精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高一上学期第二学段段考数学试卷

北京二中2025—2026学年度第二学段高一年级学段考试试卷 数学必修第一册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示集合,通过集合的交、并、补运算即可得解. 【详解】, 图中的阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2. 下列函数，为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A、B、D，先求函数，的定义域，证明两函数定义域不相等，结合函数相等的定义即可判断，对于选项C，先证明函数，的定义域相等，再证明，结合函数相等定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，A错误， 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，B错误， 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 且对于任意的，成立， 所以函数，是同一个函数，C正确， 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，D错误， 故选：C. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由可得，所以两边同除以可得，即，A说法错误； 选项B：由可得，所以，即，B说法错误； 选项C：由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，与矛盾， 因此等号不成立，，C说法正确； 选项D：由可得，，显然，D说法错误； 故选：C 4. 设 ，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案. 【详解】 ， 故， 故选：C 5. 设则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由及可比较大小. 【详解】∵，∴，即． 又．∴．综上可知： 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 6. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，解不等式，可求得的解析式，进而可求得的最大值. 【详解】①当时，，， 由，可得， 解得，又，所以， 所以当时，，所以， 当时，，所以， ②当时，由，可得， 解得，又，所以， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述：， 当时，，所以，所以， 当时，， 当，， 综上所述：，所以函数的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分类讨论，求得函数的解析式，再求得函数的最大值求解. 7. 已知是定义域上的减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性得到，求解即可. 【详解】由题意可知： 当时，单调递减， 当时，单调递减， 且在处的函数值大于或等于当时，在处的临界值， 即，解得， 即的取值范围是， 故选：C 8. 若函数与互为反函数，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的反函数为对数函数，由得到，利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即可求出的单调增区间. 【详解】函数与互为反函数， 指数函数的反函数为对数函数， 故，，对数函数单调递减， 设，则原函数为， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 单调递减，要使原函数单调递增，则需单调递减， 二次函数的对称轴为，开口向下，其单调递减区间为， 对数函数的真数须大于0，即，解得。 在定义域内，的单调递减区间为，即原函数的单调增区间是， 故选：A 9. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果. 【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且， 所以，解得， 不等式，即为， 故不等式对恒成立， ∵二次函数的对称轴为，则有： ①，解得；或②，无解； 综上所述：，所以实数的最大值为． 故选： 10. 设，若有且仅有两个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，再作出图象后，分析与图象关系即可得解. 【详解】令，则， 则的实数解个数即为与交点个数， 作出函数图象及斜率为的直线、、，如图所示， 则可得时，与函数图象有两个交点， 即实数的取值范围是. 故选：A. 11. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误． 【详解】解：对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误 当时，，， 可得是的子集； 当时，，且， 可得不是的子集，故A错误． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集． 故选：B. 12. 如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可证明、，从而可求、，从而可得所求梯形的面积表达式为，从而可求其最小值. 【详解】如图， 过作与，则，连，交于， 则由折叠知，与关于直线对称，即， 有，，， ∵，，∴， ∴， 设，则，， 代入上式得：， ∵，， ∴，在和中， ∵，∴，∴， 故， ∴梯形的面积为 ， 得当时，梯形面积最小，其最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 13. 在函数 中，若，则的值是 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以有三种情况．由x+2=1得，x=-1；由得，x=，只有x=1；由2x=1，得x=，不合题意．综上知，的值是． 考点：本题主要考查分段函数的概念，简单方程求解． 点评：简单题，解方程，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即得． 14. 方程的解为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】将方程转化为，按照一元二次方程的解法求得，所以.即方程的解为. 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. 15. 若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，得到，，进而可求解. 【详解】由题意可知：，为真命题， 即，， 又当时，，当时取等号， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 16. 已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值. 【详解】由，当时，所以，所以， 当时，，所以， 所以是函数的零点， 所以， 所以， 当且仅当，即，等号成立， 故答案为：. 17. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数同增异减的法则可得在区间 上也是单调递减，且真数大于0，那么得到关于的不等式即， 即可求出的范围. 【详解】令 ，即对称轴为 ，且开口朝上， 在区间上单调递减，那么 在区间上也是单调递减， 且 ， 故 即 ，所以实数的取值范围是 . 故答案为： 18. 设集合，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）若，则的所有偶子集的容量之和为_____. （2）的所有子集的容量之和为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）；借助枚举法表示出所有偶子集后计算即可得；（2）由每个元素在子集中可能出现，可能不出现，可得所有子集的乘积和为，再减去规定的空集的容量即可得解. 【详解】（1）时，，则的所有偶子集为：、、、、 、、、、、、、、， 所以的所有偶子集的容量之和为： ； （2）对于集合， 每个元素有 “包含在子集里” 或 “不包含在子集里” 两种选择： 若子集包含元素，则该子集的容量会乘； 若子集不包含元素，则该子集的容量会乘，即不影响乘积； 因此，所有子集（包括空集）的乘积和为， 但空集实际容量为，故需减去， 因此，所有子集的容量之和为：. 故答案为：；. 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用并集、补集、交集的定义求解. （2）根据给定条件，按是否为分类列式求解. 【小问1详解】 集合，则； 或，所以. 【小问2详解】 由，，得当时，，解得， 当时，，即， 此时需满足或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. 20. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）， （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解； （2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由的解集为，则，b是方程的根，且． 由，解得；又由，解得． 所以，． 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 21. 已知函数，，的定义域为. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. （3）若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式即可求解； （2）令，根据复合函数的单调性结合指数函数和二次函数的单调性即可求解； （3）首先将问题转化为，利用函数单调性求出，问题进一步转化为存在，，最后分离参数，利用基本不等式求出函数在的最小值即可求解； 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，在上单调递减，所以， 则， 因为函数在区间上单调递增，则外层函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 若，，使得成立，则， 函数在上单调递增，所以在上的最大值为， 则不等式即为存在，， 化简得，而，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最小值为2，因此，故的取值范围为. 22. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值，并求函数的定义域； （2）若底数，试判断函数的单调性，并解不等式； （3）当时，函数值组成的集合为，求实数，的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质列等式求，再求函数定义域即可； （2）通过复合函数单调性判断的增减性，结合定义域解不等式即可； （3）由底数范围分析函数单调性，结合函数值范围确定区间端点. 【小问1详解】 由是奇函数，得， 即，化简可得， 对比系数得且，解得. 此时，要使函数有意义，则， 解得，故函数的定义域； 【小问2详解】 化简，令，则在区间上单调递减， 因为，在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 由，则， 解得，即， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由上述分析可知，， 当时，函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 则，得， 解得（舍去负根）. 因为时，， 由于函数在区间上单调递增，且值域为，所以. 23. 已知集合，集合且满足：，，与恰有一个成立.对于定义，. （1）若，，，，求的值及的最大值； （2）从，，，中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.求证： （3）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立，并说明理由. 【答案】（1）最大值为2. （2） 证明：由的定义知，. 所以 . 设删去两个数， 则剩下的个数的和为. 由的定义知，，且至多有一个等号成立. 所以. 所以. 即得证. （3） 证明：由题意知，中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，则任选一个）. 由题意知，所以存在，使得，即，. 由，设集合，则Q中一定存在元素，使得. 否则，与为最大数矛盾. 所以. 所以对于满足的每一个集合， 集合中都存在三个不同的元素，，，使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义直接求的值及的最大值. （2）由，知，所以.若从删去两个数，则剩下的个数的和为.因此只需证. （3）用反证法思想证明. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，，， 所以 所以. 因为，所以， 所以， 即的最大值为2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025—2026学年度第二学段高一年级学段考试试卷 数学必修第一册 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数，为同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设 ，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 设则 A. B. C. D. 6. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 7. 已知是定义域上的减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与互为反函数，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 10. 设，若有且仅有两个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 12. 如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 13. 在函数 中，若，则的值是 14. 方程的解为_____. 15. 若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 16. 已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____． 17. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________. 18. 设集合，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）若，则的所有偶子集的容量之和为_____. （2）的所有子集的容量之和为_____. 三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上） 19. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 20. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 21. 已知函数，，的定义域为. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. （3）若，，使得成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值，并求函数的定义域； （2）若底数，试判断函数的单调性，并解不等式； （3）当时，函数值组成的集合为，求实数，的值. 23. 已知集合，集合且满足：，，与恰有一个成立.对于定义，. （1）若，，，，求的值及的最大值； （2）从，，，中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.求证： （3）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $