5.5 一次函数与二元一次方程（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

5.5 一次函数与二元一次方程 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版八年级数学上册第五章一次函数，第5.5节“一次函数与二元一次方程”。核心知识点包括：一次函数与二元一次方程之间的相互转化、一次函数图象与二元一次方程（组）解的对应关系，及通过数形结合的方法求解二元一次方程（组）。 2.内容解析 本节通过“方程的角度”与“函数的角度”两种视角，引导学生理解一次函数与二元一次方程的对应关系：将 转化为 ；并利用一次函数图象可视化地求解二元一次方程组。重点在于让学生体会直线方程与图上点坐标的双向关系，形成“代数—几何”互通的数形结合思维。 1.教学目标 （1）知道一次函数与二元一次方程之间的关系，会用一次函数的图象求二元一次方程组的解，深化数形结合思想。 （2）通过探究一次函数与二元一次方程（组）之间的关系，感受数学知识与方法的内在关联性。 2.目标解析 目标1侧重让学生掌握将二元一次方程写成一次函数形式的方法，并能从图象上获取解；目标2强调在解决问题时，既能用代数分析方法，也能借助几何图形理解本质，提升综合应用能力。 3.重点难点 重点：一次函数与二元一次方程（组）的相互转化及图形交点与方程组解的对应关系。 难点：正确运用函数图象求方程组解，以及在实际情境中建模并解读图象所蕴含的信息。 学生已熟悉一次函数的基本概念和性质，对二元一次方程组也有初步解法经验。但将方程视为函数并利用图象求解的思路尚不够成熟；在模型建构和数形结合的应用中会遇到思维障碍。通过本节学习，可进一步提升图象与方程联动分析的能力。 创设情境，复习回顾 回顾七年级所学的二元一次方程与其解的概念： 一个二元一次方程 表示在平面直角坐标系中所有满足该方程的 坐标点的集合； 将 变形为 ，可以看作一次函数的形式。 引导学生思考： “所有的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式吗？应该如何转化？” “转化完成后，与我们之前所学的一次函数又有怎样的联系？” 【设计意图】通过引导学生直观感受 “方程” 与函数“” 的互相转化，复习旧知，并提出问题“如何将一般的二元一次方程转化为一次函数”，激发探究兴趣，为后续新知的学习做好铺垫。 探究点1：一次函数与二元一次方程的相互转化 1. 问题引入 请同学们观察下列方程和函数： 这个二元一次方程的解有多少个？能否任选出其中两个解？ 将这些解对应在直角坐标系里的点，是否在函数的图象上？ 2. 学生探究与展示 - 师生活动： - 教师提问：“如何把移项成一次函数？” - 学生口答：“令。” - 教师追问：“在直角坐标系中，以方程的解作为坐标的点，会落在什么图象上？” - 分组讨论，给出图像： - 教师追问：一次函数y＝2x－3的图象上点的坐标与二元一次方程2x－y－3＝0的解之间有什么关系？ 一次函数y＝2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y－3＝0的解； 反之，以二元一次方程2x－y－3＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝2x－3的图象上． 3. 新知导出 一般地，一次函数y＝kx＋b的图像上的任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解； 以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上． 【设计意图】 “从方程到函数”的可视化操作，帮助学生建立“代数—几何”间的直观联系，突破对一次函数与二元一次方程联系不够清晰的难点。 探究点2：一次函数与二元一次方程组的解 1. 问题引入 请同学们思考：若有两个一次函数的图象，或者说两条直线，它们的交点坐标会有什么含义？ 2. 学生探究与展示 讨论交流：二元一次方程组的解与同一个直角坐标系中一次函数y＝2x－3，y＝x－的图象交点坐标之间有怎样的关系？ - 师生活动： - 教师展示方程组并让学生将其分别转化为一次函数： - 组织学生在同一个坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。 - 引导学生归纳：“若两个一次函数的图象相交于一点，则该点坐标就是相应二元一次方程组的解。 -师生给出规范解答： 解：如图，点P(1，－1)既在y＝2x－3的图像上，又在y＝x－的图像上，是两图象的交点． 是的解. 3. 典例分析 例1 已知一次函数y＝3x－1的图象与正比例函数y＝kx (k为常数，k≠0) 的图象交点的横坐标是1． (1) 求k的值； (2)写出关于x，y的方程组的解． 解：(1) 把 x＝1代人y＝3x－1，得 y＝2， 把 x＝1，y＝2，代入y＝kx，得 k＝2． (2) 由(1)知，一次函数y＝3x－1的图象与正比例函数y＝kx的图象 交点坐标为(1，2)， 所以，关于x，y的方程组的解为 例2 在七年级下册“二元一次方程组”一章的复习题中，我们曾研究过如下问题：探索下列二元一次方程组解的情况： (1) (2) (3) 试利用函数图象，探索上述方程组解的情况，并对解的情况做出解释. 解：如图， 方程组 的解为 两个一次函数对应的直线有一个交点. 方程组 的解有无数个，两个一次函数对应的直线重合. 方程组 无解，两个一次函数对应的直线平行． 4. 新知导出 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 - 相应地： 1) 二元一次方程组无解 ⇔ 一次函数的图像平行(无交点)； 2) 二元一次方程组只有一个解 ⇔ 一次函数的图像相交(有一个交点)； 3) 二元一次方程组有无数个解 ⇔ 一次函数的图像重合(有无数个交点)。 【设计意图】通过作图与观察，将抽象的二元一次方程组转化为两条直线的交点问题，使学生在“数形结合”的环境下理解方程组解的存在性及唯一性。 探究点3：一次函数与二元一次方程应用举例 1. 问题引入 A，B两地相距200 km，甲列车从A地出发，以240 km/h的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发15 min后，从B地出发以320 km/h的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离s km关于时间t h的函数图象． 请根据图象回答问题： (1) 甲列车出发多久后与乙列车相遇？此时距A地多远？ (2) 甲列车出发多长时间内，其到A地的距离比 乙列车到A地的距离更近？ 2. 师生活动 - 师：观察图象展示列车速度与时间数据，要求列出相应的距离函数。 - 生：讨论、列式，分别得到 (1)由题意可知，s甲＝240t； 当0.25≤t≤0.85时，s乙＝200－320(t－0. 25) ＝－320t＋280． 当s甲＝s乙时，可得240t＝－320t＋280． 解得t＝0.5，240×0.5＝120(km)． 故甲列车出发0.5h后与乙列车相遇，此时距A地120km. (2) 由图象可知，甲列车出发0.5 h内，其到A地的距离比乙列车到A地的距离更近． 【设计意图】通过现实生活中“相向行驶”这一熟悉场景，让学生在情境中体会一次函数和二元一次方程组的重要应用价值，培养用数学知识分析实际问题的能力。 1. 若方程x－y＝1有一个解为则一次函数y＝x－1的图像上必有点___(2，1)_____. 2.若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是(3，2)则方程2x－y－4＝0必有一个解为__________. 3. 若二元一次方程组 的解为则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图像的交点坐标为___(8，4)______. 4. 一次函数y＝2x＋3和y＝x－的图像交于点A(－3，－3)，则方程组的解是______________. 5. 已知一次函数y＝kx＋1的图象与y＝－0.5x＋b的图象相交于点(2，5). 求k，b的值． 解：把x＝2，y＝5代入y＝kx＋1，得 2k＋1＝5， 解得 k＝2． 把x＝2，y＝5代入y＝－0.5x＋b，得 －0.5×2＋b＝5， 解得 b＝6． 6. 如图，l1是函数y＝x＋1的图象，l2是函数y＝nx＋5的图象． (1) 求n的值； (2) 当l2对应函数的值大于l1对应函数的值时，写出自变量x的取值范围． 解：(1)把x＝3代人y＝x＋1，得y＝2． 把x＝3，y＝2代人y＝nx＋5，得3n＋5＝2， 解得n＝－1． (2)由函数图象可知，当l2对应函数的值大于l1 对应函数的值时，x＜3． 7. 元代朱世杰(1249－1314)所著的《算学启蒙》中有这样一道题，大意：千里马每天跑240里(1里＝500 m)，普通马每天跑150里．普通马先出发12天，问千里马出发后几天可以追上普通马？如图是两匹马奔跑路程 s 里关于时间 t 天的函数图象，用一次函数解决这个问题． 解：由题意，得普通马的路程s1＝150t， 千里马的路程s2＝240(t－12)． 当150t＝240(t－12)时，解得t＝32． 32－12＝20(天)， 所以千里马出发20天后可以追上普通马． 1. 知识回顾 2. 新知探究 （1）二元一次方程→一次函数 （2）一次函数→二元一次方程 3. 归纳总结 ── 直线方程、图像、解三者的对应关系 4. 典例剖析 ── 解二元一次方程组=求两直线交点 1. 教材课后相关练习：完成课本对应习题，重点是将二元一次方程与一次函数互相转化，并用图像解决方程（组）的解。 2. 拓展探究题：参考列车相遇、马跑程问题，自行设计一个生活场景，并尝试用一次函数建模，找到二元一次方程的解或方程组的解。 3. 问题反思：在完成上述练习后，写一段简短文字，总结自己在将“实际问题转化为函数-方程”过程中的思路、体会与疑问。 本节课的教学目标总体达成良好，学生对“一次函数与二元一次方程之间的对应关系”有了清晰认识，能较熟练地通过函数图像求方程组的解。难点在于部分学生对“建立方程（组）并与图像对应”的过程还不够熟练，说明在将实际问题转化为函数模型，尤其是设未知数、列方程的步骤上仍需更多的强调与训练。今后可适当延长小组讨论及合作探究时间，让学生在更丰富的应用情境中反复演练，以夯实建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $