3.7 切线长定理（分层作业）数学北师大版九年级下册

3.7 切线长定理 1．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 4．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为（   ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 9．（2025·河北石家庄·三模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 10．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、，若的周长是，则 ． 11．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，分别切于点A，B，连接．若，则 度． 12．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为 ．    13.（2023九年级上·全国·专题练习）如图，、分别是的切线，、是切点，是的直径．已知，则的度数为 °．    14．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，． (1)尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 1．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·湖北武汉·月考）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·三模）如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 5．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 6．（2025·四川成都·三模）如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 7.（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（   ） A．25 B．26 C．30 D．34 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7 切线长定理 1．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 利用切线长定理即可直接得出答案． 【详解】解：由切线长定理可知： ， 故选：． 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理；由切线长定理得，，即可求解． 【详解】解： 、、是的切线， 切点分别是、、， ，， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 4．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解． 【详解】解： 、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，由圆周角定理的推论得，再由切线长定理得，从而得，进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，分别切于点B、C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，、分别是的切线，、为切点，是的直径，已知，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理．熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得等腰，运用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别是的切线， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据切线长定理得出，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 在中，， ∴ 解得， 即的长度为． 故选D． 8．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键． 由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵分别切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 9．（2025·河北石家庄·三模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，已知，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，熟记切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得出，，根据，得出的值，即可解答． 【详解】解：是直角的内切圆，且，， ，， ∵， ， 的周长为， 故答案为：26． 10．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长 【详解】解：，都是圆的切线， ， 同理，， 的周长， ； 故答案为． 11．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，分别切于点A，B，连接．若，则 度． 【答案】31 【分析】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质．由切线的性质得到，，由等腰三角形的性质求得，即可求出． 【详解】解：，分别切于点，， ，， ， ， ， ， 故答案为：31． 12．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为 ．    【答案】8 【分析】本题考查了切线长定理．由、分别与相切于点、，根据切线长定理得到，同理得，再根据三角形周长的定义得到的周长，然后利用等相等代换得到的周长． 【详解】解：∵、分别与相切于点、， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴的周长 ， 故答案为：8． 13.（2023九年级上·全国·专题练习）如图，、分别是的切线，、是切点，是的直径．已知，则的度数为 °．    【答案】55 【分析】由于、都是的切线，由切线长定理知，知道了顶角的度数，即可求得底角的度数，进而可由切线的性质及直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：、分别是的切线， ；， ， ， ∴， 是的直径， ∴ ． 故答案为55． 【点睛】此题主要考查了切线长定理和切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 14．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且， ∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：21． 15．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，． (1)尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了作三角形的内切圆，切线长定理： （1）分别作的平分线交于点P，过点P作边的垂线，垂足为点E，再以点P为圆心，长为半径作圆，即可； （2）证明四边形为正方形，可得，再根据切线长定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，设与三边、、的切点分别为F，E，D，连接，设的半径为r， ∵， ∴， ∵与三边、、都相切， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即的半径为2． 1．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，小珍同学借助直角三角板（）测量纸杯底面圆的半径，圆与边相切于点，与的延长线相切于点，测得cm，则底面圆O的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，，，根据切线长定理求出，根据切线的性质得到，再根据正切的定义计算即可． 【详解】如图，连接，， ∵， ∴， ∵、是圆的切线， ∴，， ∴， 故选：C． 2.（24-25九年级上·湖北武汉·月考）直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证明，为的切线；可得，，，过作于，证明四边形为矩形，可得，，，，求解，同理可得：，，证明四边形为矩形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，以为直径的切于点E， ∴，为的切线； ∴，， ∴， 过作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定，切线长定义的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2025·安徽·三模）如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别与圆相切于点，是半径， ∴，，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键， 利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 5．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理． 过点作,画出内切圆，利用切线长定理表示出相等的线段，假设，利用列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作,画出内切圆， 根据切线长定理得，， 又∵， ∴， 即， 假设，则,， ∴， 解得， ， 故答案为：7． 6．（2025·四川成都·三模）如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 【答案】(1)见解析 (2)和的半径 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）与的交点记为F，证明．则，即，得到，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）解：①如图，与的交点记为F， ∵为直径，， ∴是的切线，又与相切， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，的半径． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、切线长定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是关键． 7.（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（   ） A．25 B．26 C．30 D．34 【答案】D 【分析】如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，整理得，再表达出点，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 由题意得：， 由切线长定理可得：，，，且， 则，四边形为正方形， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 则， 整理得， 则， ∵点是大正方形的中心， 则， ∴， 则, 即， ∵， ∴， 令，则， 即， ∴， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， 把代入中， 整理得即， 解得或， ∴或， ∴， ∴大正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式变形求值，综合性强，能力要求高．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $