第三章概率的进一步认识单元测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 单元测试题 一、单选题 1．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色放回袋中，记为一次试验． 通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.3，则估计袋中红球的个数为（ ） A． 5 B． 10 C． 15 D． 20 2．2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（   ） A． B． C． D． 3．一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有160次摸到红球，则N的值是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 4．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 5．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（   ） A．从一个装有1个白球、2个红球和3个黄球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率（   ） B．掷一枚骰子，点数6朝上的概率 C．四张卡片，除正面分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形外，其它大小和背面完全相同，随机抽取一张是轴对称图形的概率 D．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的概率 6．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，其中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（   ） A．15 B．10 C．5 D．3 7．如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．《神农尝百草》是中国第一部完整的药物学著作，它将所记载的草分为上、中、下三品，小明将从其中上品中的人参，甘草、中品中的百合，当归、下品中的乌头、大英抽取两种草药进行研究，则小明在一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的概率为（  ） A． B． C． D． 9．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 10．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．一个不透明的布袋里装有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 个． 12．河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有 只候鸟． 13．周末，小明和小东两名同学去重庆园博园游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们至少一人选择路线B的概率是 14．“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 15．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 三、解答题 16．年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用、、、表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图． (1)补全这两幅统计图； (2)若国庆期间岳阳市累计接待了游客约万人，根据抽样调查的结果估计最推荐岳阳楼的游客有多少万人？ (3)某游客准备到岳阳旅游，随机选择、、、四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率． 17．成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图； (1)本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图； (2)若某批次游客有人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人； (3)旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率． 18．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 19．“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C D 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； (2)该校共有名学生，请你估计等级为B的学生人数； (3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 单元测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A A C C B C 1．C 【分析】本题考查利用频率估计概率． 通过多次试验，频率稳定在某个值，该值可作为概率的估计值，从而计算红球个数． 【详解】∵ 摸出红球的频率稳定在0.3， ∴ 估计摸出红球的概率为0.3． ∵ 总球数为50， ∴ 红球的个数为． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了求概率． 通过列表法列出所有等可能结果，总共有9种情况，两人都选豆包只有1种情况，因此概率为． 【详解】解：设为A，豆包为B，为C． 所有可能结果列表如下： A B C A B C ∵总结果数为种， 且两人都选豆包的结果为，只有1种， ∴他们恰好都选到豆包的概率． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了频率估计概率，已知概率求数量，通过大量重复试验，频率稳定值可估计概率，摸到红球的频率为，因此概率约为，据此列方程求解． 【详解】解：∵每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有160次摸到红球， ∴摸到红球的频率为， ∵一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球， 即， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、从一个装有1个白球、2个红球和3个黄球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意； B、掷一枚骰子，点数6朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、四张卡片，除正面分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形外，其它大小和背面完全相同，随机抽取一张是轴对称图形的概率为，故此选项不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是得到红球的频率的等量关系．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比. 根据红球的个数除以它占总数的比例即为球的总数a，求出即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 7．C 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有种等可能的结果， 指针指向的数字均为偶数的有2种情况， ∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 记上品中的人参（），甘草（）、中品中的百合（），当归（）、下品中的乌头（）、大英（），画出树状图后，求出所有一次性抽取可能得情况及一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的情况即可得解． 【详解】解：记上品中的人参（），甘草（）、中品中的百合（），当归（）、下品中的乌头（）、大英（）， 由题意知，一次性抽取表明抽出后不放回， 得 则一次性抽取过程抽取两次的情况共（种）， 一次性抽取过程中抽到一个中品、一个下品的情况共（种）， 故抽到一个中品、一个下品的概率为 ． 故选：． 9．B 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 10．C 【分析】本题主要考查概率问题，掌握列举法是解题的关键． 根据题意，列举出所有的情况，根据题意计算概率即可． 【详解】根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为， 则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有： ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； ；；；；；； 总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种， 所以七年级两名同学均与校长相邻的概率． 故选：C． 11．12 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次试验的频率可估计概率是解题的关键．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定于，设红球个数为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设袋中红球个数为，则总球数为，摸到红球的概率为， 由题意得 ， 解方程：，即 ， 移项得 ， 所以 ． 故袋中约有红球12个． 故答案为：12． 12． 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意、正确画列表是解题的关键． 先根据题意列表，得到所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A B C A B C 由表格知，共有9种等可能结果，其中至少一人选择路线B的情况数有5种，则 “至少一人选择路线B”的概率为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率． 先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解． 【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为， 边长为的正方形面积为， 黑色部分的总面积． 故答案为：． 15．3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 16．(1)见解析 (2)万人 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键； （1）通过已知条件求样本容量，求出各部分数据及占比来补全统计图； （2）利用样本估计总体的方法计算人数； （3）通过画树状图求概率即可． 【详解】（1）解：（人）， A：（人）， B：（人），， D：， 补全统计图为： （2）解：（万人）， 答：最推荐岳阳楼的游客有万人 （3）解：画树状图为： 如上图所示共种等可能结果，其中游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的结果共有种 ∴． 答：该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率为． 17．(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由景点的人数除以所占百分比得出本次参加抽样调查的游客，即可解决问题； （2）由某批次游客的人数乘以C景点所占的百分比即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人）， 则景点的人数为：（人）， 景点的人数为：（人）， 故答案为：； 补全条形统计图如下： （2）解：估计选择C作为最佳旅游景点的有：（人， 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中获得此次纪念品的是一男一女的结果有8种， 获得此次纪念品的是一男一女的概率为． 18．(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 19．(1)， (2)人 (3) 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据等级的人数与所占比例求出本次调查的学生总人数，再根据等级的人数求出； （2）该校共有的学生数乘以等级所占比例即可； （3）先画出树状图，再分别求得符合条件的种数与所有情况数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵的有8人，占， ∴本次调查的学生总人数为人， ∵的有4人，占， ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）该校共有名学生， 估计等级为B的学生人数为人； （3）画树状图如图， 共12种情况，其中抽到一名男生和一名女生的有8种， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 20．(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $