精品解析：福建省厦门市思明区厦门外国语瑞景分校中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷

厦外瑞景分校2025-2026学年（上）九年级期中考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡. 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分. 3.答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答. 一、选择题（本大题共10小题.每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项A的图形，能够找到一个点，使图形绕该点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选A． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解． 将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：移项得： ， 因式分解得：， ∴ 或 ， ∴ ， ． 故选：C． 3. 已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点问题，属于基本题型，正确代入、准确计算是关键．根据二次函数图象与y轴的交点特征，令代入函数解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与y轴交于点， ∴当时，， 代入解析式：，即． 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；将方程化为一般形式后，计算判别式的值，根据判别式的正负判断根的情况即可． 【详解】解：将方程化为一般形式：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 有最小值-2 B. 有最大值-2 C. 有最小值-1 D. 有最大值-1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质确定二次函数的最值即可． 【详解】解：由二次函数解析式可知，抛物线开口向下， 当时，取得最大值-2． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 6. 如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，第二轮新增感染者数由第一轮后的感染者数乘以传染人数x得到，即，且等于210，因此直接列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． 初始感染者数为1， 第一轮后感染者总数为， 第二轮新增感染者数为， ∵ 第二轮新增210人感染， ∴． 故选：D． 9. 下表中所列x，y的7组值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中． x … y … 11 m 6 k 6 m 11 根据表中提供的信息，下列说法判断错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，y的值为k 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线开口方向、对称性、最值、一元二次方程根的判别式等知识逐项判断即可． 【详解】解：由表可知，点 与 、 与 、 与 分别关于抛物线的对称轴对称，故对称轴为直线 ，其中 因为 ，且离对称轴越远的点函数值越大，所以抛物线开口向上，即 ，故选项A正确； 由于开口向上，且 比 离对称轴更远， 比 离对称轴更远， ∴ ，即 ，故选项B正确； 方程 有实数根 ， 即方程根的判别式非负，即 ∴ ，故选项C正确； ∵ 与 关于抛物线的对称轴对称， ∴当 时，此时的函数值为抛物线的顶点纵坐标 ， 而 是 处的函数值，由于直线不一定是对称轴， ∴ 不一定等于 ，选项D错误． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式组的求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算点和的函数值，得到和，由条件导出不等式．由于恒成立，进行求解不等式即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴ ， ∵点在函数上， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， ∵为二次函数， ∴， ∴的取值范围为或． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题.每小题4分，共24分） 11. 化简：（1）_________ （2）_________ 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 12. 如图，是的直径，，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用，根据，，即得，故，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一个根，利用两根之积，可求另一个根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为： 14. 如图，已知中，，，将绕A点逆时针旋转得到，分别连接，，则_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，由旋转可得，，，即得，再根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的3倍，那么称这个方程为“3系方程”．若一元二次方程是“3系方程”，则的值为_________ 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据“3系方程”的定义，设方程的两个根为和，利用根与系数的关系列出方程，推导出，从而得到所求表达式的值为0． 【详解】解：∵一元二次方程是“3系方程”， 设一元二次方程 的两个根为和， ∵，即；，即， ∴，，即， 整理得： ∴， 故答案为：0． 16. 抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论是________（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程整数根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：由于抛物线 （）经过点 和 ， 故方程 的两根为 ，，结论①正确． 抛物线的对称轴为 ，且开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ， 距离越大函数值越大，故 ，结论②正确． 由题意可设抛物线解析式为 ， 即 ， 故 ，． 当 时，函数取得最小值 ， ∴对于任意实数 ，均有 ，结论③正确． 对于结论④，考虑方程 （）， 即 ． 设其两根为整数， 由于抛物线对称轴为 ， 故两根关于 对称． 设两根分别为 和 （ 且为整数），则 ， 由于 ， 故 ， 即 ， 对应 的值分别为 ，，，共有三个值，故结论④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：或． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先对括号内的式子通分计算加法，化除法为乘法，再通过因式分解和约分化简分式，最后代入a的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形内接于，分别连接，若，判断与的位置关系，并说明理由． ． 【答案】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的判定，根据，可得，进而得到，再根据圆内接四边形的性质得到，推出，由同旁内角互补，两直线平行，即可得到结论． 【详解】略 20. 已知抛物线（）与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过A，D． （1）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； （2）画出直线，并根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】（1） 解：把点，代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 列表： x ... 3 ... y ... 0 0 ... 画出此二次函数的图象如下： （2）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为． 直线如图所示， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用列表，描点连线即可画出函数图象； （2）由函数图象得到点C坐标，利用抛物线的对称性确定D点坐标，即可画出直线，写出一次函数图象在抛物线上方时所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得， ∵点C，D是二次函数图象上的一对对称点， ∴点D的坐标为， 由图象得，当时，一次函数的图象在二次函数图象上方， 即一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为． 21. 我校即将开始三期教学楼建设，其中一项工程是准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形，要求：与后墙垂直的一侧栅栏长度至少为． （1）设车棚的边为，则车棚的边为_________（用含x的式子表示），写出x的取值范围_________； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽． 【答案】（1）， （2）自行车车棚的长和宽分别为和． 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示、一元一次不等式组的实际应用、一元二次方程的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得到，由垂直的一侧栅栏长度至少为，即，且，可得x的取值范围； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． 【小问1详解】 解：根据题意，得； ∵垂直的一侧栅栏长度至少为，可利用墙长为， ∴，解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知， 根据题意，得，即， 解得或（舍去）， 则， 答：自行车车棚的长和宽分别为和． 22. 如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点B在线段上，且不与A、D重合． （1）尺规作图：作出旋转后的图形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，以点C为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接即可； （2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，进而求出，利用勾股定理求出，利用勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 23. 2025年10月29日福建省教育厅发布文件将体育与健康考试进行优化调整．掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表中的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； 分值 女（米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 50 5.2 （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中的得分在分和分之间； （3）当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． （1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得，， 解得， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（舍去）， ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间； 【小问3详解】 解：可设． 把，代入得，， ∴， ∴， ∴， 将代入，则， 答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分． 24. 综合与实践 问题情境 如图1，小瑞有一张边长为2的正方形手工纸片，他用一把含角的三角板进行创意设计：将三角板的直角顶点固定在点A上，并让三角板在纸片表面旋转．三角板的一条直角边与的延长线交于点E，另一条直角边与交于点F．小瑞思考以下问题： 猜想证明 （1）在三角板绕着点A旋转的过程中，线段与的有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图2，小瑞换用含角的三角板（即等腰直角三角板），将角的顶点固定在点A，角的一边与交于点E，另一边与交于点F．在旋转的过程中，点A到线段的距离是否会变化？如果不变，求出这个距离；如果变化，求出它的最大值； （3）如图3所示，小瑞将含角的三角板的锐角顶点P与正方形的边中点重合，角的一边与交于点E，另一边与交于点F．若，则线段________（请直接写出结果）． 【答案】（1），理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）点A到线段的距离不会变化，这个距离为． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识： （1）由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论； （2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可； （3）如图，延长到，使得，以为边在下方作正方形，设等腰直角三角板斜边交于点，作于点M，作于点N，求出，证明四边形是矩形，，求出，同理（2）得，证明，同理得，推出，设，则，，在中，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点A到线段的距离不会变化，这个距离为． 【小问3详解】 解：如图，延长到，使得，以为边在下方作正方形，设等腰直角三角板斜边交于点，作于点M，作于点N， ∵正方形手工纸片边长为2，点P与正方形的边中点重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为A． （1）当时，求A的坐标； （2）当m变化时，点A始终在抛物线上，的顶点为B，点O关于点B的对称点为E，经过点E且平行于x轴的直线为l，于点M． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点F，使得为定值？若存在，求出点F的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 当变化时，点始终在抛物线上， 抛物线的解析式为， ， 点，关于点对称，即为中点， ， 根据勾股定理，， 直线过点且平行于轴， 直线， 于点， ， ， ． ② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移，勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点的坐标； （2）①先表示出顶点的坐标，根据题意可得出抛物线的解析式，从而得出点坐标、点坐标，由直线过点且平行于轴得出点坐标，表示出、即可得证； ②先表示出当时抛物线的解析式，根据抛物线与抛物线的平移规律推出点，过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，结合①中的结论即可证为定值． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 当时，抛物线的解析式为， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：直线上存在点，使得为定值；理由如下： 当时，抛物线的解析式为， 由①知抛物线，将抛物线向左移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得到抛物线， 对应的，将点向左移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 将直线向上平移1个单位长度得到直线， 过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，如图， 由①，， 即抛物线上任一点到点的距离等于到直线的距离， 点，在上， ， ， 即直线上存在点， 使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦外瑞景分校2025-2026学年（上）九年级期中考试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡. 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分. 3.答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答. 一、选择题（本大题共10小题.每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 有最小值-2 B. 有最大值-2 C. 有最小值-1 D. 有最大值-1 6. 如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 7. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 下表中所列x，y的7组值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中． x … y … 11 m 6 k 6 m 11 根据表中提供的信息，下列说法判断错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，y的值为k 10. 已知二次函数的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题.每小题4分，共24分） 11. 化简：（1）_________ （2）_________ 12. 如图，是的直径，，，则_________ 13. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 14. 如图，已知中，，，将绕A点逆时针旋转得到，分别连接，，则_________ 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的3倍，那么称这个方程为“3系方程”．若一元二次方程是“3系方程”，则的值为_________ 16. 抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论是________（填写序号） 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解一元二次方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形内接于，分别连接，若，判断与的位置关系，并说明理由． ． 20. 已知抛物线（）与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过A，D． （1）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； （2）画出直线，并根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 21. 我校即将开始三期教学楼建设，其中一项工程是准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形，要求：与后墙垂直的一侧栅栏长度至少为． （1）设车棚的边为，则车棚的边为_________（用含x的式子表示），写出x的取值范围_________； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽． 22. 如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点B在线段上，且不与A、D重合． （1）尺规作图：作出旋转后的图形； （2）若，，求的长． 23. 2025年10月29日福建省教育厅发布文件将体育与健康考试进行优化调整．掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表中的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； 分值 女（米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 50 5.2 （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 24. 综合与实践 问题情境 如图1，小瑞有一张边长为2的正方形手工纸片，他用一把含角的三角板进行创意设计：将三角板的直角顶点固定在点A上，并让三角板在纸片表面旋转．三角板的一条直角边与的延长线交于点E，另一条直角边与交于点F．小瑞思考以下问题： 猜想证明 （1）在三角板绕着点A旋转的过程中，线段与的有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图2，小瑞换用含角的三角板（即等腰直角三角板），将角的顶点固定在点A，角的一边与交于点E，另一边与交于点F．在旋转的过程中，点A到线段的距离是否会变化？如果不变，求出这个距离；如果变化，求出它的最大值； （3）如图3所示，小瑞将含角的三角板的锐角顶点P与正方形的边中点重合，角的一边与交于点E，另一边与交于点F．若，则线段________（请直接写出结果）． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为A． （1）当时，求A的坐标； （2）当m变化时，点A始终在抛物线上，的顶点为B，点O关于点B的对称点为E，经过点E且平行于x轴的直线为l，于点M． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点F，使得为定值？若存在，求出点F的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $