精品解析：广东省江门市棠下中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

棠下初中期中考试九年级数学科试卷 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．根据中心对称图形的定义结合各图形的特点即可解答． 【详解】解：是在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的有第2个与第4个，即中心对称图形是第二个与第四个，其它两个不是． 故选：B． 2. 已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点中心对称的对称点的坐标，根据关于原点中心对称的对称点的坐标的横纵坐标与原坐标的横纵坐标互为相反数即可得解． 【详解】解：点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是， 故选：C． 3. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A. 83° B. 84° C. 86° D. 87° 【答案】C 【解析】 【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵∠ACB＝43°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝86°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；先将方程化为一般形式，再计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 即， ∴，，， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 已知点，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，得出当时，随的增大而减小，判断、的大小情况，选择答案即可． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 6. 如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵线段是的直径，于点E，， ∴， ∴在中，可有， ∴半径是10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． 7. 二次函数y＝﹣（x+3）2﹣2的图象的顶点坐标为（　　） A. （3，2） B. （3，﹣2） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】由于二次函数y＝a（x﹣m）2+k的顶点坐标为（m，k），由此即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x+3）2﹣2， ∴其图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 9. 如图，，，将时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 10. 如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 二、单选题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位， 所得的抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减，左加右减． 13. 若是方程的一个根，求的值_________ ． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解得的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 14. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得是解题的关键． 由、是的切线，A、B为切点，得，由切线的性质得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．根据所建立的直角坐标系可得，设抛物线的解析式为，求出抛物线的解析式为，根据题意可得：当水面下降米时，，求出此时自变量的值，即可求解． 【详解】解：由如可知，以拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系， 水面宽度为米，拱顶离水面的距离为米， ， 设抛物线的解析式为，将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当水面下降米时，， ， 解得：，， 当水面下降米时，水面的宽度为米， 故答案为：． 三、解答题一（共3题，每小题8分，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解， （2）采用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴  或 ， ∴  或 ； 【小问2详解】 解： ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 17. 如图，，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的； （3）求出点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【答案】（1） ． （2） ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握中心对称性质，旋转性质，弧长公式，是解题的关键． （1）可得，顺次首尾连接各点，即得； （2），顺次首尾连接各点，即得： （3）可得旋转半径为，旋转角为，根据弧长公式即可计算点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【小问1详解】 解：∵，，关于原点的中心对称的点为：， ∴顺次首尾连接各点，即得． 【小问2详解】 解：∵，，绕原点顺时针旋转的点为：， ∴顺次首尾连接各点，即得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长为． 18. 已知抛物线过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在此抛物线上？ 【答案】（1） （2）点不在此抛物线上 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，抛物线上的点的特征，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：把和代入解析式，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点不在抛物线上． 四、群答题二（共3题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接交于点． （1）判断的形状，并证明； （2）求的长． 【答案】（1） 解：为等腰直角三角形，证明如下： 由旋转得，，， 为等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用旋转的性质判断即可； （2）过点作于点，由旋转的性质得，，，再利用勾股定理，分别求出，，的长，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 过点作于点， 由旋转得，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ． ，， ， ， 即为等腰直角三角形． ， ． 在中，， ，． ， ． 答：的长为． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 21. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得．利用三角形中位线定理判定，即可证明结论； 根据等腰三角形的性质得，三角形内角和定理求得，进一步得，过点B作于M，则，利用勾股定理即可求得，结合面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及圆周定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质、切线的证明、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是数量掌握圆的性质和常见辅助线的添加． 五、解答题三（共2题，每小题12分，共24分） 22. 已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点N．使得的面积最大，最大值为多少？ （3）在抛物线对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求K、L的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）或，或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与特殊四边形，利用平行四边形的性质求解，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）求出抛物线的对称轴为，，设，分类讨论：①当为平行四边形的边时，②当平行四边形为对角线时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为，令对称轴交x轴于点E，则． 令，则， 解得， ∴，设． ①当为平行四边形的边时，如图 有，， ∴，， 即， 解得或． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴或． ②当为平行四边形为对角线时，如图， 有与互相平分， ∵的中点为， ∴的中点也为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或或． 23. 已知为的弦，PB为的切线，过作的垂线，垂足为C，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点D，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：延长交于点M，连接，如图， ∵为的直径， ∴，， 由（1）知，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合，包括切线的性质，圆的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形求解． （1）先判断出，进而判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而由角边角的证明方法得出，即可得出结论； （3）先使用勾股定理求出，进而得出，，即可求出，再判断出，，即可得出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点O作于点G，延长交于点E，点O作于点F，连接，如图， 设，则， ∴， ∵， 由（2）可得， 在中，， 即，解得或（舍）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， 在中，， ∴，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棠下初中期中考试九年级数学科试卷 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A. 83° B. 84° C. 86° D. 87° 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知点，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 二次函数y＝﹣（x+3）2﹣2的图象的顶点坐标为（　　） A. （3，2） B. （3，﹣2） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，，，将时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、单选题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 12. 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线的解析式为______． 13. 若是方程的一个根，求的值_________ ． 14. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 15. 如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为________米． 三、解答题一（共3题，每小题8分，共21分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的； （3）求出点A绕点顺时针旋转后到所经过的路径长． 18. 已知抛物线过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在此抛物线上？ 四、群答题二（共3题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，点为内一点，，，连接，将绕点逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为点，连接交于点． （1）判断的形状，并证明； （2）求的长． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 21. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 五、解答题三（共2题，每小题12分，共24分） 22. 已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点N．使得的面积最大，最大值为多少？ （3）在抛物线对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求K、L的坐标． 23. 已知为的弦，PB为的切线，过作的垂线，垂足为C，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点D，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $