专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

该初中数学讲义以半角模型为核心，通过框架图系统梳理相似三角形知识体系，涵盖模型来源、核心特征、辅助线作法及90°与45°、120°与60°等常见考法，呈现正方形和120-60°模型的条件、结论与证明，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于真题与模型结合的分层练习设计，如2025年广东模考题通过旋转构造全等证明线段关系，培养推理意识和几何直观。例题覆盖正方形、矩形等情境，基础生可掌握模型应用，优秀生能探究变式，助力教师精准分层教学，提升复习效率。

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴ ∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴， 又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴， ∴，∴ ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴, ∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴， ∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2024·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，连接，将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，       由旋转可得，，，，， ∴，因此，点M，B，E在同一条直线上． ∵，∴ ． ∵，∴．即． 在与中，∴． ∴，故，故结论（1）正确； ∵ ，∴A，B，E，G四点共圆，∴， ∴ ，∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； 同理是等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，故结论（3）正确；过点作交的延长线于点，连接， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，，， ∵是等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴A，N，D，G四点共圆，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故结论（4）正确；故选：D． 例2（24-25九年级上·成都·专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点A逆时针旋转，使、与边的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．（1）的值为___________． （2）若，则的长为___________． 【答案】【探究】见解析；（1）8；（2） 【详解】探究：∵为等腰直角三角形，，∴，同理，， ∵，， ∴，∴； 应用：（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴， ∵，∴，∴． 例3（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 【答案】7.2 【详解】解：在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，四边形是矩形， ，，，，， ，四边形的平行四边形， ，，四边形是正方形， ，，，， ，，， ，，，， ，，，设，，， ，，， 在中，，，，， ，，，，，， ，，，故答案为：7.2． 例4（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，平分交边于点，延长至点，连结，使．(1)求证：．(2)若，，则的长为_____． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，平分，∴， ∵，∴，∵，，∴， 又∵，∴； （2）解：设，则，，∵，∴，即， ∴，∴或（负值不符合题意，舍去），∴的长为．故答案为：． 例5（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 【答案】(1)(2)①平行，② 【详解】（1）解：如图：∵四边形是正方形，∴，平分，∴， ∵，∴，又∵∴， ∴，∴∵，∴，∴； （2）解①：延长至点H，使得，连接，由（1）知，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，， ∵点G为的中点，∴，∵四边形是正方形， ∴，，而，∴， ∴，，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②解：过点作于点．过点作于点，， 又，四边形为平行四边形，，同上可得，， ∴，， ，，，， 又∴四边形为平行四边形，， 设，则，同上可求， ，，解得：， 则，由（2）得：，， ，． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析；；(2)． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； 过点作于点， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，相似比， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，． 例7（24-25·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 【答案】(1)(2)(1)中线段，，之间的等量关系还成立，证明见解析(3) 【详解】（1）解：四边形是正方形，，，， ，平分，， 在与中，， ，，，，， 平分，平分，，，； （2）解：（1）中线段，，之间等量关系还成立， 证明如下：延长到点H，截取，连接， 在与中，， ，， ，，， ，即， 在与中，， ； （3）解：如图：取、的中点P、Q，连接交于点H，连接， ，，，，四边形是正方形， 在中，，，，， ，由（1）同理得：， 设，则，，在中，， ，解得，是的中点， ， ，，，， 由勾股定理得：． 1．（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，以下结论：①；②若是的中点，则； ③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形．有几个是正确的（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，绕点逆时针旋转得到， ，，，又，，， 而，中，，，故①正确； ②过作，交延长线于，如图： 由（1）同理可得，，，， 设，，则，，，， 中，，，解得，，设，则， ，，中，，，故②正确； ③的周长 ， 正方形中，，的周长， 的周长等于长的倍；故③正确． ④，，，，， ，，， ，为等腰直角三角形，故④正确，故正确的有：①②③④．故选：D 2．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，,,，如果，则的长是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设DE=x，则AB=7+x．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠DCE=∠CAE=∠DBC=45° ∴△ACE∽△CDE∽△BDC，设CD=a，CE=b，则有以下等式：  x：b=b：3+x，x：a=a：4+x，x：a=b：AC，整理得：b2=x（x+3），a2=x（x+4），x•AC=ab， x2（x+3）（x+4）=a2b2=x2•AC2=，解得：x=5；∴AB=12，∴AC=BC=6．故选C． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）是两个全等的等腰直角三角形，，现将两条直角边重合，把绕点A逆时针旋转α角（）到如图所示的位置时，分别与相交于点F、G，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D． 【答案】D 【详解】解：∵是两个全等的等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴， ∴，∴．综上所述：图中相似的三角形共有4对．故选D． 4．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：延长，交于，作于，设，    ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴∴， ∴，∴，∴ ∵，，∴， ∴∴，∴， ∴，∴， ∴点E的坐标是 故答案为：． 5．（2025·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④；⑤图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是 ．      【答案】①②③④ 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴，，故①正确； ∴，∵，，∴，∴， 在和，，∴， ∴，，故②正确； ∵，，∴，∴，故③正确； ∵，，∴，∴∴，故④正确， ∵，∴，又∵，∴， 由④可知：，∵，∴， 又∵，∴，由②可知：，∴，， 又∵，∴，，∴，， ∴，由①可知：，， ∴，，∴，故⑤错误，故答案为：①②③④．        6．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 【答案】 【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x， ∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME=， ∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA， ∴，∴，解得：x=；∴AF=故答案为． 7．（24-25九年级上·黑龙江·期末）如图，等腰三角形中，，D为的延长线上一点，E为的延长线上一点，且．(1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∵．∴，∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴． 8．（2025·江苏·模拟预测）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 　 　；（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：； （3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，，，， ，、、三点共线， 在和中，，，， ∵，； （2）如图，由（1）知：，，       又四边形是正方形，，，， 是正方形的对角线，， ，， 又，， 又，； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ，又，，，，， 四边形是菱形，，，， ，，，， ，， ，． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3)不发生变化， 【详解】（1）①证明：正方形， ，，，， ，，， 为等腰直角三角形，，． 在和中，． ②如图，连接交于点，则， ，，由①知，，， 又，， 在和中，．  ， ，． （2）如图，连接，，，      又，，  ． （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接，过点E作于点W， 由（2）知，，    又，，∴， 为等腰直角三角形，即，，即点W与点Q重合， 为等腰直角三角形，． 10．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接． (1)求证：；(2)当时，①求的值；②若，求的长．    【答案】(1)见详解(2)①；② 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：①∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，，∴； ②由①知，，∵，∴， 在中，，∴，∵四边形是矩形，∴． 11．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 【答案】（1）选小东发现的结论，证明见解析、（2）证明见解析、（3） 【详解】证明：（1）选小东发现的结论．理由如下： ∵，，∴． ∵，，∴． 选小红发现结论，同理可得：． （2）作于F，则． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． 设，，在中，根据勾股定理．∴． 在中，根据勾股定理． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∴．∴．∴． （3）作交延长线于G，则． ∵，∴．∴． ∴．∴， 在中，∵，∴． 在中，根据勾股定理得． ∵，，∴是正三角形．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴． 12．（24-25·吉林长春·九年级校考开学考试）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．(1)求证：；(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值；②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析(2)①8②4﹣4 【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°，同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC，∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA，∴ ，∴，∴BN•CM＝8，故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN，∴BN＝CM，∵BN•CM＝8，∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝，故MN的长为． 13.（2025·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    【答案】(1)(2)（1）中的结论不成立，，详见解析(3)； 【详解】（1）；理由：延长到点E，使得，         ∵四边形是正方形，∴， ∵,∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）（1）中的结论不成立，正确结论为：． 理由：如图2，在上截取，连接，则， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴． （3）连接，∵四边形是正方形，， ∴ ∴，，， ∵∴，∴， ∴，∴，解得；∵四边形是正方形， ∴，，，∴， ∵，∴∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴． 14.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究] 【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴，∴，即，故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形； （2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵是对角线，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴, ∵，∴设，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 15.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 16．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）【实践探究】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易得：，且，，三点共线，求证：． （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你找出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，、在矩形的边、上，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）结论：． 理由：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接． ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （3）在上截取，连接，在上截取，连接， 设，∵四边形是矩形， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴ ，∴， ∴或（舍去），∴，∴ ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2024·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 例2（24-25九年级上·成都·专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点A逆时针旋转，使、与边的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．（1）的值为___________． （2）若，则的长为___________． 例3（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 例4（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，平分交边于点，延长至点，连结，使．(1)求证：．(2)若，，则的长为_____． 例5（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 例7（24-25·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 1．（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，以下结论：①；②若是的中点，则； ③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形．有几个是正确的（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，,,，如果，则的长是(    )． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）是两个全等的等腰直角三角形，，现将两条直角边重合，把绕点A逆时针旋转α角（）到如图所示的位置时，分别与相交于点F、G，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D． 4．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 ．    5．（2025·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④；⑤图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是 ．      6．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江·期末）如图，等腰三角形中，，D为的延长线上一点，E为的延长线上一点，且．(1)求证：；(2)若，求的度数． 8．（2025·江苏·模拟预测）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 　 　；（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：； （3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．    9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 10．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接． (1)求证：；(2)当时，①求的值；②若，求的长．    11．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长． 图3 12．（24-25·吉林长春·九年级校考开学考试）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合．(1)求证：；(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值；②若，请求出的长． 13.（2025·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    14.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 15.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 16．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）【实践探究】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易得：，且，，三点共线，求证：． （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你找出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，、在矩形的边、上，，，，，直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $