重难点专题 三视图与表面展开图（专项训练）数学浙教版九年级下册

重难点专题 三视图与表面展开图 3.1投影 重难点一 平行投影、中心投影、正投影 一、平行投影 定义：由平行光线（如太阳光、探照灯光束）形成的投影称为平行投影。 特征： 1. 光线平行性：所有投影线互相平行，不相交于一点。 2. 物体形状与投影的关系： · 当物体与投影面平行时，投影与物体的形状、大小完全相同（全等）； · 当物体与投影面不平行时，投影会发生“缩放”或“变形”，但对应边仍保持平行。 3. 时间与方向的影响：在太阳光下，同一物体在不同时间（如上午、中午、下午）的投影方向和长度不同，正午时投影最短（光线与地面夹角最大）。 作图方法： 1. 确定投影线方向（如水平向右、斜向下45°等）； 2. 过物体各顶点作投影线的平行线，与投影面交于对应投影点； 3. 顺次连接投影点，得到物体的平行投影。 实例：正方形纸板在阳光下的投影可能是正方形（纸板与地面平行）、长方形（纸板倾斜）或线段（纸板与光线方向垂直）。 二、中心投影 定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影称为中心投影。 特征： 1. 光线汇聚性：所有投影线交于一点（光源）。 2. 物体形状与投影的关系： · 投影大小随物体与光源、投影面的距离变化：物体靠近光源，投影变大；远离光源，投影变小。 · 对应点的连线必过光源（可用于判断光源位置或物体位置）。 3. 方向的影响：光源方向改变，投影方向随之改变，且投影易产生“近大远小”的透视效果。 作图方法： 1. 确定光源位置（点S）和投影面； 2. 过光源S和物体各顶点作直线（投影线），与投影面交于对应投影点； 3. 顺次连接投影点，得到物体的中心投影。 实例：夜晚路灯下行人的影子、手电筒照射物体形成的影子，均为中心投影，且光源、物体顶点、投影顶点三点共线。 三、正投影 定义：投影线垂直于投影面的平行投影称为正投影。 特征： 1. 双重属性：属于平行投影的特例，兼具“平行投影”和“垂直投影”的性质。 2. 投影的真实性： · 当物体平行于投影面时，正投影与物体全等（形状、大小不变）； · 当物体倾斜于投影面时，正投影为原图形的“缩小版”（类似斜投影，但投影线垂直投影面）； · 当物体垂直于投影面时，正投影积聚为一条线段或一个点（如竖直放置的线段，正投影为点）。 3. 应用价值：正投影能准确反映物体的实际形状和尺寸，是机械制图、建筑图纸等领域的核心投影方法。 作图方法： 1. 确保投影线方向垂直于投影面（如铅垂线方向垂直于水平投影面）； 2. 按平行投影作图步骤，过物体各顶点作垂直于投影面的直线，交投影面于投影点； 3. 顺次连接投影点，得到正投影（注：正投影的关键是“投影线⊥投影面”）。 实例：正方体在水平面上的正投影： · 正方体底面平行于水平面时，正投影为正方形（与底面全等）； · 正方体侧面平行于水平面时，正投影为长方形（边长等于正方体棱长和高）； · 正方体棱垂直于水平面时，正投影为正方形（与垂直面全等）。 四、三种投影的对比与辨析 对比项 平行投影 中心投影 正投影 投影线 平行，不相交 交于一点（光源） 平行且垂直于投影面 投影大小 与物体到投影面距离无关 随距离变化（近大远小） 与物体倾斜角度有关，垂直时最小 应用场景 太阳光下的影子、工程草图 灯光下的影子、艺术透视 机械制图、建筑图纸、三视图 核心性质 对应边平行 三点共线（光源、物体、投影） 真实性（反映实际尺寸） 辨析技巧： · 若投影线平行且不垂直投影面 → 斜平行投影； · 若投影线平行且垂直投影面 → 正投影； · 若投影线交于一点 → 中心投影。 通过以上方法，可准确判断投影类型、作图及应用于实际问题（如根据影子判断时间、光源位置，或绘制物体的三视图）。 1．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 【详解】解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 2．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 【详解】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 3．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 重难点二 视点、视角和盲区 一、核心概念解析 1. 视点 · 定义：观察者眼睛的位置称为视点，数学上用点来表示 · 特征：是视线的发射点，会随观察者位置变化而改变 · 表示方法：在几何图形中通常用大写字母O或V标记 2. 视角 · 定义：由视点发出的两条视线与观察物体边缘形成的夹角 · 度量方式：角度制（°），范围在0°~180°之间 · 影响因素：与物体距离成反比（距离越近视角越大），与物体高度成正比（物体越高视角越大） 3. 盲区 · 定义：视线被障碍物遮挡而看不到的区域 · 形成条件：必须同时存在视点、障碍物和观察目标 · 几何特征：呈现为多边形或不规则区域，边界由障碍物顶点与视点的连线确定 二、解题基本步骤 1. 作图分析法 （1）确定视点位置，标记为点O （2）过视点作障碍物顶端的两条切线（视线） （3）两条切线与障碍物底部形成的区域即为盲区 （4）通过相似三角形或三角函数计算盲区范围 2. 数学计算模型 · 相似三角形法：利用视点、障碍物、目标物形成的相似三角形求解 · 关键公式：（( h )为高度，( d )为水平距离） · 三角函数法：已知视角求距离或高度 · 应用场景：已知视点高度和视角，计算观察目标的水平距离 1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 2．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 【答案】①②③ 【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可 【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③. 【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键. 3．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3.2简单几何的三视图 重难点一 判断几何体的三视图 一、明确三视图的基本概念与投影规则 （一）三视图的构成 几何体的三视图包括主视图、俯视图和左视图。主视图是从几何体正前方观察得到的图形，反映几何体的长和高；俯视图是从几何体正上方观察得到的图形，反映几何体的长和宽；左视图是从几何体正左方观察得到的图形，反映几何体的宽和高。 （二）投影规则 三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则。具体来说，主视图与俯视图的长度相等，且左右对齐；主视图与左视图的高度相等，且上下对齐；俯视图与左视图的宽度相等。这一规则是判断三视图是否正确的基本依据，在分析和绘制三视图时必须严格遵守。 二、从已知视图推断几何体形状 （一）由单一视图推断可能的几何体 1. 主视图为矩形：可能是柱体（如长方体、圆柱体），也可能是某些组合体的一部分。需要结合其他视图进一步判断，如果俯视图也是矩形，且左视图同样为矩形，则很可能是长方体；若俯视图是圆形，左视图是矩形，则为圆柱体。 2. 主视图为三角形：可能是锥体（如三棱锥、圆锥）。若俯视图是三角形及中心一点（表示顶点的投影），则为三棱锥；若俯视图是圆形及中心一点，则为圆锥。 3. 主视图为圆形：可能是球体、圆柱体（当观察方向与轴线垂直时主视图为圆）、圆锥体（当观察方向与轴线垂直时主视图为圆）等。需要结合俯视图和左视图来区分，球体的三视图都是圆形；圆柱体的俯视图是圆形，左视图是矩形；圆锥体的俯视图是圆形及中心一点，左视图是三角形。 （二）由两个视图推断几何体形状 当已知两个视图时，可先根据每个视图的形状初步确定可能的几何体范围，再找出两个视图共同对应的几何体。例如，主视图是矩形，俯视图是圆形，根据主视图矩形可能是柱体或组合体，俯视图圆形可能是球体、圆柱体、圆锥体等，结合两者，共同的几何体为圆柱体。再如，主视图是三角形，左视图是三角形，那么可能是三棱锥等锥体，此时再结合俯视图的形状就能更准确地判断。 （三）由三个视图综合判断几何体形状 综合三个视图的形状和尺寸关系来确定几何体的准确形状。首先，检查三个视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，如果不符合，则该三视图对应的几何体不存在或绘制错误。然后，根据每个视图的轮廓和内部线条（如实线、虚线，实线表示可见轮廓线，虚线表示不可见轮廓线）来判断几何体的结构。例如，一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是带圆心的圆形，那么该几何体是圆锥体；如果主视图、俯视图和左视图都是全等的正方形，那么该几何体是正方体；如果主视图和俯视图是矩形，左视图是正方形，那么该几何体是长方体。 1．深圳华润大厦“春笋”是深圳的地标性建筑之一，如图是“春笋”的实拍图和学生小明的写生画作，关于“春笋”下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，俯视图与左视图和主视图不相同； 故选：A． 2．如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算． 【详解】综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体． 故答案为∶ ①②③． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 【答案】磊磊，理由见解析 【分析】注意在画三视图时实线和虚线的画法，得见的线条画成实线，看不见的线条画成虚线，据此可判断谁正确． 【详解】磊磊的画法正确，理由如下： 在画三种视图时，看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线，所以磊磊的画法正确． 【点睛】本题考查三视图实线虚线的区别，解题关键在于了解掌握在画三视图时看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线． 重难点二 画出几何体的三视图 一、明确三视图的基本概念与位置关系 1. 定义：三视图是从几何体的三个不同方向观察得到的正投影图，包括主视图（从正面看）、俯视图（从上面看）、左视图（从左面看）。 2. 位置规则：主视图画在上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，三者之间保持“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系（即主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等）。 二、绘制三视图的基本步骤 1. 观察几何体，确定正视方向 · 选择能反映几何体主要形状特征的方向作为正面（主视方向），通常优先选择包含几何体最多面或关键结构的方向，使主视图最能体现几何体的整体形状。 · 明确几何体的组成部分（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱锥等基本几何体的组合）及各部分的相对位置（上下、左右、前后）。 2. 绘制主视图 · 从正面观察几何体，将看到的轮廓线（包括可见棱和轮廓边界）用实线画出，不可见的轮廓线（被遮挡部分）用虚线表示（若虚线不影响识图，部分简单情况可省略，但复杂几何体需准确标注）。 · 确保主视图的高度和长度与几何体的实际高度和前后方向长度一致，体现“长对正”中的“长”和“高平齐”中的“高”。 3. 绘制俯视图 · 从上面观察几何体，将看到的轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线表示。 · 俯视图的长度应与主视图的长度完全对齐（长对正），宽度反映几何体的左右方向宽度，且需与左视图的宽度相等（宽相等）。 · 注意俯视图中各部分的前后位置与主视图的对应关系（如主视图中左侧的结构，在俯视图中可能位于前方或后方，需根据几何体实际摆放确定）。 4. 绘制左视图 · 从左面观察几何体，将看到的轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线表示。 · 左视图的高度应与主视图的高度完全对齐（高平齐），宽度与俯视图的宽度相等（宽相等），且宽度方向需通过“45°辅助线”或直接测量确保与俯视图对应（例如俯视图中从左到右的宽度，在左视图中表现为从后到前的深度）。 5. 检查与修正 · 完成三视图初稿后，对照“长对正、高平齐、宽相等”三大原则，检查三个视图的尺寸对应关系是否准确。 · 确认所有可见和不可见的轮廓线是否正确绘制，无遗漏或多余线条，尤其注意叠加、挖空等复杂结构的虚线标注（如几何体内部有凹槽或通孔时，需在对应视图中用虚线画出其轮廓）。 · 擦除辅助线（如45°宽相等辅助线），确保视图清晰、规范，线条粗细均匀（通常可见轮廓线用粗实线，不可见轮廓线用细虚线，辅助线用细实线）。 1．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，培养空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图可知底层有5个正方体，那么第二层以上有1个正方体，即可确定答案． 【详解】解：根据俯视图可知底层有5个正方体，则第二层以上有1个正方体，A、C、D选项第二层有1个正方体，符合题意，B选项第二层有2个正方体，显然不可能． 故选：B． 2．如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面、左面、正面看会得到三个图形，其中看到的图形面积最小的是 （填正面、左面、正面之一）．    【答案】左面 【分析】分别找出从上面、左面、正面看所得到的小正方形的个数，可得答案． 【详解】解：主视图有5个小正方形，俯视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，因此看到的图形面积最小的是左面， 故答案：左面． 【点睛】本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3．如图是由7个小立方块搭成的几何体，请在下面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题的关键是掌握从不同方向看几何体的定义． 根据从不同方向看几何体画图即可． 【详解】解：从正面看图形如下： 从左面看图形如下： 从上面看图形如下： 3.3由三视图描述几何体 重难点一 由三视图还原几何体 一、明确三视图的基本概念与位置关系 1. 三视图定义：几何体的三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看），它们分别反映几何体的长和高、宽和高、长和宽。 2. 位置规范：绘制时需按“主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方”的顺序排列，确保视图间的对应关系清晰。 二、确定几何体的构成要素 1. 分解几何体：将复杂几何体分解为基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥等），明确各部分的形状、大小及相对位置（上下、左右、前后）。 2. 标注关键尺寸：通过观察几何体，确定主视图的长（左右方向）和高（上下方向）、俯视图的长和宽（前后方向）、左视图的宽和高，确保“长对正、高平齐、宽相等”的原则贯穿始终。 1．河南省图书馆是河南省最大的综合性图书馆，目前藏书1500多万册，书籍种类较多．该图书馆的一个装饰品是由几个几何体组成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】D 【分析】本题考查三视图，理解三视图的含义，结合三视图还原几何体是关键；根据三视图可知，这个几何体的相邻三个面都是长方形，即可判断此几何体的形状． 【详解】解：这个几何体的相邻三个面都是长方形，此几何体是长方体； 故选：D． 2．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是圆锥. 故答案为：圆锥． 3．已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【分析】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 重难点二 已知三视图求面积与体积 一、由三视图还原几何体的步骤 1. 分析三视图的构成 · 主视图反映几何体的高度和长度，俯视图反映长度和宽度，左视图反映高度和宽度。三者中“长对正、高平齐、宽相等”，即主视图与俯视图的长度一致，主视图与左视图的高度一致，俯视图与左视图的宽度一致（需注意俯视图中宽度方向通常为竖直方向，左视图中宽度方向为水平方向，需通过“宽相等”建立对应关系）。 · 观察各视图的轮廓线和虚线：实线表示可见轮廓，虚线表示被遮挡的不可见轮廓（如凹槽、孔洞或内部结构），需结合虚线判断几何体是否有凹陷、挖空或叠加部分。 2. 确定几何体的基本形状 · 若三视图均为矩形，几何体可能是长方体；若主视图和左视图为三角形、俯视图为多边形，则可能是棱锥；若主视图和左视图为矩形、俯视图为圆形，则为圆柱；若主视图和左视图为三角形、俯视图为圆形，则为圆锥。 · 若三视图中存在多个独立轮廓或虚线，需考虑组合体（如多面体的拼接、挖去一部分几何体等），此时需分解视图，分别还原各部分基本形状，再判断组合方式（叠加、挖空、嵌套等）。 3. 验证几何体的尺寸 · 根据三视图中标注的尺寸（若无标注则根据“长、宽、高”关系推导），确定几何体各部分的棱长、半径、高、斜高等关键数据。例如，长方体的长、宽、高分别对应主视图的长、俯视图的宽、主视图的高；圆柱的底面半径为俯视图中圆的半径，高为主视图的高度。 二、计算几何体的表面积 1. 单一几何体的表面积 · 规则多面体（如长方体、正方体、棱柱、棱锥）：先确定各面的形状和尺寸，计算每个面的面积后求和。需注意棱锥的侧面为三角形，需计算各侧面三角形的面积（底边长×斜高÷2）；棱柱的侧面为矩形，面积为底面周长×侧棱长。 · 旋转体（如圆柱、圆锥、球）： · 圆柱表面积=侧面积+2×底面积=2πrh+2πr²（r为底面半径，h为高）； · 圆锥表面积=侧面积+底面积=πrl+πr²（l为母线长，l=√）； · 球的表面积=4πR²（R为球的半径）。 2. 组合体的表面积 · 叠加型组合体：若两个几何体表面完全贴合（无重叠部分暴露），则总面积=各部分表面积之和-2×贴合面面积（因贴合面不再属于表面）；若仅部分叠加（如一个几何体放置在另一个几何体上方，接触面为一个面），则总面积=各部分表面积之和-2×接触面面积（接触面被覆盖，需减去两个面的面积）。 · 挖空型组合体：若从一个几何体中挖去另一个几何体（如长方体中挖去一个圆柱），则表面积=原几何体表面积+挖去部分的侧面积（挖空后新增的侧面）-2×挖去部分的底面积（原几何体表面被挖去的部分）。例如，长方体挖去一个圆柱后，表面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2πr²（r为圆柱底面半径）。 · 注意：所有不可见的面（如被遮挡的侧面）不计入表面积，需结合三视图中的虚线判断是否存在被遮挡的面，若存在则该面面积不参与求和。 三、计算几何体的体积 1. 单一几何体的体积 · 规则多面体： · 长方体/正方体体积=长×宽×高（正方体棱长³）； · 棱柱体积=底面积×高（底面积为多边形面积，高为两底面之间的距离）； · 棱锥体积=底面积×高×1/3（高为顶点到底面的垂直距离）。 · 旋转体： · 圆柱体积=底面积×高=πr²h； · 圆锥体积=底面积×高×1/3=πr²h/3； · 球的体积=4/3πR³。 2. 组合体的体积 · 叠加型组合体：体积=各部分体积之和。例如，一个正方体叠在长方体上方，总体积=正方体体积+长方体体积。 · 挖空型组合体：体积=原几何体体积-挖去部分体积。例如，圆柱中挖去一个同底等高的圆锥，体积=圆柱体积-圆锥体积=πr²h - (1/3)πr²h = (2/3)πr²h。 · 嵌套型组合体：若两个几何体无重叠（如一个小圆柱嵌套在大圆柱内部，不接触），体积=大几何体体积+小几何体体积；若为空心几何体（如空心圆柱），体积=外圆柱体积-内圆柱体积=πh（R为外半径，r为内半径）。 1．图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 【答案】B 【分析】三视图的概念：从正面、左面、上面三个不同方向观察几何体所得到的平面图形，分别称为主视图(正视图)、左视图、俯视图；俯视图的长与主视图的长相等，俯视图的宽与左视图的宽相等，主视图的高与左视图的高相等；利用三视图的面积公式(长方形面积长宽)，结合已知视图面积求解未知视图面积． 【详解】解：已知，从正面看到的形状图的宽为， ∴根据长方形面积公式，正面看到的形状图的长为：， 已知，从左面看到的形状图的宽为， ∴同样根据长方形面积公式，从左面看到的形状图的长为：， 即得几何体的长为，宽为，高为， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的知识点是几何体的三视图及其面积关系，关键通过分析三视图的尺寸对应关系，将视图面积与几何体的长、宽、高建立联系，进而计算出目标视图的面积． 2．在我国传统文化中，灯笼是喜庆与团圆的象征．某手艺人制作了一款圆柱形灯笼，其三视图中，主视图和左视图是两个全等的矩形（相邻两边长分别为2和3），俯视图是直径为2的圆，则这个灯笼的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据三视图判断几何体的形状，再利用相应的体积公式计算其体积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆柱，其底面直径为2，高为3， ∴这个几何体的体积为． 故答案为：． 3．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 【答案】(1)10 (2) (3)5 【分析】（1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、主视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体 （2） 解：分析这个图形的三视图可得： 主视图面积为， 左视图为， 俯视图的面积为2×， 该组合体的表面积为 （3）解：在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变，如图所示， 所以最多可以添加5个． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． 重难点三 已知三视图求最多或最少添加的小立方体个数 1. 画俯视图网格，标注行列，明确主视图列高和左视图行高； 2. 求基准几何体：每个位置高度取主视图列高和左视图行高的最小值，累加得； 3. 求最多添加：每个位置添加至主视图和左视图限制的最小值，累加差值； 4. 求最少添加：确保主视图每列、左视图每行的最大高度至少有一个位置达到，计算需补充的最小个数。 关键口诀： · 最多添加：“填满所有空隙，不超视图边界”； · 最少添加：“补全关键高度，避免视图缺失”。 通过以上步骤，可系统计算出符合三视图要求的最多或最少添加小立方体个数。 1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体的知识，理解题意是解决本题的关键．根据从正面看得到这个组合体中小正方体的个数最多或最少时的形状即可． 【详解】解：观察图形可知，这个几何体最多时，如图： ∴（个）， 这个几何体最少时，如图： （个）， ∴， 故选B． 2．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有 个，最多有 个． 【答案】 6 8 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体．根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故答案为6，8 3．如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2)9 【分析】本题考查了作图——从三个方向看以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出从三个方向看的几何体的形状． （1）根据立体图形分别画出从三个不同方向看到的形状图即可； （2）在从上面看的图的相应位置上标出该位置所放置的小立方体的个数，从而得出最少需要的小立方体的个数． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与方格中所画一致，最少如图所示， ∴共个小正方体． 故答案为：9． 3.4简单几何体的表面展开图 重难点一 已知三视图求侧面积或表面积 1. 判断几何体类型 · 若三视图中至少有两个视图是矩形，且第三个视图是多边形（如三角形、四边形等），则该几何体为棱柱（底面为多边形，侧面为矩形）。 · 若三视图中有两个视图是三角形，且第三个视图是圆形或圆环，则该几何体为圆锥（底面为圆，侧面为扇形）。 · 若三视图均为矩形，则为长方体；若三视图中有两个矩形和一个圆形，则为圆柱（底面为圆，侧面为矩形）。 2. 提取关键尺寸 · 棱柱：从俯视图确定底面多边形的边长（如三棱柱的底面三角形边长、四棱柱的底面矩形长和宽），从主视图或侧视图确定棱柱的高（侧棱长，即侧面矩形的另一边长）。 · 圆柱：从俯视图确定底面圆的半径( r )，从主视图或侧视图确定圆柱的高( h )（侧面矩形的一边长，另一边长为底面圆周长）。 · 圆锥：从俯视图确定底面圆的半径( r )，从主视图或侧视图（等腰三角形）确定圆锥的母线长( l )（侧面扇形的半径）和高( h )（可通过勾股定理验证）。 1．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可； 【详解】解：∵，， 又∵长方体的高为， ∴长方体的长为，宽为， ∴， 即， 解得：， ∵为正数， ∴取， 故选：A． 2．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是 ． 【答案】38 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是：， 故答案为：38． 3．由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)，平方分米 (3)； 【分析】本题是几何体三视图的问题，考查了画几何体的三视图，根据由小立方体堆成的几何体的三视图得到原几何体所需最小立方体数或最多立方体数，掌握几何体三视图的性质是解题的关键． （1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，即可作出图形； （2）观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体，即可得共有5个小正方体，有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体， 共有个小正方体， 表面积为：（平方分米）， 故答案为：；平方分米． （3）解：先根据俯视图可得第一层有4个小立方块，再结合左视图可得第二层的前面一排没有小立方块，后面一排最少有1个小立方块，最多有3个小立方块， ∴这样的几何体最少要5个小立方块，最多要7个小立方块， 故答案为：；． 重难点二 求圆锥侧面积、底面半径、高 一、圆锥的基本构成与关键公式 1. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个扇形，其扇形半径等于圆锥的母线长（用 ( l ) 表示），扇形弧长等于圆锥底面圆的周长（用 ( C ) 表示，，其中 ( r ) 为底面半径）。 2. 圆锥侧面积公式 · 若已知扇形半径（母线长 ( l )）和扇形弧长（底面周长 ( C )），侧面积。 · 若已知扇形半径（母线长 ( l )）和扇形圆心角，侧面积 （需结合弧长公式建立联系）。 3. 圆锥的高、底面半径与母线的关系 圆锥的高（( h )）、底面半径（( r )）和母线（( l )）构成直角三角形，满足勾股定理：。 1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥侧面积的计算，掌握公式是解题关键． 圆锥的侧面展开图面积即圆锥的侧面积，可直接使用公式计算，其中为底面半径，为母线长，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为4，母线长为6， ∴,，且 ∴， 即它的侧面展开图的面积是， 故选：D． 2．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，求出圆锥底面半径是解答的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面半径，再计算底面积． 【详解】解：扇形的弧长为， 设圆锥底面半径为，则，解得． 因此，圆锥的底面积为． 故答案为：． 3．【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 (1)计算的长和扇形的面积（取3）； (2)求圆锥的高； (3)制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 【答案】(1)，扇形的面积约为； (2)圆锥的高为； (3)最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可； （2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可； （3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：连接，，记与交于点， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴扇形的面积； （2）解：设圆锥的底面半径为，， 由题意得， ∴， 过点作垂直于底面，连接， 在中，， 即圆锥的高为； （3）解：每个圆形纸片制作的扇形纸片： （个） 制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片： （个） ， 答：最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【点睛】本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 重难点三 圆锥的最短路径 一、问题本质 圆锥表面上两点之间的最短路径，需通过侧面展开图转化为平面图形中两点间的线段距离求解。圆锥侧面展开后为一扇形，利用“平面内两点之间线段最短”原理，将曲面上的路径问题转化为平面几何问题。 二、关键步骤 1. 明确圆锥基本参数 设圆锥底面半径为 ( r )，母线长为 ( l )（母线即圆锥侧面展开图扇形的半径），底面圆周长为。 2. 计算侧面展开图扇形的圆心角 圆锥侧面展开后扇形的弧长等于底面圆周长，即。 扇形弧长公式：（其中 ( n ) 为扇形圆心角，单位：度）。 联立得：，解得圆心角。 1．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键． 由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：C． 2．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 3．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 三视图与表面展开图 3.1投影 重难点一 平行投影、中心投影、正投影 一、平行投影 定义：由平行光线（如太阳光、探照灯光束）形成的投影称为平行投影。 特征： 1. 光线平行性：所有投影线互相平行，不相交于一点。 2. 物体形状与投影的关系： · 当物体与投影面平行时，投影与物体的形状、大小完全相同（全等）； · 当物体与投影面不平行时，投影会发生“缩放”或“变形”，但对应边仍保持平行。 3. 时间与方向的影响：在太阳光下，同一物体在不同时间（如上午、中午、下午）的投影方向和长度不同，正午时投影最短（光线与地面夹角最大）。 作图方法： 1. 确定投影线方向（如水平向右、斜向下45°等）； 2. 过物体各顶点作投影线的平行线，与投影面交于对应投影点； 3. 顺次连接投影点，得到物体的平行投影。 实例：正方形纸板在阳光下的投影可能是正方形（纸板与地面平行）、长方形（纸板倾斜）或线段（纸板与光线方向垂直）。 二、中心投影 定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影称为中心投影。 特征： 1. 光线汇聚性：所有投影线交于一点（光源）。 2. 物体形状与投影的关系： · 投影大小随物体与光源、投影面的距离变化：物体靠近光源，投影变大；远离光源，投影变小。 · 对应点的连线必过光源（可用于判断光源位置或物体位置）。 3. 方向的影响：光源方向改变，投影方向随之改变，且投影易产生“近大远小”的透视效果。 作图方法： 1. 确定光源位置（点S）和投影面； 2. 过光源S和物体各顶点作直线（投影线），与投影面交于对应投影点； 3. 顺次连接投影点，得到物体的中心投影。 实例：夜晚路灯下行人的影子、手电筒照射物体形成的影子，均为中心投影，且光源、物体顶点、投影顶点三点共线。 三、正投影 定义：投影线垂直于投影面的平行投影称为正投影。 特征： 1. 双重属性：属于平行投影的特例，兼具“平行投影”和“垂直投影”的性质。 2. 投影的真实性： · 当物体平行于投影面时，正投影与物体全等（形状、大小不变）； · 当物体倾斜于投影面时，正投影为原图形的“缩小版”（类似斜投影，但投影线垂直投影面）； · 当物体垂直于投影面时，正投影积聚为一条线段或一个点（如竖直放置的线段，正投影为点）。 3. 应用价值：正投影能准确反映物体的实际形状和尺寸，是机械制图、建筑图纸等领域的核心投影方法。 作图方法： 1. 确保投影线方向垂直于投影面（如铅垂线方向垂直于水平投影面）； 2. 按平行投影作图步骤，过物体各顶点作垂直于投影面的直线，交投影面于投影点； 3. 顺次连接投影点，得到正投影（注：正投影的关键是“投影线⊥投影面”）。 实例：正方体在水平面上的正投影： · 正方体底面平行于水平面时，正投影为正方形（与底面全等）； · 正方体侧面平行于水平面时，正投影为长方形（边长等于正方体棱长和高）； · 正方体棱垂直于水平面时，正投影为正方形（与垂直面全等）。 四、三种投影的对比与辨析 对比项 平行投影 中心投影 正投影 投影线 平行，不相交 交于一点（光源） 平行且垂直于投影面 投影大小 与物体到投影面距离无关 随距离变化（近大远小） 与物体倾斜角度有关，垂直时最小 应用场景 太阳光下的影子、工程草图 灯光下的影子、艺术透视 机械制图、建筑图纸、三视图 核心性质 对应边平行 三点共线（光源、物体、投影） 真实性（反映实际尺寸） 辨析技巧： · 若投影线平行且不垂直投影面 → 斜平行投影； · 若投影线平行且垂直投影面 → 正投影； · 若投影线交于一点 → 中心投影。 通过以上方法，可准确判断投影类型、作图及应用于实际问题（如根据影子判断时间、光源位置，或绘制物体的三视图）。 1．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 2．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 3．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 重难点二 视点、视角和盲区 一、核心概念解析 1. 视点 · 定义：观察者眼睛的位置称为视点，数学上用点来表示 · 特征：是视线的发射点，会随观察者位置变化而改变 · 表示方法：在几何图形中通常用大写字母O或V标记 2. 视角 · 定义：由视点发出的两条视线与观察物体边缘形成的夹角 · 度量方式：角度制（°），范围在0°~180°之间 · 影响因素：与物体距离成反比（距离越近视角越大），与物体高度成正比（物体越高视角越大） 3. 盲区 · 定义：视线被障碍物遮挡而看不到的区域 · 形成条件：必须同时存在视点、障碍物和观察目标 · 几何特征：呈现为多边形或不规则区域，边界由障碍物顶点与视点的连线确定 二、解题基本步骤 1. 作图分析法 （1）确定视点位置，标记为点O （2）过视点作障碍物顶端的两条切线（视线） （3）两条切线与障碍物底部形成的区域即为盲区 （4）通过相似三角形或三角函数计算盲区范围 2. 数学计算模型 · 相似三角形法：利用视点、障碍物、目标物形成的相似三角形求解 · 关键公式：（( h )为高度，( d )为水平距离） · 三角函数法：已知视角求距离或高度 · 应用场景：已知视点高度和视角，计算观察目标的水平距离 1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 2．现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 3．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 3.2简单几何的三视图 重难点一 判断几何体的三视图 一、明确三视图的基本概念与投影规则 （一）三视图的构成 几何体的三视图包括主视图、俯视图和左视图。主视图是从几何体正前方观察得到的图形，反映几何体的长和高；俯视图是从几何体正上方观察得到的图形，反映几何体的长和宽；左视图是从几何体正左方观察得到的图形，反映几何体的宽和高。 （二）投影规则 三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则。具体来说，主视图与俯视图的长度相等，且左右对齐；主视图与左视图的高度相等，且上下对齐；俯视图与左视图的宽度相等。这一规则是判断三视图是否正确的基本依据，在分析和绘制三视图时必须严格遵守。 二、从已知视图推断几何体形状 （一）由单一视图推断可能的几何体 1. 主视图为矩形：可能是柱体（如长方体、圆柱体），也可能是某些组合体的一部分。需要结合其他视图进一步判断，如果俯视图也是矩形，且左视图同样为矩形，则很可能是长方体；若俯视图是圆形，左视图是矩形，则为圆柱体。 2. 主视图为三角形：可能是锥体（如三棱锥、圆锥）。若俯视图是三角形及中心一点（表示顶点的投影），则为三棱锥；若俯视图是圆形及中心一点，则为圆锥。 3. 主视图为圆形：可能是球体、圆柱体（当观察方向与轴线垂直时主视图为圆）、圆锥体（当观察方向与轴线垂直时主视图为圆）等。需要结合俯视图和左视图来区分，球体的三视图都是圆形；圆柱体的俯视图是圆形，左视图是矩形；圆锥体的俯视图是圆形及中心一点，左视图是三角形。 （二）由两个视图推断几何体形状 当已知两个视图时，可先根据每个视图的形状初步确定可能的几何体范围，再找出两个视图共同对应的几何体。例如，主视图是矩形，俯视图是圆形，根据主视图矩形可能是柱体或组合体，俯视图圆形可能是球体、圆柱体、圆锥体等，结合两者，共同的几何体为圆柱体。再如，主视图是三角形，左视图是三角形，那么可能是三棱锥等锥体，此时再结合俯视图的形状就能更准确地判断。 （三）由三个视图综合判断几何体形状 综合三个视图的形状和尺寸关系来确定几何体的准确形状。首先，检查三个视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，如果不符合，则该三视图对应的几何体不存在或绘制错误。然后，根据每个视图的轮廓和内部线条（如实线、虚线，实线表示可见轮廓线，虚线表示不可见轮廓线）来判断几何体的结构。例如，一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是带圆心的圆形，那么该几何体是圆锥体；如果主视图、俯视图和左视图都是全等的正方形，那么该几何体是正方体；如果主视图和俯视图是矩形，左视图是正方形，那么该几何体是长方体。 1．深圳华润大厦“春笋”是深圳的地标性建筑之一，如图是“春笋”的实拍图和学生小明的写生画作，关于“春笋”下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 2．如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 ． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 重难点二 画出几何体的三视图 一、明确三视图的基本概念与位置关系 1. 定义：三视图是从几何体的三个不同方向观察得到的正投影图，包括主视图（从正面看）、俯视图（从上面看）、左视图（从左面看）。 2. 位置规则：主视图画在上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，三者之间保持“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系（即主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等）。 二、绘制三视图的基本步骤 1. 观察几何体，确定正视方向 · 选择能反映几何体主要形状特征的方向作为正面（主视方向），通常优先选择包含几何体最多面或关键结构的方向，使主视图最能体现几何体的整体形状。 · 明确几何体的组成部分（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱锥等基本几何体的组合）及各部分的相对位置（上下、左右、前后）。 2. 绘制主视图 · 从正面观察几何体，将看到的轮廓线（包括可见棱和轮廓边界）用实线画出，不可见的轮廓线（被遮挡部分）用虚线表示（若虚线不影响识图，部分简单情况可省略，但复杂几何体需准确标注）。 · 确保主视图的高度和长度与几何体的实际高度和前后方向长度一致，体现“长对正”中的“长”和“高平齐”中的“高”。 3. 绘制俯视图 · 从上面观察几何体，将看到的轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线表示。 · 俯视图的长度应与主视图的长度完全对齐（长对正），宽度反映几何体的左右方向宽度，且需与左视图的宽度相等（宽相等）。 · 注意俯视图中各部分的前后位置与主视图的对应关系（如主视图中左侧的结构，在俯视图中可能位于前方或后方，需根据几何体实际摆放确定）。 4. 绘制左视图 · 从左面观察几何体，将看到的轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线表示。 · 左视图的高度应与主视图的高度完全对齐（高平齐），宽度与俯视图的宽度相等（宽相等），且宽度方向需通过“45°辅助线”或直接测量确保与俯视图对应（例如俯视图中从左到右的宽度，在左视图中表现为从后到前的深度）。 5. 检查与修正 · 完成三视图初稿后，对照“长对正、高平齐、宽相等”三大原则，检查三个视图的尺寸对应关系是否准确。 · 确认所有可见和不可见的轮廓线是否正确绘制，无遗漏或多余线条，尤其注意叠加、挖空等复杂结构的虚线标注（如几何体内部有凹槽或通孔时，需在对应视图中用虚线画出其轮廓）。 · 擦除辅助线（如45°宽相等辅助线），确保视图清晰、规范，线条粗细均匀（通常可见轮廓线用粗实线，不可见轮廓线用细虚线，辅助线用细实线）。 1．如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（　　） A． B． C． D． 2．如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面、左面、正面看会得到三个图形，其中看到的图形面积最小的是 （填正面、左面、正面之一）．    3．如图是由7个小立方块搭成的几何体，请在下面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图． 3.3由三视图描述几何体 重难点一 由三视图还原几何体 一、明确三视图的基本概念与位置关系 1. 三视图定义：几何体的三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看），它们分别反映几何体的长和高、宽和高、长和宽。 2. 位置规范：绘制时需按“主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方”的顺序排列，确保视图间的对应关系清晰。 二、确定几何体的构成要素 1. 分解几何体：将复杂几何体分解为基本几何体（如正方体、长方体、圆柱、圆锥等），明确各部分的形状、大小及相对位置（上下、左右、前后）。 2. 标注关键尺寸：通过观察几何体，确定主视图的长（左右方向）和高（上下方向）、俯视图的长和宽（前后方向）、左视图的宽和高，确保“长对正、高平齐、宽相等”的原则贯穿始终。 1．河南省图书馆是河南省最大的综合性图书馆，目前藏书1500多万册，书籍种类较多．该图书馆的一个装饰品是由几个几何体组成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 2．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 3．已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 重难点二 已知三视图求面积与体积 一、由三视图还原几何体的步骤 1. 分析三视图的构成 · 主视图反映几何体的高度和长度，俯视图反映长度和宽度，左视图反映高度和宽度。三者中“长对正、高平齐、宽相等”，即主视图与俯视图的长度一致，主视图与左视图的高度一致，俯视图与左视图的宽度一致（需注意俯视图中宽度方向通常为竖直方向，左视图中宽度方向为水平方向，需通过“宽相等”建立对应关系）。 · 观察各视图的轮廓线和虚线：实线表示可见轮廓，虚线表示被遮挡的不可见轮廓（如凹槽、孔洞或内部结构），需结合虚线判断几何体是否有凹陷、挖空或叠加部分。 2. 确定几何体的基本形状 · 若三视图均为矩形，几何体可能是长方体；若主视图和左视图为三角形、俯视图为多边形，则可能是棱锥；若主视图和左视图为矩形、俯视图为圆形，则为圆柱；若主视图和左视图为三角形、俯视图为圆形，则为圆锥。 · 若三视图中存在多个独立轮廓或虚线，需考虑组合体（如多面体的拼接、挖去一部分几何体等），此时需分解视图，分别还原各部分基本形状，再判断组合方式（叠加、挖空、嵌套等）。 3. 验证几何体的尺寸 · 根据三视图中标注的尺寸（若无标注则根据“长、宽、高”关系推导），确定几何体各部分的棱长、半径、高、斜高等关键数据。例如，长方体的长、宽、高分别对应主视图的长、俯视图的宽、主视图的高；圆柱的底面半径为俯视图中圆的半径，高为主视图的高度。 二、计算几何体的表面积 1. 单一几何体的表面积 · 规则多面体（如长方体、正方体、棱柱、棱锥）：先确定各面的形状和尺寸，计算每个面的面积后求和。需注意棱锥的侧面为三角形，需计算各侧面三角形的面积（底边长×斜高÷2）；棱柱的侧面为矩形，面积为底面周长×侧棱长。 · 旋转体（如圆柱、圆锥、球）： · 圆柱表面积=侧面积+2×底面积=2πrh+2πr²（r为底面半径，h为高）； · 圆锥表面积=侧面积+底面积=πrl+πr²（l为母线长，l=√）； · 球的表面积=4πR²（R为球的半径）。 2. 组合体的表面积 · 叠加型组合体：若两个几何体表面完全贴合（无重叠部分暴露），则总面积=各部分表面积之和-2×贴合面面积（因贴合面不再属于表面）；若仅部分叠加（如一个几何体放置在另一个几何体上方，接触面为一个面），则总面积=各部分表面积之和-2×接触面面积（接触面被覆盖，需减去两个面的面积）。 · 挖空型组合体：若从一个几何体中挖去另一个几何体（如长方体中挖去一个圆柱），则表面积=原几何体表面积+挖去部分的侧面积（挖空后新增的侧面）-2×挖去部分的底面积（原几何体表面被挖去的部分）。例如，长方体挖去一个圆柱后，表面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2πr²（r为圆柱底面半径）。 · 注意：所有不可见的面（如被遮挡的侧面）不计入表面积，需结合三视图中的虚线判断是否存在被遮挡的面，若存在则该面面积不参与求和。 三、计算几何体的体积 1. 单一几何体的体积 · 规则多面体： · 长方体/正方体体积=长×宽×高（正方体棱长³）； · 棱柱体积=底面积×高（底面积为多边形面积，高为两底面之间的距离）； · 棱锥体积=底面积×高×1/3（高为顶点到底面的垂直距离）。 · 旋转体： · 圆柱体积=底面积×高=πr²h； · 圆锥体积=底面积×高×1/3=πr²h/3； · 球的体积=4/3πR³。 2. 组合体的体积 · 叠加型组合体：体积=各部分体积之和。例如，一个正方体叠在长方体上方，总体积=正方体体积+长方体体积。 · 挖空型组合体：体积=原几何体体积-挖去部分体积。例如，圆柱中挖去一个同底等高的圆锥，体积=圆柱体积-圆锥体积=πr²h - (1/3)πr²h = (2/3)πr²h。 · 嵌套型组合体：若两个几何体无重叠（如一个小圆柱嵌套在大圆柱内部，不接触），体积=大几何体体积+小几何体体积；若为空心几何体（如空心圆柱），体积=外圆柱体积-内圆柱体积=πh（R为外半径，r为内半径）。 1．图①中的几何体从三个方向观察的图形如图②所示．若用S表示面积，，，则等于（　　） A．20x B．20 C．9x D．9 2．在我国传统文化中，灯笼是喜庆与团圆的象征．某手艺人制作了一款圆柱形灯笼，其三视图中，主视图和左视图是两个全等的矩形（相邻两边长分别为2和3），俯视图是直径为2的圆，则这个灯笼的体积为 ． 3．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 重难点三 已知三视图求最多或最少添加的小立方体个数 1. 画俯视图网格，标注行列，明确主视图列高和左视图行高； 2. 求基准几何体：每个位置高度取主视图列高和左视图行高的最小值，累加得； 3. 求最多添加：每个位置添加至主视图和左视图限制的最小值，累加差值； 4. 求最少添加：确保主视图每列、左视图每行的最大高度至少有一个位置达到，计算需补充的最小个数。 关键口诀： · 最多添加：“填满所有空隙，不超视图边界”； · 最少添加：“补全关键高度，避免视图缺失”。 通过以上步骤，可系统计算出符合三视图要求的最多或最少添加小立方体个数。 1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由个小立方块组成，最少由个小立方块组成，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有 个，最多有 个． 3．如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 3.4简单几何体的表面展开图 重难点一 已知三视图求侧面积或表面积 1. 判断几何体类型 · 若三视图中至少有两个视图是矩形，且第三个视图是多边形（如三角形、四边形等），则该几何体为棱柱（底面为多边形，侧面为矩形）。 · 若三视图中有两个视图是三角形，且第三个视图是圆形或圆环，则该几何体为圆锥（底面为圆，侧面为扇形）。 · 若三视图均为矩形，则为长方体；若三视图中有两个矩形和一个圆形，则为圆柱（底面为圆，侧面为矩形）。 2. 提取关键尺寸 · 棱柱：从俯视图确定底面多边形的边长（如三棱柱的底面三角形边长、四棱柱的底面矩形长和宽），从主视图或侧视图确定棱柱的高（侧棱长，即侧面矩形的另一边长）。 · 圆柱：从俯视图确定底面圆的半径( r )，从主视图或侧视图确定圆柱的高( h )（侧面矩形的一边长，另一边长为底面圆周长）。 · 圆锥：从俯视图确定底面圆的半径( r )，从主视图或侧视图（等腰三角形）确定圆锥的母线长( l )（侧面扇形的半径）和高( h )（可通过勾股定理验证）。 1．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是 ． 3．由大小相同（棱长为1分米）的小立方块搭成的几何体如下图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ； (3)用小立方块搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图中方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要_______个小立方块，最多要_______个小立方块． 重难点二 求圆锥侧面积、底面半径、高 一、圆锥的基本构成与关键公式 1. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个扇形，其扇形半径等于圆锥的母线长（用 ( l ) 表示），扇形弧长等于圆锥底面圆的周长（用 ( C ) 表示，，其中 ( r ) 为底面半径）。 2. 圆锥侧面积公式 · 若已知扇形半径（母线长 ( l )）和扇形弧长（底面周长 ( C )），侧面积。 · 若已知扇形半径（母线长 ( l )）和扇形圆心角，侧面积 （需结合弧长公式建立联系）。 3. 圆锥的高、底面半径与母线的关系 圆锥的高（( h )）、底面半径（( r )）和母线（( l )）构成直角三角形，满足勾股定理：。 1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 2．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ． 3．【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 (1)计算的长和扇形的面积（取3）； (2)求圆锥的高； (3)制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 重难点三 圆锥的最短路径 一、问题本质 圆锥表面上两点之间的最短路径，需通过侧面展开图转化为平面图形中两点间的线段距离求解。圆锥侧面展开后为一扇形，利用“平面内两点之间线段最短”原理，将曲面上的路径问题转化为平面几何问题。 二、关键步骤 1. 明确圆锥基本参数 设圆锥底面半径为 ( r )，母线长为 ( l )（母线即圆锥侧面展开图扇形的半径），底面圆周长为。 2. 计算侧面展开图扇形的圆心角 圆锥侧面展开后扇形的弧长等于底面圆周长，即。 扇形弧长公式：（其中 ( n ) 为扇形圆心角，单位：度）。 联立得：，解得圆心角。 1．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 2．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    3．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $