6.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“杨辉三角”与二项式系数的性质，通过介绍杨辉三角的历史渊源引入新课，结合温故知新环节回顾二项式定理，搭建从二项式定理到二项式系数性质的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于采用“观察-猜想-论证”的合作探究模式，6人小组多角度探寻规律，培养数学眼光和创新意识。结合数形结合分析增减性，联系斐波那契数列与自然现象，体现数学思维和应用意识。小结系统梳理性质与方法，助力学生掌握知识，也为教师提供结构化教学素材，提升教学效率。

杨辉，字谦光，南宋数学家。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》。 故此，又被称为“贾宪三角”. 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡（1623～1662）首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角． 21世纪以来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle） 一、引入新课 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 问题1：“杨辉三角”里有哪些数？ 1 问题2：这些数与二项式定理有联系吗？ 新课标A版-数学-选修2-3 1.3.2 “杨辉三角” 与二项式系数的性质 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 问题3：请你回想一下二项式定理的内容 1 二、温故知新 三、合作探究 “杨辉三角”中蕴含了很多规律。现在6人一组，探寻其中的奥秘，先组内交流，再以小组的形式进行汇报。 论证—是保障 思考： ①可以从哪些角度观察？ 思路—是源泉 ②能猜想什么规律？ 猜想—是方向 ③这些规律又能否推广？ 三、合作探究 “杨辉三角”中蕴含了很多规律。现在6人一组，探寻其中的奥秘，先组内交流，再以小组的形式进行汇报。 思路—是源泉 猜想—是方向 论证—是保障 三、合作探究 “杨辉三角”中蕴含了很多规律。现在6人一组，探寻其中的奥秘，先组内交流，再以小组的形式进行汇报。 思路—是源泉 猜想—是方向 论证—是保障 三、合作探究 “杨辉三角”中蕴含了很多规律。现在6人一组，探寻其中的奥秘，先组内交流，再以小组的形式进行汇报。 思路—是源泉 猜想—是方向 论证—是保障 【初探“杨辉三角”】 数形 结合 n=6 n=7 增减性和最大值 ②当 为偶数时，仅有中间一项 最大. 当 为奇数时，中间的两项 最大. ①同一行中，每行的数都是先增再减； ②当 为偶数时，仅有中间一项 最大. 当 为奇数时，中间的两项 最大. 【二项式系数的性质】 对称性 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的 两个二项式系数 相等 . 即 . ①同一行中，每行的数都是先增再减； 的展开式的各二项式系数的和 各二项式系数的和 增减性和最大值 递推性：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它 “肩上”两个数的 和 ，即 . 1、如图1所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除， 则具有类似性质的行是(　　)A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 第0行　　　　　　　 　1 第0行 第1行　　　　　　 　 1　1 第1行第2行　　　　　　 1　 2　1 第2行第3行　　　　 　 1　 3　 3　1 第3行第4行　　 　　 1　 4　 6　 4　1 第4行第5行　　　 1　 5　10 10　5　1……　　　　 　 ……　…… 图1 图2 B 四、学以致用 变式：如图2是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________． 2n+1 2、在 的展开式中，二项式系数的最大值是_______（用组合数表示） 4、已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则二项式系数的和为（ ） A. B. C. D. 3、在 的展开式中，二项式系数的最大值是_______（用组合数表示） 5、已知 ，则 ①各项系数之和________. ②所有奇数项系数之和________. 【再探“杨辉三角”】 2 5 3 21 13 8 34 1 1 想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 这就是著名的斐波那契数列. 【再探“杨辉三角”】 梅花5 向日葵21或34 1 2 3 4 5 6 7 8 百合3 种子的排列 斐波那契螺旋线 海螺 五、课堂小结 递 推性 对 称 性 增减性与最值 各二项式系数的和 其 它 性 质 特殊到一般 观察 猜想 论证 赋值法 数形 结合 六、课外作业 必做作业 ：课本35页1-3题，学案1-17题. 选做作业：1、查找资料，阅读华罗庚的《从杨辉三角谈起》，研究杨辉三角还有哪些秘密。 2、阅读论文《杨辉三角与诗文美》，了解宝塔诗的文学形式，感受数学文化的美.用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角数阵，你能从这个数阵中发现哪些秘密？ 七、提升练习 1、如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第____行 中从左至右第14与第15个数的比为2∶3. 第0行　　　　　　　 　1 第1行　　　　　　 　 1　1 第2行　　　　　　 1　 2　1 第3行　　　　 　 1　 3　 3　1 第4行　　 　　 1　 4　 6　 4　1 第5行　　　 1　 5　10 10　5　1……　　　　 　 ……　…… 34 七、提升练习 B 10 $