精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学周测9（10.30）

2025年10月30日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 7. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 二、多选题 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 10. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 11. 已知实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知是定义在上的偶函数，则________. 13. 若函数，存在最值，则实数的取值范围是__________. 14. 已知定义在R 上的函数满足：，则=________；若，对任意的都有 则不等式的解集为_______. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 17. 已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． （1）求函数的解析式； （2）在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 18. 已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． （1）证明：； （2）证明：在单调递减； （3）解关于的不等式：． 19. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月30日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集与补集的概念，可得答案. 【详解】由，则，由，且，则，所以． 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误. 【详解】，当时，有，A选项错误； ，有，所以，B选项正确； 当，满足，，， 有，C选项错误； 满足，，，有，D选项错误. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】换元法求解析式. 【详解】设，则，， 所以， 所以， 故选：B. 4. 在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，函数与的定义域均为， 且，故B选项中的两个函数相等； 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故C选项中的两个函数不相等； 对于D选项，对于函数，有，解得或， 即函数的定义域为， 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不相等. 故选：B. 6. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】若，解不等式，即，解得，即， 当时，集合中的所有整数之和取最大值为，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，，且集合中所有整数元素之和为， 且，因此，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合中整数元素和求参数，在解出集合后，关键就是确定集合中的整数元素有哪些，以便确定参数所满足的不等关系，进而求解. 8. 对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可得，进而求出的值即可. 【详解】令，可得，故， 令，可得， 由不恒为0，得，则是奇函数，即有， 因为， 所以 令，得到，故B正确. 故选：B. 二、多选题 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式解集即可得，则可判断A；根据韦达定理得，代入计算即可判断BD；代入即可判断C. 【详解】对A，因为关于的不等式的解集为，则，故A正确； 对B，由题得，解得，即为，解得，故B错误； 对C，因为，则将代入不等式得，故C正确； 对D，不等式即为，即，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式和韦达定理即可得出. 【详解】对于C：由，得， 所以，当且仅当时等号成立，得，所以，故C错误； 对于B：又，得，当且仅当时等号成立，所以，故B正确； 对于A：又将看成关于n的一元二次方程， 由实数n存在，所以，解得，故A正确； 对于D：令，则代入，得，由， 所以，得，解得，即，所以正确，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知是定义在上的偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 13. 若函数，存在最值，则实数的取值范围是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用一次函数的性质分类讨论去绝对值符号，分析即可. 【详解】①当时，，，在上单调递减， 上单调递减，此时无最值； ②当时，，则易知有最小值-3. ③当时，，， 在上单调递减，上单调递增，上单调递增， 即有最小值，则，∴， 综上：. 故答案为：. 14. 已知定义在R 上的函数满足：，则=________；若，对任意的都有 则不等式的解集为_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解；由构造函数，且在上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，令，得，解得； 设，则， 由，得，即， 设，则在上单调递减. 由，可得函数图象关于对称， 则的图像关于原点对称， 函数是奇函数，则满足是偶函数，则在上单调递增. 当时，可得，即. 所以，解得； 当时，可得，即，即. 所以，解得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：1； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且在上单调递减. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【小问1详解】 已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 16. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米 【解析】 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 由题意可知：∵，∴，∴， ∴， 由，得， ∵， ∴，即, 解得：或， 即长的取值范围是； 【小问2详解】 解法一：∵， ∴ ， 当且仅当，即时，取“=”号， 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 解法二：∵∴， 令得， 当时，，当时， 当时，S取极小值，且为最小值， 即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米． 17. 已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． （1）求函数的解析式； （2）在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据条件得到关于的一个关系式，然后将不等式恒成立问题转化为与0的关系，从而求解出的值，则的解析式可求； (2)根据条件将问题转化为在有解，分析出的最小值，则可求解出的范围，从而的范围可求. 【小问1详解】 且，， 又对一切实数x恒成立， 对一切实数x恒成立， ①当时，，若，则，， 不符合题意； ②当时，若对一切实数x恒成立， 则，， 又，，，， ； 【小问2详解】 由题可知， 则关于x的不等式在有解， 即在有解， 即在有解， 当时，， 令，， 则，其中， 当时，， ，，，， 或， 实数m的取值范围为. 18. 已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，． （1）证明：； （2）证明：在单调递减； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） 当时，成立， 当时，成立， 当时，，且， 所以，所以，解得， 综上所述，当时，. （2） 由（1）得当时，， 任取，，且， 则，，，， 所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证； （2）利用定义法证明函数单调性， （3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得函数在上单调递减， 又， 所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 19. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）按照和分为两种情况，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时不等式为一元二次不等式，根据一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系进行求解. （2）先令，由，利用基本不等式得，；再将关于的方程有四个不同的实根转化为关于的方程有两个不同的正实根，结合根与系数的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，即， ①当时，不等式 即为：，解得：， ②当，方程的两根分别为，. 当时，有，函数图象开口向下，此时不等式的解集为. 当时，有. 当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为或. 当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为. 当，即时，函数图象开口向上，此时不等式解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【小问2详解】 令. ， ，当且仅当时等号成立. 存在使关于的方程有四个不同的实根. 存在使关于的方程有四个不同的实根. 令， ， 为偶函数. 存在使关于的方程有四个不同的实根等价于存在使关于的方程有两个不同的正实根. 则. 所以存在使成立，即存在使成立. 由，，，得. 关于的函数在上单调递减. 则，解得：， ， . 综上可得：当存在使关于的方程有四个不同的实根，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查含参一元二次不等式的解法，函数与方程之间的关系.解题关键在于：第（1）问对参数的讨论以及一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系的掌握和灵活使用；第（2）问先利用基本不等式及函数性质将关于的方程有四个不同的实根转化为关于的方程有两个不同的正实根；再结合根与系数的关系列出不等式组，逐个进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $