浙江省宁波市青藤书院2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市青藤书院九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，从上面看得到的形状图是(    ) A. B. C. D. 2.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从B口进入，从E口离开的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，若点D是线段AB的黄金分割点，，则AD的长是(    ) A. 3 B. C. D. 5.如图，四边形ABCD内接于，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7.如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上一点，则为(    ) A. B. C. D. 8.图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，AB与水平线MN夹角，，，当点C绕点O旋转下落到MN上时，点A上升(    ) A. B. C. D. 9.如图，在四边形ABCD中，，，，以AC中点O为圆心作弧AB及弧AD，动点P从C点出发沿线段CB，弧BA，弧AD，线段DC的路线运动，点P从点C运动到点D时，线段OP扫过的面积为(    ) A. B. C. D. 10.小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形.图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形.若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为(    ) A. 9：49 B. 16：49 C. 24：49 D. 25：49 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动.如图，在坡度：的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为      米. 12.如果一条抛物线经过平移后能与抛物线重合，且顶点坐标为，则它的解析式为      . 13.如图，在中，点D，E分别在边BA，CA上，，，，那么      . 14.一根排水管的截面如图所示.已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离OC为        15.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则的值为      . 16.如图，AB是的一条弦，过B作半径OA的平行线交于点C，过C作弦，垂足为E，连结AC，BC，BD，若，，则AE：      ，的半径长为      . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： ； 已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，求c的值. 18.本小题8分 如图，正方形ABCD，矩形DCEF并排放置，请用一把无刻度直尺完成下列作图保留作图痕迹 在图1中作CD中点G； 在图2的边BC上找点P，使得 19.本小题9分 在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球材质、形状、大小等完全相同，甲先从中随机取出一个小球，记下数字为x后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标 请用列表或画树状图的方法写出点P所有可能的坐标； 求点P在函数的图象上的概率. 20.本小题9分 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂AC、BC和一个灯杆CD组成，灯杆CD与地面垂直.现测得米，米， 求两灯臂末端A、B之间的距离. 求灯臂末端A到地面的距离. 参考数据：；；结果精确到米 21.本小题9分 如图，在中，，以AC为直径的交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE， 求的度数. 若，求图中阴影部分的面积. 22.本小题10分 已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴是直线 求此二次函数的表达式. 求二次函数的最大值. 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求t的取值范围. 23.本小题9分 【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关系. 图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米.小温和小州共同填写了如下实验记录表. 秒 0 2 3 …… 分米 0 4 9 …… 小温发现，路程s与时间t可采用一次函数、反比例函数、二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式. 若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程之差. 小州说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程分米与第t秒之间的函数关系. 请写出一个路程分米与第t秒之间的结论，并通过计算说明理由. 24.本小题10分 如图1，AB是的直径，点C在上，作，垂足为D，的平分线交AB于点E，交于点F，连结AF， 判断的形状，并说明理由. 若，，求AF和CE的长. 如图2，若O是DE中点，求的正弦值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：从上面看，底层和上层各两个小正方形，如图， 故选： 根据从上边看得到的图形是俯视图求解即可． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 2.【答案】A  【解析】解：， ， ， 故选： 两边分别减1，通分化简即得． 本题主要考查了比例的性质．熟练掌握比例的合分比性质是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：列表如下： C D E A B 共有6种等可能的结果，其中他选择从B口进入，从E口离开的结果有：，共1种， 他选择从B口进入，从E口离开的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及他选择从B口进入，从E口离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：点D是线段AB的黄金分割点，， ， 故选： 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD内接于， ， 由圆周角定理得，， 故选： 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， 故选： 利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左边；当a与b异号时即，对称轴在y轴右边；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 7.【答案】C  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD， 在中，，， 则， ， 由圆周角定理得，， 则， 故选： 8.【答案】D  【解析】解：将和OA绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在OM上， 设上升的高度为h， 过点B作于点F，过作于点E，于点G， 则四边形是矩形， ， ，， ， 于点B，， ， ， ， ， ， ∽， ， ，， ， ， ， ， ，， 故选： 将和OA绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在OM上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明∽，得，得，得，根据，即得 本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：如图，连接OB，OP，PB，PB交AC于点 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段OP扫过的面积 故选： 如图，连接OB，OP，PB，PB交AC于点线段OP扫过的面积 本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出，都是等边三角形． 10.【答案】D  【解析】解：设小正六边形的边长为x，则， 是小正六边形的外角， ， 将作简化图如下， 过D作于点F， 在中，，， ， 在中，， ， 整理得， 解得，舍， 小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， 相似比为：5：7， 面积比为25：49， 故选： 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，再根据这一特殊角，解即可得解． 本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11.【答案】6  【解析】解：由题意得：， ， 即米， 由勾股定理得：米， 故答案为： 根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 12.【答案】  【解析】解：由题知， 因为一条抛物线经过平移后能与抛物线重合， 所以令它的解析式为 又因为它的顶点坐标为， 所以它的解析式为 故答案为： 根据题意得出抛物线解析式中二次项系数为，再结合其顶点坐标即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 13.【答案】4  【解析】解：， ， ，， ∽， ， 或不符合题意，舍去， ， 故答案为： 由，推导出，由，证明∽，则，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，并且证明∽是解题的关键． 14.【答案】5  【解析】解：由题意可得： ， ， 故答案为： 先根据垂径定理求出BC，再根据勾股定理求出OC即可． 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，由垂径定理求出BC的长是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接BM，AM， 则，， 令正方形网格的边长为a， 则， 在中， ， 故答案为： 借助于格点，连接BM，AM，得出，进而得出，最后在中根据正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 16.【答案】2：1   【解析】解：过点O作于点M，于点N，如图所示：   ，，， ， ，， 四边形OMEN是矩形， ， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 又， ∽， ， ， ， ，， ：：：1， 根据相交弦定理得：， ， 解得：，不合题意，舍去， ， 在中，由勾股定理得： 的半径长为 故答案为：2：1； 过点O作于点M，于点N，则，四边形OMEN是矩形，进而得，设，，则，，证明和相似得，则，，由此可得AE：BE的值；根据相交弦定理得，由此得，进而得，然后在中，由勾股定理得求出OA即可得出的半径． 此题主要考查了垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 17.【答案】；     【解析】原式 ； 线段c是线段a，b的比例中项， ， 线段，， ， ， 分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可； 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 本题考查的是比例线段和特殊角的三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 18.【答案】解：如图，点G即为所求； 如图，点P即为所求．   【解析】连接AC，BD交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN交CD一点G，点G即为所求； 同法作出线段MN，连接BF交MN于点O，连接DO，延长DO交BC一点P，点P即为所求可以证明， 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】见解答．    【解析】列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表格可知，共有9种等可能的结果，分别为：，，，，，，，， 由表格可知，点P在函数的图象上的结果有：，，，共3种， 点P在函数的图象上的概率为 根据题意列表即可． 由表格可得出所有等可能的结果数以及点P在函数的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、二次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20.【答案】解：连接AB，延长DC交AB于点E， 由题意得：，米， ，， 在中，米， 米， 两灯臂末端A、B之间的距离约为米； 在中，，米， 米， 米， 米， 灯臂末端A到地面的距离约为米．  【解析】连接AB，延长DC交AB于点E，根据题意可得：，米，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，即可解答； 在中，利用锐角三角函数定义求出CE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21.【答案】解：连接OD， ，， ， ， ， ， ； 连接AD，过O作于点H， ， ， ， 是直径， ， 为BC中点， ， ，，，   【解析】先求出的度数，再得出的度数； 求出扇形COD的面积和的面积，即可得到阴影部分的面积． 本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理等，掌握扇形面积计算是解题的关键． 22.【答案】解：对称轴是直线， ， 的图象经过点， ， ； ， 其最大值为； 的对称轴是直线， 当时，二次函数取得最大值， 当时，二次函数值为2， 而， 当时，恰好符合， 根据二次函数的对称性可得，当时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为时对应的函数值，亦符合， 故  【解析】利用点和对称轴求出函数表达式； 利用公式求出函数最大值； 利用图象分析即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，待定系数法求解析式，二次函数的最值等，掌握二次函数综合知识是解题的关键． 23.【答案】二次函数，  50分米    【解析】将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示： 可以采用的函数模型是二次函数， 设路程s与时间t的函数关系式为：， 将，，代入，得：， 解得， 路程s与时间t的函数关系式为：； 当时，分米， 当时，分米， 第2个5秒小车通过的路程为：分米， 路程差为：分米； 第1秒通过的路程分米， 第2秒通过的路程分米， 第3秒通过的路程分米， ……， 第t秒通过的路程分米， 第t秒内通过的路程分米与第t秒之间的函数关系为 在图2中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出s关于t的函数表达式即可； 先求出小车在斜面上第一个5秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个5秒通过的路程，作差即可解答； 根据第t秒通过的路程等于前t秒通过的路程减去前秒通过的路程列式化简即可解答． 本题考查了画二次函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、根据自变量求函数值，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24.【答案】解：是等腰三角形， 理由：的平分线交AB于点E，交于点F， ， 是的直径， ， ， ， ，垂足为D， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 如图1，连结BC， ，，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 和CE的长分别为和 如图2，连结BC，由得， 是DE中点， ， 设，，则，， ，， ， ， ，即， 或不符合题意，舍去， ，， ， ， ， ， ， ， 的正弦值为  【解析】由AB是的直径，得，而，所以，由，，得，因为，所以，则，所以是等腰三角形； 连结BC，可推导出，则，而，则，所以，，求得，由，求得，因为，所以，由，求得； 连结BC，设，，则，，所以，，由，得，所以，求得，则，，由，求得，所以 此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法、二次根式的化简、解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $