精品解析：上海市徐汇区园南中学2025-2026学年上学期九年级强基一模数学试题

上海市徐汇区园南中学2025-2026学年上学期九年级强基一模数学试题 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（ ） A. B. C. D. 4. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为 ，那么此时热气球离着落点的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 5. 已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（ ） A. B. C. D. 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 8. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 9. 将二次函数化为的形式：________． 10. 已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么_____． 11. 某校初三数学活动小组在利用尺规把线段分割成两条线段． ①过点作，使． ②连接，在线段上截取 ． ③在线段上截取． 那么________． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、 是常数，且），以原点为中心，旋转 得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段、的比例中项时，的值为_________． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 14. 如图，在中，点、分别在边、上， ，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 15. 如图，在中，， ，中线与高交于点，如果，那么______． 16. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点， 的延长线交于点，如果，连接，那么______． 18. 已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线上，求的正弦值． 21. 如图，已知在梯形中，，， ，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 22. 如图，和 都是直角三角形纸片， 且和 不相似．其中 ， ， ， （ ）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和 分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． （1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 23. 已知：如图，中， ，点是边上一点，过点作交延长线于点，． （1）求证： ； （2）求证： ． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． （1）若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； （3）在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点，与轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线 与直线垂直，且时，求点的坐标． 25. 已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． （1）如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； （2）如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市徐汇区园南中学2025-2026学年上学期九年级强基一模数学试题 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A. 各个内角的大小始终保持不变 B. 各条边的长度始终保持不变 C. 三角形的面积始终保持不变 D. 三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选： ． 3. 已知线段，求作线段 ，使．下列作图方法中不合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段 ，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段 的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定 的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图， 交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，， 交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 4. 小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为 ，那么此时热气球离着落点的距离约是（ ）（参考数据：，，） A. 75米 B. 80米 C. 100米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点的距离约是100米， 故选：C． 5. 已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与 轴两交点的距离为9，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且抛物线与 轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧随着 的增大而减小，在对称轴的右侧随着 的增大而增大，抛物线与 轴每个交点到对称轴的距离都为 ， ∴抛物线与 轴的左侧的交点对应的数大于， 若，不符合题意，故 若，则：抛物线与 轴的一个交点范围为， ∴抛物线与 轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意；故 当时，则抛物线与 轴的一个交点范围为， ∴存在抛物线与 轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意； 故只能是； 故选：D． 6. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿 轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断 ；由当 时，随着 的增大而减小，当时，随着 的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断 ；由函数图象的对称轴为直线 ，当 时，随着 的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解： 、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项 错误； 、由表可知，当 时，随着 的增大而减小，当时，随着 的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项 错误； 、∵函数图象的对称轴为直线 ，当 时，随着 的增大而减小， ∴沿 轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知抛物线有最高点，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 8. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为 ， 由题意得，， ． 故答案为：． 9. 将二次函数化为的形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】由于二次项系数为1，故运用配方法，即等式右边直接同时添加和减去一次项系数一半的平方，将原二次函数化为顶点式形式，通过位置的一一对应确定参数数值. 【详解】， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数解析式中一般式和顶点式之间的关系. 10. 已知线段，是线段 的黄金分割点，且，那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【详解】解：线段，是线段 的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 11. 某校初三数学活动小组在利用尺规把线段 分割成两条线段． ①过点 作，使． ②连接，在线段上截取 ． ③在线段 上截取． 那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，根据题意，画出图形，利用勾股定理，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线（其中、、 是常数，且），以原点为中心，旋转 得抛物线，则称是的“中心对称抛物线”．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与 轴的交点从左到右依次为、 ．将抛物线的“中心对称抛物线”向右也平移个单位长度，与 轴的交点从左到右依次为、．当线段是线段 、的比例中项时，的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求抛物线 与 轴交点，平移后得 、 坐标；再求 的中心对称抛物线 与 轴交点，平移后得 、 坐标；然后表示 、、 的长度，最后根据 列方程求解 ． 【详解】解：抛物线 ， 当 时，， 解得 ，， 所以与 轴交点为 和 ． 将 向左平移 个单位，与 轴交点从左到右依次为 、 ， 所以 ，． 抛物线 的顶点为 ，关于原点对称点为 ， 所以 ． 当 时，， 解得 ， ， 所以与 轴交点为 和 ． 将 向右平移 个单位，与 轴交点从左到右依次为 、， 所以 ，． 则 ， ， ． 由 ，得 ． 当 时，即 ，方程为 ， 整理得 ，即 ， 解得 ，均满足 ． 当 时，方程为 ， 整理得 ，即 ， 判别式 ，无实数解． 故 ， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随 的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时，随 的增大而减小， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点、分别在边 、上， ，，设，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ， ∴， ∴，即 ， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，， ，中线与高交于点，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出 的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线， ， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在 中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在 中， ． 故答案为：． 16. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达 处，在 处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设 海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设 海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点， 的延长线交 于点，如果，连接，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含、的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于的一元二次方程，解出的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 18. 已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得 ，再根据折叠的性质得到，，，求得，推出 ，由E是边的中点，得到 ，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】如图，延长交于G，连接 ， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ． ∵将沿折叠，点A落到点F处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角的三角函数值和实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线上，求的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求角的正弦值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理，推出为直角三角形 ，利用正弦的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 点在抛物线上 、、 ，， ， 为直角三角形 ， 在直角三角形中，． 21. 如图，已知在梯形中，，， ，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在 中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得 ， ，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在 中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在 中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【小问1详解】 解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在 中， ， ， 由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：由（1）可得： ， ， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在 中， ，， ， ， 在 中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 22. 如图，和 都是直角三角形纸片， 且和 不相似．其中 ， ， ， （ ）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和 分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． （1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】（1）存在， 分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得 ，              证明： ， ， ， ， ， ，，，， ， 即 ， ，                                    ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到 ，故过点的直线交边于点，使得 ，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 23. 已知：如图，中， ，点是 边上一点，过点 作交延长线于点，． （1）求证： ； （2）求证： ． 【答案】（1）证明： ， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与 中， ，是公共角， ， ， 即 ； （2）证明：延长CA、BE交于点H，如图： ，，由三角形内角和可得 ， ， 又， ， 在与中，， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明 ，得到，，又因为，所以 ，然后证明 ，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以 ，证明 ，得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，的图像与 轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧）． （1）若将的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）若的图像在直线的右侧呈上升趋势，求的取值范围； （3）在（1）中所求的的图像与轴的交点记为点 ，与 轴的正半轴交点记为点，点在的图像上．当直线 与直线垂直，且时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式中即可解出b的值； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，由原抛物线在直线的右侧呈上升趋势，得，解得：； （3）先求出，，，，则，，根据建立方程，解得，所以，设，当直线 与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示，可证明，得，解得，，可求M点坐标． 【小问1详解】 解：将抛物线向上平移2个单位， 新抛物线的表达式， 新抛物线经过点， ， ， 新抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：抛物线， 对称轴为直线， 原抛物线在直线的右侧呈上升趋势， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）得， 令，则；令，则，解得或 ， ，， ∴， 原抛物线与 轴的两个交点为点、点， ，， ∴， 则，，且， 即， 解得或7（舍去）， ， 设， 当直线 与直线垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，即， ，， ，． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 25. 已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． （1）如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； （2）如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求 的长． 【答案】（1） （2） （3）EH或0 【解析】 【分析】（1）过点A作 于点H，可得，，根据勾股定理求出，根据，可以求出； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，①当时，证明 ，进而证明，∴设，则 ，根据求出，﹒过点F作于点G，求出，，即可求出；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【小问1详解】 解：如图，过点A作 于点H， ∵是等边三角形， ∴， 设，则，， 在中，， ∵和是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ①如图， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴设，则 ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 过点F作于点G， ， ∴﹒ ∵， ∴， 解得； ②如图， 当时，则， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴E、H重合，C、F重合， ∴﹒ 综上，或﹒ 【点睛】本题为相似三角形的综合应用，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数应用等知识，理解相关知识，根据题意正确添加辅助线，是解题关键，第（2）步注意分类思想运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $