 26．(25-26高三上·内蒙古部分学校·)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 【答案】C 【分析】可用直接法或间接法求解. 【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况， 所以不同的选法种数为： . 法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为． 故选：C 27．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知某车库有一类车库四个，二类车库两个，（1）若从这个库中挑个不同的库，至少有1个二类库的概率是 ；（2）若这个车库每个库至多可停部车，现有辆车需同时停在库中，有 种不同停车方案（用数字作答）. 【答案】 / 【分析】①可分为“恰有个二类库”和“恰有个二类库”或利用对立事件“没有二类库”，结合古典概型进行计算； ②可分为辆车停在个车库、个车库、个车库三类求和. 【详解】①方法一：“至少有个二类库”可分为两类：“恰有个二类库”和“恰有个二类库”. “恰有个二类库”有种不同情况； “恰有个二类库”有种不同情况； 故“至少有个二类库”的所有可能情况有种. 又从这个库中挑个不同的库的所有可能有种， 用表示“至少有个二类库”，则. 方法二：因为“至少有个二类库”的对立事件是“三个都是一类库” 所以“至少有个二类库”的所有可能情况有种， 又从这个库中挑个不同的库的所有可能有种， 用表示“至少有个二类库”，则. 故答案为：##. ②将辆车同时停在库中，可分为三类：停在个库；停在个库；停在个库. 若辆车停在个库，则有种不同的停法； 若辆车停在个库，则有种不同的停法； 若辆车停在个库，则有种不同的停法； 故辆车同时停在库中，共有种不同的停车方案. 【点睛】“至少”、“至多”问题一般可写成互斥事件的和或用其对立事件表示；用分类计数原理求解问题时，要确定好分类标准，做到不重不漏. 题型十 相同元素隔板法（共3小题） 28．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【分析】利用“隔板法”进行求解． 【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 故选：C 29．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 【答案】 【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数. 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 30．（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有 种. （2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有 种. 【答案】 330 50388 【分析】（1）满足条件的分配方案数与将12个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端的方法数一致，结合隔板法可得结论； （2）满足条件的分配方案数与个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端的方法数一致，结合隔板法可得结论. 【详解】（1）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少1个名额， 相当于12个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，每组至少1个小球， 所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有种. （2）将12个名额（相同元素）分配给8个班，每班没有名额限制的方法， 与将个名额（相同元素）分配给8个班，每班至少一个名额，再从各班所分的名额中取走一个名额的方法相等， 也就相当于个相同的小球排成一行，在中间插入7块隔板将其分成8组，因为每组至少1个小球， 所以任意两块隔板不能相邻，且不能插在两端，由插空法可知名额分配方案共有种. 故答案为：；. 题型十一 完全平均分组问题（共3小题） 31．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（    ） A．60种 B．120种 C．180种 D．720种 【答案】B 【分析】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，然后由分类加法原理可求得结果. 【详解】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有种方法 另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则种方法， 由分类加法原理可知共有种不同的分组方法. 故选：B. 32．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有 种. 【答案】60 【分析】先平均分组，再分配计算，结合排列组合数计数求解. 【详解】登山运动员中不熟悉道路的有6人，熟悉道路的有4人，平均分为两组，有种. 对所分得的两个组进行排列，有种. 由乘法原理知． 故不同的分组方法有60种. 故答案为：. 33．（湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 【答案】 【分析】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种数，综合可得结果. 【详解】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 故答案为：. 题型十二 部分平均分组问题（共3小题） 34．(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【答案】D 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 35．（2025届新高考数学原创卷（5））2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【答案】B 【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可. 【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式． 若是3，1，1，1，1，则有种； 若是2，2，1，1，1，则有种． 所以共有种. 故选：B． 36．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 【答案】1560 【分析】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可. 【详解】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法； 若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 故答案为：1560. 题型十三 先分组再分配问题（共3小题） 37．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（   ）种 A．150 B．180 C．360 D．540 【答案】A 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 38．(24-25高二下·江苏启东中学·月考)某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B 39．(24-25高二下·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期末)4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 【答案】B 【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解. 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 题型十四 圆桌排列问题（共3小题） 40．（辽宁省部分示范性高中2025届高三下学期4月模拟联合调研数学试题）已知甲、乙、丙以及其他9个人围坐在圆桌旁，则甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是 . 【答案】 【分析】先让甲坐好，其余人随便坐，有种坐法，从甲顺时针方向记其余11个位置为，先安排丙的位置，再确定乙的位置，结合圆的对称性即可得有种坐法，最后由古典概型求概率. 【详解】先让甲坐好，其余人随便坐，有种坐法， 从甲顺时针方向记其余11个位置为， 因为甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人， 先安排丙的位置，若丙在1号位，则乙可以在号位，有7种， 若丙在2号位，则乙可以在号位，有7种， 若丙在3号位，则乙可以在号位，有7种， 根据圆桌的对称性，可得共有种， 所以甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是： . 故答案为： 41．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 【答案】21600 【分析】由已知条件求出所有的坐法数，再求出和相邻的坐法数，再求出相邻且相邻的坐法数，结合容斥原理可得结论. 【详解】由1，2，…，9这9个正整数构成的圆排列有（种）情况， 任意相邻两数之积不小于4，则1，2不能相邻且1，3不能相邻． 设满足1，2相邻的圆排列有种情况，满足1，3相邻的圆排列有种情况， 满足1，2相邻且1，3相邻的圆排列有种情况， 则，， 则满足要求的排列的情况有（种）． 故答案为：. 42．(24-25高二下·湖北云学部分重点高中·月考)某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将10人排成1列，随后安排第1人就座，据此可得排法总数. 【详解】将10人排成1列，有种方法，安排第1人坐下，有10种可能性，但因是围着一张圆桌坐成一圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：. 故选：B 题型十五 配套问题（共2小题） 43．（山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题）某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从4双不同花色的袜子从中随机任取3只所有的取法，再求出恰有2只花色相同的取法，根据古典概型求解. 【详解】从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有（种）不同的选取方法， 其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法， 所以概率为． 故选：A． 44．（广东省江门市2023届高三一模数学试题）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 题型十六 多条件叠加综合复杂题型（共3小题） 45．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为 ． 【答案】88 【分析】先安排再安排，根据选择北京故宫、西安兵马俑中个数，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且只去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑这个且只去个景点时， 只需将其他个景点分给，，有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑且去个景点时，有种选择， 只需将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择， 种， 故共有种不同的打卡方案． 故答案为：． 46．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)深圳市某公园一条笔直的林荫道上有张长椅．现因规划要求，需移走其中张长椅．要求两端的长椅不能移走，且移走的相邻两张长椅之间，至少要留下三张长椅，则不同的移走方案共有 ． 【答案】 【分析】先安排15张长椅，其中4张移走的长椅，则分成5段，将剩下的3张长椅放进5个位置中，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】先安排15张长椅，按如下顺序排好，分成5段.（表示留下的长椅，表示将移走的长椅） 再将剩下的3张长椅放进5个位置中，则： 第一类情况：若3张长椅在一起，有种方法； 第二类情况：若3张长椅分两组，有种方法； 第三类情况：若3张长椅均不在一起，有种方法. 根据分类加法计数原理共有种方法. 故答案为：. 47．（河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解. 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况. $专题04 排列组合的解题技巧 题型1 分类加法与分步乘法的综合 题型9 正难则反间接法 题型2 数字的排列问题 题型10 相同元素隔板法（难点） 题型3 图形的染色问题 题型11 完全平均分组问题 题型4 特殊元素/特殊位置优先法（重点） 题型12 部分平均分组问题（重点） 题型5 相邻问题捆绑法（重点） 题型13 先分组再分配问题（重点） 题型6 不相邻问题插空法（重点） 题型14 圆桌排列问题 题型7 相邻与不相邻综合（重点） 题型15 配套问题 题型8 定序问题倍缩法 题型16 多条件叠加综合复杂题型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分类加法与分布乘法的综合（共3小题） 1．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 1 2 3 4 5 2．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（    ） A．3人选择的作品均不同的方法总数为24 B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C．恰有1人选《红楼梦》的概率是 D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．12 B．24 C．64 D．81 题型二 数字的排列问题（共3小题） 4．(25-26高三上·四川成都郫都区·)【多选】用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 5．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 6．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 题型三 图形的染色问题（共3小题） 7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·月考)如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 8．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四 特殊元素/特殊位置优先法（共3小题） 10．（广西柳州市2026届高三第一次模拟考试数学试题）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（   ） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 11．(25-26高三上·上海中学东校·)将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 12．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型五 相邻问题捆绑法（共3小题） 13．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中)有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 14．(25-26高三上·云南曲靖会泽县实验高级中学校·期中)若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 15．(25-26高三上·江苏镇江·)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 题型六 不相邻问题插空法（共3小题） 16．(25-26高二上·上海宜川中学·期中)人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是 ． 17．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 18．（山东省实验中学2026届高三10月一诊数学试题）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为 .（结果用数字作答）. 题型七 相邻与不相邻综合（共3小题） 19．(25-26高三上·贵州部分学校·)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 20．(25-26高三上·重庆兼善中学·月考)6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 21．(25-26高一上·北京首都师范大学附属中学·期中)某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 题型八 定序问题倍缩法（共3小题） 22．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 23．7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有 种排法． 24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有 种情况. 题型九 正难则反间接法（共3小题） 25．(25-26高一上·上海向明中学·期中)某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有 种． 26．(25-26高三上·内蒙古部分学校·)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．100 27．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知某车库有一类车库四个，二类车库两个，（1）若从这个库中挑个不同的库，至少有1个二类库的概率是 ；（2）若这个车库每个库至多可停部车，现有辆车需同时停在库中，有 种不同停车方案（用数字作答）. 题型十 相同元素隔板法（共3小题） 28．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 29．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 30．（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有 种. （2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有 种. 题型十一 完全平均分组问题（共3小题） 31．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（    ） A．60种 B．120种 C．180种 D．720种 32．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有 种. 33．（湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题）将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 题型十二 部分平均分组问题（共3小题） 34．(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 35．（2025届新高考数学原创卷（5））2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（    ） A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 36．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 题型十三 先分组再分配问题（共3小题） 37．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（   ）种 A．150 B．180 C．360 D．540 38．(24-25高二下·江苏启东中学·月考)某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 39．(24-25高二下·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期末)4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 题型十四 圆桌排列问题（共3小题） 40．（辽宁省部分示范性高中2025届高三下学期4月模拟联合调研数学试题）已知甲、乙、丙以及其他9个人围坐在圆桌旁，则甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是 . 41．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有 种． 42．(24-25高二下·湖北云学部分重点高中·月考)某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 题型十五 配套问题（共2小题） 43．（山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题）某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（广东省江门市2023届高三一模数学试题）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ） A． B． C． D． 题型十六 多条件叠加综合复杂题型（共3小题） 45．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为 ． 46．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)深圳市某公园一条笔直的林荫道上有张长椅．现因规划要求，需移走其中张长椅．要求两端的长椅不能移走，且移走的相邻两张长椅之间，至少要留下三张长椅，则不同的移走方案共有 ． 47．（河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. $