5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二课时 函数 的图象与性质 1.会用“五点法”画函数 的图象. 2.掌握函数 的图象与性质，并能解决有关问题.(重点) 3.能够利用函数 解决实际问题.(重点、难点) 利用“五点法”作出函数 (A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空. ωx＋φ 0 π 2π x y 0 A 0 －A 0 “五点法”作 的图象 例1.用“五点法”画函数 在一个周期内的图象. 0 π 2π x 2π 5π y 0 2 0 －2 0 解：先列表，将 看成一个整体，令 分别等于0， ，π， ，2π. 描点连线(如图所示)： 2 -2 “五点法”作 y = Asin(ωx+φ)的图象 “五点法”作图时，五点的确定，应先令 分别为0、 、π、 、2π、解出 x，从而确定这五点 1.用五点法作函数 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A. B. C. D. 这里我们先只讨论 ， 时的情形： 三角函数对称性、单调性的求法 函数 对称轴 对称中心 令 ， ，求对称轴 令 ， ，求对称轴 无 令 ， ，求对称中心横坐标 令 ， ，求对称中心横坐标 令 ， ，求对称中心横坐标 函数 递增区间 递减区间 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 无 函数 最大值 最小值 令 ， ，解得最大值点横坐标 令 ， ， 解得最大值点横坐标 令 ， ，解得最小值点横坐标 令 ， ，解得最小值点横坐标 无 无 函数 递增区间 递减区间 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 令 ， ，解 x 的范围 无 注：(1)采用换元法整体代换，将 看作一个整体，代入 的单调区间； (2)若 ，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再进行对称性、单调性求解. 例2 已知函数 . (1)求 的最小正周期及单调递增区间； (2)求 的对称轴方程和对称中心； (3)求 的最小值及取得最小值时 x 的取值集合. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与有关性质 确定函数 的有关性质，一定要采用整体法，即：将 看作一个整体，然后类比 的性质求解即可.所以我们必须熟记正弦曲线、余弦曲线的图象及性质. 2.把函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所有的点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象. (1)求 的解析式； (2)求 的对称中心和单调递减区间. 已知函数的性质求参数 已知函数的性质求参数是逆向问题，正向求解(整体法)颇具难度，这里可以采用代入法，要注意知识点之间的联动： (1)对称轴过最值点； (2)对称中心过零点. 函数 为奇函数 为偶函数 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 不存在 ⇔ ⇔ ⇔ 或 ⇔ ⇔ 或 ⇔ 函数 关于(x0，0)对称 关于x=x0对称 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 不存在 ⇔ ⇔ ⇔ 或 ⇔ ⇔ 或 ⇔ 函数 或 的奇偶性. ①函数 是奇函数⇔ 的图象关于原点对称 ⇔ ⇔ . ②函数 是偶函数⇔ 的图象关于 y 轴对称 ⇔ 或 ⇔ . ③函数 是奇函数⇔ 的图象关于原点对称 ⇔ ⇔ . ④函数 是偶函数⇔ 的图象关于 y 轴对称 ⇔ 或 ⇔ . 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性. ①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当f(x0)＝0. ②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A. 上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)同样成立. 例3 将函数 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能取值为( ) A. B. C. 0 D. 已知函数性质求参数 正弦函数和余弦函数不一定具备奇偶性，要由 φ 的值决定. 对于函数 ，当 ， 时为奇函数； 当 ， 时为偶函数. 对于函数 ，当 ， 时为奇函数； 当 ， 时为偶函数. 3.函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象恰好关于直线 对称，则 φ 的最小值为_______. 函数 的图象与周期 函数的对称轴、对称中心、最值、零点与周期有很强的联系： (1)函数在图象的对称轴处取得最大值或最小值，相邻的最大值和最小值点的横坐标距离为 ，如果没有明确相邻，那么最值点横坐标的间距为 ， ； (2)函数图象与 x 轴的交点为对称中心，相邻的两对称中心的距离为 ，如果没有明确相邻，那么对称中心的间距为 ， ； (3)函数图象的最值点与相邻的对称中心的横坐标间距为 ，如果没有明确相邻，那么最值点与对称中心的横坐标间距为 ， . 例4 函数 ( ， )的图象如图，试确定其一个函数解析式. 解：方法一：特殊点代入法 由图象知振幅 , 由 ，则 ， 又图象过点 ，得 ，取 ， 故 . 注意：这里选择特殊点代入，选取的是最高点，因为一个周期内只有一个最大值，但是零点却不止一个，选择零点有可能产生多解. 方法二：五点法 由图象知振幅 , 又图象过点 和 ， 根据五点作图法，有 ，解得 ， ， 故 . 方法三：图象变换法 由图象知 , ，则 ， 又图象过点 ，则所求图象由 的图象向左平移 个单位长度得到， 故 ，即 . (1)由最大值、最小值确定振幅 A. (2)由图象上五个关键点的横坐标及其差值确定周期，进而求ω的值. (3)由特殊点的坐标求初相 φ.特殊点可以是五个关键点，也可以是图象上的其他点. 注：A，ω的值是唯一的，初相 φ 的值不唯一，一般取绝对值较小的 φ 值. 确定 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的步骤 确定函数 的解析式的关键是 φ 的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已知)或代入图象与 x 轴的交点求解．(利用零点确定 φ 的值，需要将已知函数的图象形状与函数 在相应的一个周期内的图象相比较，认清该零点为三个零点中的第几个零点.第一个零点为图象上升时与 x 轴的交点，即 ；第二个零点为图象下降时与 x 轴的交点，即 ；第三个零点为 .但是最高点与最低点都只有一个，因此将最值点代入，一般不易出错.) 三角函数式中确定 φ 的方法 三角函数式中确定 φ 的方法 (2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的 的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ； “第二点”(即图象的“峰点”)为 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ； “第四点”(即图象的“谷点”)为 ； “第五点”为 . 4.如图，函数 ( ， ， )的图象，根据图中条件，写出该函数解析式. － －＋ －＋ －＋ －＋ π $