第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·基础卷）数学浙教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．如图，已知的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 6．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 7．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 12．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 14．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 15．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 16．如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1） 度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，中，，点O是的内心．求的度数． 18．（8分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC． 19．（8分）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 20．（8分）如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 21．（8分）如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（10分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 23．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 24．（12分）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章直线与圆的位置关系·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 10 B D A D D C D D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.相离 12.40°/40度 13.3 14.12 15.45°- Γ2 16.45,12-3π 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：：点O是△ABC的内心，∠ABC=50°，∠ACB=75°， ·∠OBC= 348c=x0=25,20cB-4C8×75=75, ∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-25°-37.5°=117.5°.(8分) 18.(8分) 【详解】解：，BC与⊙A相切于点D, AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， :∠BAD=∠CAD,AD=AD, ∴.△ABD≌△ACD(ASA), .AB=AC.(8分) 19.(8分) 【详解】解：(I)如图，射线BD即为所求； 1/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D B (4分) A (2)如图，连接CD,分别以点CD为圆心，大于CD的长度为半径作弧，分别交于点E、F,连接 EF交CD于点G,再以点G为半径，CG的长度为半径作弧，交OC于点M,作直线DM,直线DM即为 所求，理由如下： ,EF垂直平分CD, ∴cG=DG=2cD, ∴.点M在以CD为直径的圆上， ∴.∠CMD=90°， 又：CM是OC的半径， ∴.DM是⊙C的切线. E M D (8分) G 20.(8分) 【详解】(1)解：如图所示， ∴.M(3,2);(2分) 2/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：AM=V3-1)2+(2-62=2W5, ∴.这个圆的半径长为25；(4分) (3)解：DM=V5-3)2+(-3-22=29, V29>25, .点D(5,-3在⊙M外， 故答案为：外；(6分) (4)解：如图所示，连接BM,过点B作BM的垂线， 点E,E2,E,E4均为图中网格点，符合题意， .该图中有4个， 故答案为：4.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：：半径OC⊥AB, .AC=BC, .LCAB=ZADC, ..LACE ZACD, ∴.△CAEn△CDA;(4分) （2)解：aCAE∽△CDA, .C=CE CD AC .AC2=CD.CE, CE=2,ED=5, ..CD=CE+ED=7, .AC2=2×7=14, .AC=√2x7=14.(8分) 22.(10分) 【详解】(I)解：ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, :AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x, 3/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm :AF-2cm,BD=5-x=5-2=3(cm),EC=6-x=6-2=4(cm), 则AF的长为2cm;(5分) (2)解：：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长s=B+BC+C4_5+7+6-9cml, 2 又：Sa4c=6V6cm2, 6√6=r9, s26 3 则0D的长为26 m.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)证明：连接0D,如图， E B :0D=0C, :∠0DC=∠0CD. :AB=AC, :∠B=∠ACB, ∠B=LODC, .AB‖OD. ,DE⊥AB, OD⊥DE, .DE与O0相切.(5分) (2)解：：AC为00的直径， ∠ADC=90°， 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD=2AD, :设AD=x,则CD=2x, 在RtaADC中， AC=AD+CD=+(2x)=5x 又A0=5, 即√5x=10, x=2V5, CD=45.(10分) 24.(12分) 【详解】解：(1)①如图所示； A ,BD=DI,理由如下： D ,点I是ABC的内心， ∴.∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI, .∠BAD+∠ABI=LCAD+∠CBI. ,∠CAD=∠CBD, ∴.LBAD+LABI=∠CBD+LCBI. ,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI, ∴.∠BID=∠IBD, .BD=DI;(3分) ②如图，连接OA,OB,OM,ON,交BC于点L, B M 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,O0的半径是5，BC=8,且点M是BC的中点， 04-OB-OM-5,OM LBC.BL-CL-BC-4. .∠0LB=∠MLB=90°， .0L=V0B2-BL2=V52-42=3, ∴.ML=0M-0L=5-3=2, .M1=MB=VBL2+ML2=V42+22=2V5. AM≤0A+0B, .AI+2V5≤5+5， 即41≤10-2√5， 所以的最大值是10-2√5；(6分) (2)连接OD,交BC于点E, E B D ∠BAD=∠CAD, BD=CD, ∴.OD⊥BC,BE=CE OI⊥AD,IM⊥AB, ∴.∠BED=∠AMI=90°，IA=DI. .BD DI, .BD =IA. ∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC, .∴.∠DBE=∠IAM, .△DBE≌△IAM(AAS), .BE=AM, .'.2BE =2AM. 6/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BC=2BE, ∴.BC=2AM;(9分) (3)PB=2EF,理由如下： 如图，连接AE并延长交BC于点D,连接BE,CE,PE, A D B 由题意可知AE平分∠CAG, .AB=AC, AD⊥BC. 由(1)得，DE=DC, ∴.△DEC为等腰直角三角形， .LAEC=LAEB=I35°， ∴.∠AEP=90°， 由对称可知AE=PE, ∴.APE是等腰直角三角形， 延长EF到点H,使得EF=FH,连接CH, ,点F为Rt△AGC的外心， .AF=CF ,∠AFE=LCFH, ,∴.△AFE≌ACFH(SAS), .∴.AE=CH,EH=2EF,∠EAF=∠FCH, ∴.PE=AE=CH. ,∠AEP=∠BEC=90°， ∴.∠PEC+∠AEC=180°. ∠EAF=LFCH, .AE∥CH .∠AEC+∠ECH=180°， 7/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴.∠PEB=∠ECH. BE =CE, .△PEB≌△ECH(SAS), PB=EH=2EF.(12分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．如图，已知的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 6．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 7．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 12．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 14．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 15．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 16．如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1） 度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，中，，点O是的内心．求的度数． 18．（8分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC． 19．（8分）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 20．（8分）如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 21．（8分）如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（10分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 23．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 24．（12分）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 2．如图，已知的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交，据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为1，圆心到一条直线的距离为1.4，， ∴这条直线与相离， 由图可知只有直线与圆相离． 故选：D 3．已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较半径与圆心到直线的距离即可判断． 【详解】解：∵圆的半径为5，且该圆的圆心到一条直线的距离为7， ， ∴直线与圆相离， ∴直线与圆没有交点． 故选：A． 4．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据三角形中位线定理、平行线的性质与判定、切线的判定定理证明，判断即可． 【解答】解：、，， 是△的中位线， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意； C、， ， ， ， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的判定，三角形中位线定理、平行线的性质与判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5．下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心的定义以及三角形的外接圆与外心的关系．解题的关键是根据外心是三角形三边的垂直平分线的交点、以及三角形的内心是三个内角角平分线的交点． 根据外心、内心、外切三角形、内接三角形的定义及等边三角形的内心、外心重合的性质，判断各说法的正误． 【详解】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确； ②一个圆的外切三角形有无数个，故错误； ③一个圆的内接三角形有无数个，故错误； ④等边三角形的外心与内心重合，故正确． ∴ 正确的是①④． 故答案为：D． 6．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 7．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，切线的性质，结合的角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 8．已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，求解，再根据的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接 ，分别与相切于两点， ， ， ， ， 的度数为或， 故选：D． 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接， 则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， 半径为3， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法（比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系）是解题的关键．先明确圆的半径和圆心到直线的距离，再通过比较两者的大小来确定直线与圆的位置关系． 【详解】解：的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故答案为：相离． 12．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 14．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 15．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 16．如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1） 度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握切线的性质并灵活运用． （1）求出，根据圆周角定理解答即可； （2）根据切线的性质证明四边形是矩形，求出，同理求出，再根据勾股定理求出，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）设点为圆心，连接、，如图所示： 四边形是矩形， ， ，与相切于， ， ， ， 故答案为：； （2）延长，交于点，连接，如图所示： 与相切于， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理， 在中，由勾股定理可得， 阴影部分的面积是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，中，，点O是的内心．求的度数． 【答案】117.5° 【分析】由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：点是的内心，，， ，， ． 【点睛】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点． 18．（8分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC． 【答案】见解析． 【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵BC与⊙A相切于点D， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握． 19．（8分）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 20．（8分）如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 【答案】(1) (2) (3)外 (4)4 【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心； （2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可； （3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可； （4）根据切线的定义，作图判定即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； （2）解：， ∴这个圆的半径长为； （3）解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． 21．（8分）如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）垂径定理得到，得到，再结合，即可得证； （2）根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 22．（10分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 23．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切． （2）解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 24．（12分）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①作图见解析 ，理由见解析 ② （2）证明见解析 （3），理由见解析 【分析】对于（1）①，分别作平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，然后根据三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得出答案；②连接，交于点L，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理求出，最后根据求出答案； 对于（2），连接，交于点E，先根据垂径定理得，，再根据“角角边”证明，可得，则答案可证； 对于（3），连接并延长交于点D，连接，先说明为等腰直角三角形，及是等腰直角三角形，再延长到点H，使得，连接，然后根据“边角边”证明，可得，进而说明，接下来说明，则答案可证． 【详解】解：（1）①如图所示； ，理由如下： ∵点I是的内心， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如图，连接，交于点L， ∵的半径是5，，且点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 所以的最大值是； （2）连接，交于点E， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，连接并延长交于点D，连接， 由题意可知平分， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由对称可知， ∴是等腰直角三角形， 延长到点H，使得，连接， ∵点F为的外心， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $