专题01 集合与常用逻辑用语（11大题型）（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题01 集合与常用逻辑用语 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用元素的互异性求参数（共4小题） 1．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则 ． 3．已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 4．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 题型二 集合子集个数判断（共5小题） 5．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 6．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 7．若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 9．定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 题型三 根据集合包含关系求参数（共5小题） 10．（25-26高一上·江苏·月考）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知全集，设为实数，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求的取值范围.   题型四 集合的交并补运算（共5小题） 15．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和 . 17．设全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 18．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知集合{为不大于的正奇数}，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 根据交并补混合运算求参数（共6小题） 20．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数的值为 ． 22．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 23．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·江苏镇江·月考）设，，若，则实数a的值不可以是（     ） A．0 B． C． D．3 25．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型六 Venn图及容斥原理的应用（共7小题） 26．（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 27．高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 28．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为 ．    29．现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 30．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 31．“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 32．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 题型七 集合新定义（共5小题） 33．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 34．已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 35．对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 36．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 37．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 题型八 充分条件、必要条件、充要条件的判断（共8小题） 38．2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．对于实数x，“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 41．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 42．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 44．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 题型九 根据充分条件、必要条件求参数（共6小题） 46．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 50．已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 题型十 全称量词命题和存在量词命题的否定（共4小题） 52．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 53．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 54．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 55．已知命题“，则为（ ） A． B． C． D． 题型十一 根据命题的真假求参数（共5小题） 56．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 57．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 58．已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 60．已知，，. (1)若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 61．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. $专题01 集合与常用逻辑用语 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用元素的互异性求参数（共4小题） 1．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意： 当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意； 综上所述，， 故答案为：. 3．已知集合，，则（   ） A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 4．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 题型二 集合子集个数判断（共5小题） 5．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 6．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．7个 【答案】D 【分析】根据集合中的元素个数分类讨论即可求解. 【详解】由⫋有： 当集合中有3个元素时，可以为，共3个 当集合中有4个元素时，可以为，共3个， 当集合中有5个元素时，为，共1个， 所以满足条件的集合A的个数为个， 故选：D. 7．若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 8．已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，利用列举法求化简集合，从而求得集合的真子集个数. 【详解】依题意，得；；； ；；； ；；，故， 其真子集的个数为：． 故选：C. 9．定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C 题型三 根据集合包含关系求参数（共5小题） 10．（25-26高一上·江苏·月考）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析可知，集合有且只有个元素，对实数的取值进行分类讨论，当时，直接验证即可；当时，可得出，综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素， 当时，，合乎题意； 当时，则关于的方程有两个相等的实根， 所以，解得. 综上所述，或. 故选：C. 11．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 12．设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得，，且， 因此，解得． 故选：B． 13．已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 14．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知全集，设为实数，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求的取值范围.   【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集和补集的定义可求得集合； （2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合， 由集合，所以， 所以或. （2）分以下两种情况讨论： ①当时，，解得，此时，合乎题意； ②当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型四 集合的交并补运算（共5小题） 15．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和化简集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由得到或，即， 由得到，即， 所以， 故选：C 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和 . 【答案】36 【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得，根据判别式可得，再依次经检验得，再根据可得满足条件的所有集合B，即可计算元素的和. 【详解】根据题意，将等式两边平方得 继续平方整理得，故该方程有解； 所以，即，解得. 又因为，故； 当时，即，解得，代入验证可知不符合题意； 当时，即，解得或，代入验证可知符合题意； 当时，即，解得，代入验证可知符合题意； 当时，即，解得，代入验证可知符合题意； 故，由，可知集合B是集合A的子集； 所以，满足条件的所有集合B共有，，，，，，， 所以，所有元素之和为. 故答案为：36. 17．设全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出集合A与集合B，再求补集及交集运算即可. 【详解】解不等式得或，所以； 解不等式得，所以， 所以，所以， 故选：B 18．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确集合，再利用集合的混合运算求. 【详解】由，所以. 所以，. 故选：A 19．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知集合{为不大于的正奇数}，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】{为不大于的正奇数}，，故. 故选：B. 题型五 根据交并补混合运算求参数（共6小题） 20．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 21．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到，进而建立方程并合理取舍，最后得到参数值即可. 【详解】因为，所以， 而，则讨论即可， 当时，可得，解得或， 当时，不满足互异性，故排除， 当时，，满足条件，所以. 故答案为： 22．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 23．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【详解】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 24．（25-26高一上·江苏镇江·月考）设，，若，则实数a的值不可以是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用交集的概念分类讨论方程的解判定选项即可. 【详解】易知的解为或，即, 若，即，显然符合题意； 若,则或，即或； 综上所述：，或. 故选：D 25．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，即； （2）解：因为， 所以或， 所以. 题型六 Venn图及容斥原理的应用（共7小题） 26．（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 27．高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】画出韦恩图，列方程可得. 【详解】 设这两部电影都观看的有人， 由图形可知，解得. 故选：C 28．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为 ．    【答案】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 29．现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 30．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 31．“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 32．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 题型七 集合新定义（共5小题） 33．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 34．已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】因为集合，， 所以且. 故选：A. 35．对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【分析】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项. 【详解】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 36．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 37．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3)9 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算； （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． （3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 题型八 充分条件、必要条件、充要条件的判断（共8小题） 38．2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”， 所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件． 故选：A 39．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 40．对于实数x，“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出关系来判断充要关系即可. 【详解】由 “”等价于“且"， 当时无法保证，但当且时必然有， 故“”是“”的必要且不充分条件. 故选：B 41．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 【答案】ACD 【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A， 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于B，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，正确； 对于D选项，，， 是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确. 故选：ACD. 42．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 43．“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】可以推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件，D选项正确； “”是的充要条件，A选项错误； “”可以推出，“”是的充分条件，B选项错误； “”不可以推出，“”不是的必要条件，C选项错误； 故选：D. 44．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 45．”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【分析】由充分、必要条件概念即可判断. 【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C​ 题型九 根据充分条件、必要条件求参数（共6小题） 46．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 47．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得． 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 48．已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 49．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 50．已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A 51．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可； （2）由题意可得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得方程有解， 所以，解得， 所以； （2）解：因为是的必要条件， 所以，又因为为非空集合， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型十 全称量词命题和存在量词命题的否定（共4小题） 52．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由存在量词命题的否定可得. 【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为，. 故选：B 53．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：D 54．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，结合已知命题求出其否定，进而判断选项． 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 全称量词命题的否定为，故D正确． 故选：D． 55．已知命题“，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为命题为“， 所以命题为“” 故选：C. 题型十一 根据命题的真假求参数（共5小题） 56．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可知方程无实数根，讨论与0的关系即可列出不等式求解. 【详解】命题“，”为假命题， 则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A. 57．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】假设命题为真命题，可得实数m的取值范围是，再取补集即可得结果. 【详解】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题， 可得，且，则实数m的取值范围是， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数m的取值范围即为集合在上的补集， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 58．已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 59．已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出两命题都是真命题时的取值范围，再由两个命题中为一真一假，得真假或假真，进行求解． 【详解】若命题为真命题时，则， 若命题为真命题时，则，得或， 由两个命题中为一真一假，得真假或假真， 则，或， 得或， 故选：C 60．已知，，. (1)若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分析命题为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案； （2）根据p是q的充分条件，得到关于m的不等式组，解可得答案. 【详解】（1）对于，解可得， 若，则， 若，有且只有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，即，无解， 若假真，即，解可得或， 综合可得：或， 即的取值范围为； （2）若是的充分不必要条件，则有，解可得， 即的取值范围为. 61．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. $