精品解析：江苏省苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年九年级上学期数学12月周测练习

星海实验初三数学课堂周测练习M08 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，点与圆的位置关系，由于等边三角形的三边相等，得到．以A为圆心、为半径画圆，点C到圆心的距离等于半径，因此点C在圆上，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵ 以A为圆心、长为半径画圆， ∴ 点C到圆心A的距离（半径）， ∴ 点C在圆上； 故选B． 2. 对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A. 它到三角形三边的距离相等 B. 它是三角形三条高的交点 C. 它一定在该三角形的内部 D. 它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 3. 下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆心的确定方法，圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，且的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点就是圆心，因此看图中弦的垂直平分线和的圆周角即可判断．充分利用格线互相垂直的特点是解题的关键． 【详解】解：A．该圆只能确定一个的圆周角，只能确定一条直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； B．该圆能确定两个的圆周角，能确定两条直径，能确定圆心，故此选项符合题意； C．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意； D．该圆无法确定的圆周角，不能确定直径，无法确定圆心，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断． 当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】如图所示： 在直角△BCD中CD=AB=3，BC=4， 则BD==5． 由图可知3＜r＜5， 故答案是：3＜r＜5． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 5. 如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A. （2，3） B. （3，2） C. （1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【详解】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解答：解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选D． 6. 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠COD的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，根据等腰三角形的“三线合一”垂径定理和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接OB， ∵OD⊥BC，OB=OC ∴∠COD=∠BOD== ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 7. 如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（　　） A. 52° B. 60° C. 72° D. 76° 【答案】A 【解析】 【详解】考点：圆心角、弧、弦的关系． 分析：要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数． 解答： 解：连接OD． ∵∠BAO=∠CBO=α， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE， ∵∠AOE=56°， ∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°， ∴α=（180°-76°）÷2=52°． 故选A． 点评：本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用． 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，在⊙O中，，，则的度数为 ________ ． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可． 【详解】解：在⊙O中，， ， ， ． 故答案为：． 10. 如图，是的直径，C、D、E都是上的点，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，如图，连接，由，，再进一步求解即可； 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴； 故答案为：． 11. 在圆内接四边形中，若，则________º. 【答案】90 【解析】 【分析】由圆内接四边形对角互补得到∠A+∠C=∠B+∠D=180°，由∠A：∠C=1：3算出∠A=45°，可得∠B=2∠A=90°，由此即可求得∠D的大小． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180° ∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， 可得∠A+∠C=4x=180°， 解之得x=45° ∴∠B=2x=90°， ∴∠D=180°-∠B=90°. 故答案为90 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 12. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是_____度． 【答案】144 【解析】 【详解】连接OE， ∵∠ACB=90°， ∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵∠ACE=3°×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°， ∴点E在量角器上对应的读数是：144°， 故答案为144. 13. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解． 【详解】∵一个直角三角形的两条直角边长分别为和， ∴直角三角形的斜边长， ∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边， ∴这个三角形的外接圆的直径长为． ∴这个三角形的外接圆的半径长为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，是解题的关键． 14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 15. 如图，矩形内接于扇形，若点是的中点，则等于_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，交于点，根据矩形的性质得出，证明是等边三角形，结合等边三角形的性质及角的和差求出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，交于点， ∵四边形OCDE是矩形， ∴，， ∵矩形内接于扇形，点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在中，圆心角和圆周角所对的弧为， ∴， 即等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 16. 如图，已知两点的坐标分别为是外接圆上的一点，且，则点P的坐标为_______________． 【答案】（，）或（，）． 【解析】 【分析】连接AP，过P作x轴的垂线，垂足为D，过A作OP的垂线，垂足为C；求出PO长，OD、PD的长，即可得出P点的坐标，再求出点P在第四象限时的坐标即可． 【详解】解：①当点P在第一象限时，连接AP，过P作x轴的垂线，垂足为D，过A作OP的垂线，垂足为C； 两点的坐标分别为， tan∠OBA=， ∴∠OBA=60°， ∠OPA=∠OBA=60°， sin∠AOP=， ∵，OA=， ∴AC=OC=， tan∠OPA=， PC=， OP=+， ∵， ∴PD=OD=， P点坐标为：（，）； ②当点P在第四象限时，连接AP，过P作x轴的垂线，垂足为D，过A作直线OP的垂线，垂足为C； 与①同理可得，AC=OC=，PC=， OP=-， ∵， ∴PD=OD=， P点坐标为：（，）； 故答案为：（，）或（，）． 【点睛】本题考查了圆周角的性质和解直角三角形，解题关键是恰当的作辅助线，构建含有特殊角的直角三角形． 三．解答题（共52分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 将特殊角度的三角函数值代入相应的式子求解，然后根据运算法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 ， ， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 原方程移项可得： ， ， 即， 或， 解得，． 19. 已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵四点共圆， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，再根据等腰三角形的判定定理即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，是的高，是的外接圆⊙O的直径，且，，，求⊙O的直径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，只要证明，可得，即，由此即可求出直径． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， 同弧所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ⊙O的直径为． 21. 已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1） （2）证明：如下图所示，延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理． 根据，结合圆周角定理求的度数； 构造直角三角形，根据勾股定理可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度； 只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可． 【详解】解：，， ， ； 解：如下图所示，连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角中，， ． 略 22. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星海实验初三数学课堂周测练习M08 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 在等边中，以A为圆心，长为半径画圆，则点C在（　　） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 都有可能 2. 对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A. 它到三角形三边的距离相等 B. 它是三角形三条高的交点 C. 它一定在该三角形的内部 D. 它到三角形三个顶点的距离相等 3. 下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是（　　） A. B. C. D. 4. 矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是________． 5. 如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A. （2，3） B. （3，2） C. （1，3） D. （3，1） 6. 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠COD的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 7. 如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（　　） A. 52° B. 60° C. 72° D. 76° 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，在⊙O中，，，则的度数为 ________ ． 10. 如图，是的直径，C、D、E都是上的点，则________． 11. 在圆内接四边形中，若，则________º. 12. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是_____度． 13. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________． 14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 15. 如图，矩形内接于扇形，若点是的中点，则等于_____ ． 16. 如图，已知两点的坐标分别为是外接圆上的一点，且，则点P的坐标为_______________． 三．解答题（共52分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 20. 如图，是的高，是的外接圆⊙O的直径，且，，，求⊙O的直径． 21. 已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 22. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $