重难点专题 直线与圆的位置关系（专项训练）数学浙教版九年级下册

重难点专题 直线与圆的位置关系 2.1直线与圆的位置关系 重难点一 直线与圆位置关系中的求解 核心依据：位置关系与数量关系的转化 直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）可通过圆心到直线的距离 ( d ) 与圆的半径 ( r ) 的大小关系判定： 1. 相离：( d > r )，无公共点； 2. 相切：( d = r )，有且只有一个公共点； 3. 相交：( d < r )，有两个公共点。 求解关键：根据题意选择代数法或几何法计算 ( d ) 与 ( r )，并比较大小。 1．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 2．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 3．如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 重难点二 圆的切线的性质 切线的性质定理及推论 1. 性质定理 内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 分析：此定理建立了切线与半径的垂直关系，是解决切线相关计算与证明的核心依据。需注意“经过切点”是半径的关键限定条件，若未明确切点，需先确定切点位置。 2. 推论1 内容：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 分析：此推论可用于已知圆心和切线时，快速确定切点位置，即“过圆心作切线的垂线，垂足即为切点”。 3. 推论2 内容：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 分析：此推论常用于证明某点为圆心，即“过切点作切线的垂线，该垂线必过圆心”。 1．如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在半圆中，直径长为12，，是半圆上的两点，将沿弦翻折，若翻折后的所在的圆与所在的直线相切，则弦长的取值范围是 ． 3．已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 重难点三 圆的切线的判定 方法一：定义法 判定依据：直线与圆只有一个公共点时，这条直线是圆的切线。 操作步骤： 1. 观察直线与圆的交点个数； 2. 若交点唯一，则该直线为圆的切线。 适用场景：已知直线与圆的交点情况，或通过几何作图可直接判断交点数量时使用。 注意事项：需确保“唯一公共点”的条件严格成立，避免因视觉误差误判。 方法二：数量关系法（d=r判定法） 判定依据：设圆的半径为( r )，圆心到直线的距离为( d )，若( d=r )，则直线是圆的切线。 操作步骤： 1. 确定圆心( O )和直线( l )； 2. 过圆心( O )作直线( l )的垂线段( OA )，垂足为( A )，计算垂线段长度( OA=d )； 3. 比较( d )与半径( r )的大小，若( d=r )，则直线( l )是圆的切线。 适用场景：已知圆心位置、半径及直线方程（或几何图形中可计算距离）时，常用于代数计算或几何证明中。 关键要点：必须满足“圆心到直线的距离等于半径”，不可忽略“垂直”条件（距离是垂线段长度）。 方法三：切线的判定定理（半径+垂直判定法） 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：如图，若直线( l )经过( \odot O )的半径( OA )的外端( A )，且( l \perp OA )，则直线( l )是( \odot O )的切线。 操作步骤： 1. 确定圆的半径( OA )，并确认直线( l )经过半径的外端( A )（即点( A )在圆上）； 2. 证明直线( l )与半径( OA )垂直（即( l \perp OA )）； 3. 根据定理得出结论：直线( l )是圆的切线。 适用场景：已知直线与圆有一个公共点（即“半径外端”），需证明该直线是切线时，是几何证明中最常用的方法。 核心条件： · 直线经过半径的外端（“点在圆上”）； · 直线垂直于这条半径（“线垂直于半径”），两者缺一不可。 1．如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 3．如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． (1)如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 重难点四 圆与相似结合 一、核心原理 1. 圆中相似三角形的判定条件 · 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可直接提供等角条件（如∠ACB=∠ADB），结合公共角或对顶角可证相似（如△ABC∽△ADE）。 · 切线性质：切线与半径垂直（∠OAT=90°），若存在其他直角条件（如∠ABC=90°），可通过“AA”判定直角三角形相似（如△OAT∽△ABC）。 · 割线定理背景：两条割线交于圆外点P，形成△PAC和△PBD，由∠P公共角及∠PAC=∠PDB（圆内接四边形外角等于内对角）可证相似，进而推出PA·PB=PC·PD。 二、常见模型与应用步骤 1. 模型一：直径与直角三角形 · 条件：AB为直径，C在圆上，CD⊥AB于D。 · 相似关系：△ACD∽△CBD∽△ABC（双垂直模型）。 · 应用：已知AD=2，DB=8，求CD长。 解：由△ACD∽△CBD得 ，故CD=4。 2. 模型二：切线与割线 · 条件：PT为切线，PAB、PCD为割线。 · 相似关系：△PTA∽△PBT（∠P公共角，∠PTA=∠PBT）。 · 应用：已知PT=6，PA=3，求PB长。 解：由△PTA∽△PBT得，即，故，解得PB=12。 3. 模型三：圆内接四边形与外角 · 条件：四边形ABCD内接于圆，延长AB、DC交于点E。 · 相似关系：△EBC∽△EDA（∠E公共角，∠EBC=∠EDA）。 · 应用：已知EB=2，EA=6，EC=3，求ED长。 解：由△EBC∽△EDA得，即，故，解得ED=4。 1．如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 2．我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结交于点P，若，则的长为 ． 3．阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两条弦，相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连结，． ∵ ① ， ② ， ∴， ∴ ③ ∴ ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整： ①____________，②____________，③____________； (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是AB上的一点，，，，求的半径． 重难点五 圆与三角函数结合 一、利用半径构建直角三角形，转化三角函数关系 核心思路：在圆中，半径、弦长、弦心距等元素常构成直角三角形（如半径为斜边，弦心距和弦长一半为直角边），此时可结合三角函数定义（正弦、余弦、正切）建立边角关系。 步骤： 1. 确定直角三角形：找到圆的半径（通常为斜边）、圆心到弦的距离（弦心距）、弦长的一半等关键线段，构成Rt△OAB（O为圆心，A为弦的端点，B为弦心距的垂足）。 2. 对应三角函数定义： · 若已知圆心角∠AOB=θ，则sinθ=（弦长一半）/半径，cosθ=弦心距/半径，tanθ=（弦长一半）/弦心距。 · 若已知圆周角∠ACB=α（C为圆上另一点），则圆心角∠AOB=2α，再利用上述关系。 二、通过切线性质构造直角三角形，应用三角函数 核心思路：切线与半径垂直（切线性质定理），因此切线长、半径、圆心到切点外一点的距离可构成直角三角形，结合三角函数求角度或线段长。 步骤： 1. 连接半径与切线：设PA为圆O的切线，切点为A，则OA⊥PA，构成Rt△OPA（P为圆外一点）。 2. 利用三角函数列方程：已知OP（点P到圆心的距离）、半径OA，可求∠OPA的三角函数值；或已知∠OPA，求PA或OP。 三、结合圆周角定理，将三角函数与圆弧所对角度关联 核心思路：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，可利用直角三角形中的三角函数（如正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）解决与直径、弦长相关的问题。 步骤： 1. 确定直角圆周角：若AB为直径，C为圆上一点，则∠ACB=90°，构成Rt△ABC。 2. 应用三角函数求边或角：在Rt△ABC中，sin∠A=BC/AB，cos∠A=AC/AB，tan∠A=BC/AC。 1．如图，等腰内接于圆O，底边是直径，E为的中点，点D在上，且与相交于点F，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 3．如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且，点D的坐标为． (1)直接写出圆心C的坐标为______； (2)当，求点B的坐标； (3)若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标． 重难点六 圆与二次函数结合 核心思路：利用直线与圆的位置关系判定条件转化为二次函数问题 位置关系与数量关系的转化 设圆的半径为( r )，圆心到直线（二次函数图像可视为特殊直线或曲线，此处重点关注直线与圆的交点问题转化为二次函数的零点问题）的距离为( d )： · 相离：( d > r ) · 相切：( d = r ) · 相交：( d < r ) 关键：通过几何图形性质（如勾股定理、相似三角形、三角函数）表示( d )，再代入位置关系条件，得到关于未知数的二次函数表达式或方程。 1．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 2．如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 3．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； (3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 重难点七 动圆相切求t 一、问题特征与核心思路 1. 问题特征 动圆通常以含参数t的方程形式呈现（如圆心坐标为(t, 0)、半径为|t-1|等），需根据动圆与定圆/定直线相切的条件，建立关于t的方程并求解。相切类型包括外切和内切（与定圆相切时），或圆心到直线距离等于半径（与定直线相切时）。 2. 核心思路 （1）明确动圆的圆心坐标和半径(r(t))，参数t的几何意义需结合题目条件转化（如t为圆心横坐标、半径与t的一次函数关系等）； 1．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 2．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为 ． 3．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 2.2切线长定理 重难点一 切线长定理求解 一、核心定理内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：如图，点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则： 1. 切线长相等：PA = PB； 2. 夹角平分线：PO平分∠APB（即∠APO = ∠BPO）。 二、关键性质延伸 1. 垂直关系：切线垂直于过切点的半径，即OA⊥PA，OB⊥PB（∠OAP = ∠OBP = 90°）。 2. 全等三角形：Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL定理：OA=OB为半径，OP为公共边）。 3. 四点共圆：点A、O、B、P四点共圆（∠OAP + ∠OBP = 180°，对角互补）。 1．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 3．有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． (3)如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 2.3三角形的内切圆 重难点一 三角形中的内心 一、内心的定义与性质 1. 定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，这个距离称为内切圆半径（通常用 ( r ) 表示）。 2. 性质： · 内心到三角形三边的距离相等，即内心到边 ( a )、( b )、( c ) 的距离均为 ( r )。 · 内心与三角形三个顶点的连线平分各内角，即若 ( I ) 为 的内心，则，，。 · 内心一定在三角形内部，且是三角形内切圆的圆心。 二、内心的判定方法 1. 角平分线交点法：若一个点是三角形两条角平分线的交点，则该点必为三角形的内心（可通过三角形三条角平分线交于一点的性质推导）。 2. 距离相等法：若一个点到三角形三边的距离相等，且该点在三角形内部，则该点是三角形的内心（注意“内部”条件，避免与旁心混淆）。 1．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 2．如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 3．如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 重难点二 三角形内切圆与外接圆结合求解 一、核心概念与性质梳理 1. 内切圆关键要素 · 半径公式：（( S )为三角形面积，为半周长） · 切线长定理：从三角形任一顶点到内切圆的两条切线长相等，即( AF = AE = p-a )，( BF = BD = p-b )，( CD = CE = p-c ) · 圆心（内心）：三条角平分线交点，到三边距离相等 2. 外接圆关键要素 · 半径公式：（正弦定理） · 圆心（外心）：三条边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 直径性质：直径所对圆周角为直角 1．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 3．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 重难点三 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 公式推导过程 设△ABC的内切圆半径为( r )，内切圆与三边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，圆心为I。连接IA、IB、IC，将△ABC分割为三个小三角形：△IBC、△IAC、△IAB。 由于内切圆半径垂直于切线，因此ID=IE=IF=( r )，且ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB。 △ABC的面积( S )等于三个小三角形面积之和： 代入面积公式得： 提取公因式，设△ABC的周长为( C = AB + BC + AC )，则： 整理可得核心关系公式： 1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 直线与圆的位置关系 2.1直线与圆的位置关系 重难点一 直线与圆位置关系中的求解 核心依据：位置关系与数量关系的转化 直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）可通过圆心到直线的距离 ( d ) 与圆的半径 ( r ) 的大小关系判定： 1. 相离：( d > r )，无公共点； 2. 相切：( d = r )，有且只有一个公共点； 3. 相交：( d < r )，有两个公共点。 求解关键：根据题意选择代数法或几何法计算 ( d ) 与 ( r )，并比较大小。 1．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 2．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，在中，，，． (1)请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 重难点二 圆的切线的性质 切线的性质定理及推论 1. 性质定理 内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 分析：此定理建立了切线与半径的垂直关系，是解决切线相关计算与证明的核心依据。需注意“经过切点”是半径的关键限定条件，若未明确切点，需先确定切点位置。 2. 推论1 内容：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 分析：此推论可用于已知圆心和切线时，快速确定切点位置，即“过圆心作切线的垂线，垂足即为切点”。 3. 推论2 内容：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 分析：此推论常用于证明某点为圆心，即“过切点作切线的垂线，该垂线必过圆心”。 1．如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线的性质得出直角三角形，根据等边对等角以及三角形的外角得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵与相切于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在半圆中，直径长为12，，是半圆上的两点，将沿弦翻折，若翻折后的所在的圆与所在的直线相切，则弦长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，熟练掌握定理和公式是解题的关键．先分别找出弦最短和最长时的位置，再分类讨论求解即可． 【详解】解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 根据题意，当点与点重合，点是的中点时，切点为，此时取得最小值，如图， 根据折叠的性质，，， 四边形是正方形， ； 当，且恰好经过的中点时，取得最大值， 根据折叠性质，垂径定理，得 ， ， ， 故弦长的取值范围为． 故答案为：． 3．已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)的度数是； (2)线段的长为． 【分析】（）连接，则，所以，因为切于点，所以，而于点，交于点，则，所以，则，推导出，求得，则； （）连接，由，且为的中点，得，则，所以是等边三角形，则，所以，因为，所以． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵切于点， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：如图，连接，则，由（）得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 重难点三 圆的切线的判定 方法一：定义法 判定依据：直线与圆只有一个公共点时，这条直线是圆的切线。 操作步骤： 1. 观察直线与圆的交点个数； 2. 若交点唯一，则该直线为圆的切线。 适用场景：已知直线与圆的交点情况，或通过几何作图可直接判断交点数量时使用。 注意事项：需确保“唯一公共点”的条件严格成立，避免因视觉误差误判。 方法二：数量关系法（d=r判定法） 判定依据：设圆的半径为( r )，圆心到直线的距离为( d )，若( d=r )，则直线是圆的切线。 操作步骤： 1. 确定圆心( O )和直线( l )； 2. 过圆心( O )作直线( l )的垂线段( OA )，垂足为( A )，计算垂线段长度( OA=d )； 3. 比较( d )与半径( r )的大小，若( d=r )，则直线( l )是圆的切线。 适用场景：已知圆心位置、半径及直线方程（或几何图形中可计算距离）时，常用于代数计算或几何证明中。 关键要点：必须满足“圆心到直线的距离等于半径”，不可忽略“垂直”条件（距离是垂线段长度）。 方法三：切线的判定定理（半径+垂直判定法） 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：如图，若直线( l )经过( \odot O )的半径( OA )的外端( A )，且( l \perp OA )，则直线( l )是( \odot O )的切线。 操作步骤： 1. 确定圆的半径( OA )，并确认直线( l )经过半径的外端( A )（即点( A )在圆上）； 2. 证明直线( l )与半径( OA )垂直（即( l \perp OA )）； 3. 根据定理得出结论：直线( l )是圆的切线。 适用场景：已知直线与圆有一个公共点（即“半径外端”），需证明该直线是切线时，是几何证明中最常用的方法。 核心条件： · 直线经过半径的外端（“点在圆上”）； · 直线垂直于这条半径（“线垂直于半径”），两者缺一不可。 1．如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题主要考查了切线的定义，要使得直线是的切线，只要使即可． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∴． 当时， 则，即， 又是的半径， ∴直线是的切线， 故答案为： (答案不唯一)． 3．如图，为直径，以为腰作等腰，底边交于点D，连结． (1)如图1，若，求证：是的切线． (2)如图2，的延长线交于点E，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为以AB为腰作等腰，底边为BC，所以，由AB为的直径，得，而，由，求得，即可证明AC是的切线； （2），得，由，推导出，则，所以，由，得，由，得，则，求得 【详解】（1）证明：以AB为腰作等腰，底边BC交于点D， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，切线的判定，勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 重难点四 圆与相似结合 一、核心原理 1. 圆中相似三角形的判定条件 · 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可直接提供等角条件（如∠ACB=∠ADB），结合公共角或对顶角可证相似（如△ABC∽△ADE）。 · 切线性质：切线与半径垂直（∠OAT=90°），若存在其他直角条件（如∠ABC=90°），可通过“AA”判定直角三角形相似（如△OAT∽△ABC）。 · 割线定理背景：两条割线交于圆外点P，形成△PAC和△PBD，由∠P公共角及∠PAC=∠PDB（圆内接四边形外角等于内对角）可证相似，进而推出PA·PB=PC·PD。 二、常见模型与应用步骤 1. 模型一：直径与直角三角形 · 条件：AB为直径，C在圆上，CD⊥AB于D。 · 相似关系：△ACD∽△CBD∽△ABC（双垂直模型）。 · 应用：已知AD=2，DB=8，求CD长。 解：由△ACD∽△CBD得 ，故CD=4。 2. 模型二：切线与割线 · 条件：PT为切线，PAB、PCD为割线。 · 相似关系：△PTA∽△PBT（∠P公共角，∠PTA=∠PBT）。 · 应用：已知PT=6，PA=3，求PB长。 解：由△PTA∽△PBT得，即，故，解得PB=12。 3. 模型三：圆内接四边形与外角 · 条件：四边形ABCD内接于圆，延长AB、DC交于点E。 · 相似关系：△EBC∽△EDA（∠E公共角，∠EBC=∠EDA）。 · 应用：已知EB=2，EA=6，EC=3，求ED长。 解：由△EBC∽△EDA得，即，故，解得ED=4。 1．如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 2．我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中点，连结交于点P，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以圆心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案． 【详解】解：设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、． ∵， ∴，， ∴圆心O在上， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点I，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两条弦，相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连结，． ∵ ① ， ② ， ∴， ∴ ③ ∴ ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整： ①____________，②____________，③____________； (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是AB上的一点，，，，求的半径． 【答案】(1)B，D，； (2)7 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为r，则，，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）连接． ∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：B，D，； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键． 重难点五 圆与三角函数结合 一、利用半径构建直角三角形，转化三角函数关系 核心思路：在圆中，半径、弦长、弦心距等元素常构成直角三角形（如半径为斜边，弦心距和弦长一半为直角边），此时可结合三角函数定义（正弦、余弦、正切）建立边角关系。 步骤： 1. 确定直角三角形：找到圆的半径（通常为斜边）、圆心到弦的距离（弦心距）、弦长的一半等关键线段，构成Rt△OAB（O为圆心，A为弦的端点，B为弦心距的垂足）。 2. 对应三角函数定义： · 若已知圆心角∠AOB=θ，则sinθ=（弦长一半）/半径，cosθ=弦心距/半径，tanθ=（弦长一半）/弦心距。 · 若已知圆周角∠ACB=α（C为圆上另一点），则圆心角∠AOB=2α，再利用上述关系。 二、通过切线性质构造直角三角形，应用三角函数 核心思路：切线与半径垂直（切线性质定理），因此切线长、半径、圆心到切点外一点的距离可构成直角三角形，结合三角函数求角度或线段长。 步骤： 1. 连接半径与切线：设PA为圆O的切线，切点为A，则OA⊥PA，构成Rt△OPA（P为圆外一点）。 2. 利用三角函数列方程：已知OP（点P到圆心的距离）、半径OA，可求∠OPA的三角函数值；或已知∠OPA，求PA或OP。 三、结合圆周角定理，将三角函数与圆弧所对角度关联 核心思路：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，可利用直角三角形中的三角函数（如正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）解决与直径、弦长相关的问题。 步骤： 1. 确定直角圆周角：若AB为直径，C为圆上一点，则∠ACB=90°，构成Rt△ABC。 2. 应用三角函数求边或角：在Rt△ABC中，sin∠A=BC/AB，cos∠A=AC/AB，tan∠A=BC/AC。 1．如图，等腰内接于圆O，底边是直径，E为的中点，点D在上，且与相交于点F，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，交于，设，则，，利用圆周角定理得到，则根据勾股定理计算出，，再证明，利用相似比计算出，根据平行线分线段成比例定理，利用可计算出，利用，，所以，接着利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义得到的值． 【详解】解：作于，交于，如图，设，则， ， 为的中点， ， 为直径， ， 在中，， 在中，， ， ， ，即，解得， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．也考查了相似三角形的判定与性质． 2．如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据圆周角定理得出，再由特殊角的三角函数值判断出，故可得出，所以是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且，点D的坐标为． (1)直接写出圆心C的坐标为______； (2)当，求点B的坐标； (3)若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标 (3)或 【分析】（1）连接并延长，交于点E，连接、，则，可求得，和，结合点D可得，即可求得，过点C作，垂足为F，则是的中位线，即可求得点C的坐标； （2）设与相交于点E，过点B作于点F，作于点H，则，求得和，进一步求得、和，则有和，根据得，结合求得，利用解直角三角形求得和即可； （3）若B在第二象限，设，，则，即，结合，即可求得a，若B在第一象限，设，则，同理即可求得点B的坐标． 【详解】（1）解：如图1，连接并延长，交于点E，连接、． ∵， ∴， ∵是直径， ∴，， ∵点D的坐标为 ∴， ∴． 过点C作，垂足为F， 则是的中位线， ∴，． ∴点C的坐标为， 故圆心C的坐标为； （2）解：如图，设与相交于点E，过点B作于点F，作于点H， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴，， 则点B的坐标； （3）解：若B在第二象限，设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：(舍去），， 故 若B在第一象限，设，， ∴， 同理： ， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查圆的性质、解直角三角形，三角形中位线的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的性质，以及两点之间距离，解题的关键是熟悉圆的性质和分类讨论思想的应用． 重难点六 圆与二次函数结合 核心思路：利用直线与圆的位置关系判定条件转化为二次函数问题 位置关系与数量关系的转化 设圆的半径为( r )，圆心到直线（二次函数图像可视为特殊直线或曲线，此处重点关注直线与圆的交点问题转化为二次函数的零点问题）的距离为( d )： · 相离：( d > r ) · 相切：( d = r ) · 相交：( d < r ) 关键：通过几何图形性质（如勾股定理、相似三角形、三角函数）表示( d )，再代入位置关系条件，得到关于未知数的二次函数表达式或方程。 1．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，根据题意可得出S与t，y与t的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴的面积，属于二次函数关系， 正方形周长，属于一次函数关系， 故选：C． 2．如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、中位线定理． 在A点的左边取点D，使得，连接，结合P是的中点，可得，故当最小时，最小，再由二次函数为，可得，又Q为圆C上一点，D为圆C外一点，从而可得的最小值为，进而可以判断得解． 【详解】解：如图，在A点的左边取点D，使得，连接． 又∵P是的中点， ∴． ∴当最小时，最小． 又∵二次函数为， ∴令，则；令，则或． ∴． ∴． ∴D为． ∴． ∵Q为圆C上一点，D为圆C外一点， ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故答案为：． 3．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； (3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 【答案】(1)，， (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）求出圆心必在的垂直平分线上，即在直线上，设点的坐标为，分两种情况：①点在轴上方和②点在轴下方，再通过全等三角形的性质求出点的坐标，代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得； （3）先求出点的坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，再过点作直线的垂线，垂足为点，连接，在中，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式，由此即可得证． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 当时，， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，，． （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵过两点作， ∴圆心必在的垂直平分线上，即在直线上， 设点的坐标为， ①如图，当点在轴上方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在轴下方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， 同理可证：， ∴，， ∴，， ∴，即， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）证明：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 则点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，连接， ∴，，， 在中，，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得：， 将②代入①得：，即， 这个方程的根的判别式为，这个方程有两个相等的实数根， ∴直线与抛物线有唯一公共点． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根的判别式等知识，综合很强，正确分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 重难点七 动圆相切求t 一、问题特征与核心思路 1. 问题特征 动圆通常以含参数t的方程形式呈现（如圆心坐标为(t, 0)、半径为|t-1|等），需根据动圆与定圆/定直线相切的条件，建立关于t的方程并求解。相切类型包括外切和内切（与定圆相切时），或圆心到直线距离等于半径（与定直线相切时）。 2. 核心思路 （1）明确动圆的圆心坐标和半径(r(t))，参数t的几何意义需结合题目条件转化（如t为圆心横坐标、半径与t的一次函数关系等）； 1．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线以及含度角的直角三角形，分类讨论与半圆相切，半圆O与相切于点D，半圆O与相切三种情况即可求解； 【详解】解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时，，与半圆相切，此时半圆O运动的距离为，所求运动时间． ②如图2，当半圆O与相切于点D时，则， ∵，，则，此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为，所求运动时间． ③如图3，当半圆O与相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，t的值为或或． 故选：D． 2．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，则， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ， 点E的运动时间t为 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 点E的运动时间t为， 综上，点E的运动时间t为或， 故答案为：或． 3．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒（），回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)为直角三角形，理由见详解 (3)或 【分析】本题为几何动点问题，考查了勾股定理及其逆定理，直线与圆相切等知识，综合性比较强，根据题意用含t的式子表示出各线段的长，构造方程是解题关键﹒ （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程，解方程即可求解； （2）当秒时分别求出，，，，根据勾股定理求出，，，即可得到， 从而证明为直角三角形； （3）由题意可知与、不相切；当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切；当正好与四边形的边相切，由勾股定理得方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解﹒ 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，， ∴， ∵的面积等于， ∴， 解得，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中， 由勾股定理得， ， ∵， ∴ 所以，为直角三角形； （3）解：由题意可知与、不相切； ①如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，与相切； ②当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可得 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）﹒ 综上，当或时，与四边形的一边相切﹒ 2.2切线长定理 重难点一 切线长定理求解 一、核心定理内容 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：如图，点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则： 1. 切线长相等：PA = PB； 2. 夹角平分线：PO平分∠APB（即∠APO = ∠BPO）。 二、关键性质延伸 1. 垂直关系：切线垂直于过切点的半径，即OA⊥PA，OB⊥PB（∠OAP = ∠OBP = 90°）。 2. 全等三角形：Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL定理：OA=OB为半径，OP为公共边）。 3. 四点共圆：点A、O、B、P四点共圆（∠OAP + ∠OBP = 180°，对角互补）。 1．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 2．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 3．有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． (3)如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)或4或8 【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是①②； （2）解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”； （3）解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． 2.3三角形的内切圆 重难点一 三角形中的内心 一、内心的定义与性质 1. 定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，这个距离称为内切圆半径（通常用 ( r ) 表示）。 2. 性质： · 内心到三角形三边的距离相等，即内心到边 ( a )、( b )、( c ) 的距离均为 ( r )。 · 内心与三角形三个顶点的连线平分各内角，即若 ( I ) 为 的内心，则，，。 · 内心一定在三角形内部，且是三角形内切圆的圆心。 二、内心的判定方法 1. 角平分线交点法：若一个点是三角形两条角平分线的交点，则该点必为三角形的内心（可通过三角形三条角平分线交于一点的性质推导）。 2. 距离相等法：若一个点到三角形三边的距离相等，且该点在三角形内部，则该点是三角形的内心（注意“内部”条件，避免与旁心混淆）。 1．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键． 由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为25， ∴的面积为15． 故选：C． 2．如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 是的内切圆，切点分别是、、， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 重难点二 三角形内切圆与外接圆结合求解 一、核心概念与性质梳理 1. 内切圆关键要素 · 半径公式：（( S )为三角形面积，为半周长） · 切线长定理：从三角形任一顶点到内切圆的两条切线长相等，即( AF = AE = p-a )，( BF = BD = p-b )，( CD = CE = p-c ) · 圆心（内心）：三条角平分线交点，到三边距离相等 2. 外接圆关键要素 · 半径公式：（正弦定理） · 圆心（外心）：三条边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 直径性质：直径所对圆周角为直角 1．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 2．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 3．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 重难点三 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 公式推导过程 设△ABC的内切圆半径为( r )，内切圆与三边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，圆心为I。连接IA、IB、IC，将△ABC分割为三个小三角形：△IBC、△IAC、△IAB。 由于内切圆半径垂直于切线，因此ID=IE=IF=( r )，且ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB。 △ABC的面积( S )等于三个小三角形面积之和： 代入面积公式得： 提取公因式，设△ABC的周长为( C = AB + BC + AC )，则： 整理可得核心关系公式： 1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $