专题01 集合与常用逻辑用语（8知识&10大题型&分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统归纳集合与常用逻辑用语的核心考点、复习目标及考情规律，分知识点梳理概念、关系及运算，构建清晰知识脉络，突出子集个数计算、命题否定等重难点内在联系。 讲义亮点在于题型分类与解题技巧指导，如集合求参问题采用数轴分析连续数集、方程法处理离散集合，培养数学思维与运算能力。典例与变式分层设计，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力学生自主复习与教师精准教学。

专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的概念与表示 能准确判断集合的类型（数集、点集等）；熟练用列举法、描述法表示集合 基础考点，常出现在选择题，填空题 元素的确定性、互异性、无序性 能依据 “三性”判断元素是否属于集合； 熟练利用互异性求解集合中参数的值。 重点考点，常出现在选择题，填空题 子集、真子集与空集 掌握子集、真子集的个数计算公式； 能熟练结合空集的特殊性解决含参集合关系问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 交集、并集与补集的运算 熟练用Venn图、数轴分析集合运算；能快速计算多个集合的交、并、补结果 基础考点，常出现在选择题，填空题 充分条件、必要条件与充要条件 回顾判断两个命题间的条件关系的方法； 熟练运用集合包含关系分析充要条件。 基础考点，常出现在选择题，填空题 全称量词命题与存在量词命题 回顾识别命题的量词类型的方法；能熟练判断两类命题的真假 基础考点，常出现在选择题，填空题 命题的否定及应用 能准确写出全称与存在量词命题的否定；熟练利用命题的否定解决参数范围问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 集合的有关概念 （1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性. （2）集合与元素的关系用符号和表示. （3）常用数集的表示符号： （4）常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. （5）集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作 知识点02 集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“”内表示集合的方法。元素间用分隔号“”隔开，不重复，无顺序； （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“”，x为该集合的代表元素，是元素具有的性质 （3）venn图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线的内部来表示集合。 知识点03 元素与集合间的关系 （1）集合中元素的三大性质：①确定性；②互异性；③无序性。 （2）元素与集合的关系： ①属于：如果是集合的元素，记作，读作“属于集合”。 ②不属于：如果不是集合的元素，记作，读作“不属于集合” 知识点04 集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2）真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 注意子集个数判断：若集合中有个元素，则的子集个数有个，非空子集有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个 （3）相等集合：若，，则 （4）我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. （5） 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 知识点05集合的基本运算 1.交集的概念及其运算 （1）定义：一般地,对于给定的集合与集合,由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合,称为集合与集合的交集,记作.读作“”.即 （2）例如：设集合 ={2,4,6}, 集合 ={0,1,2},则． 2.并集的概念及其运算 （1）定义：一般地,对于给定的集合与集合,由集合与集合的所有元素组成的集合称为集合与集合的并集,记作.读作“并”.即 （2）例如：设集合 ={1,3,5,7}, 集合 ={0,2,3,4,6},则 3.补集的概念及其运算 （1）定义：一般地，如果集合A是全集的一个子集，则由集合中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合在全集U中的补集，记作，即 （2）例如：设全集，集合,则 4.集合的基本运算相关结论 注1：德摩根公式 注2：容斥定理之集合中元素个数 知识点06 充分条件、必要条件与充要条件 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的充分条件 p⇒q p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 注意：箭头指向必要条件； 2.充分条件、必要条件与集合的关系（小范围 ⇒ 大范围） 设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件；q是p的必要条件 B⊆A q是p的充分条件；p是q的必要条件 A＝B p是q的充要条件 知识点07 全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词及全称命题 ①全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. ②含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． （2）存在量词及特称命题 ①存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 ②含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点08 命题的否定 全称量词命题：，，否定为：， 存在量词命题：，，否定为：， 注1：符号“”表示“的反面 ” 注2：全称量词命题的否定是存在量词命题 注3：若原命题为真命题，则它的否定为假命题 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接对照法：如果集合里的元素是直接列出来的（比如{1,2,3}这种），想判断某个元素在不在这个集合里，直接看它有没有“出现在列表里”就行。 （2）特征匹配法：要是集合没直接写元素（比如用条件描述的，像“所有大于2的数”），先搞清楚这个集合对元素的“要求”（比如“大于2”），再看要判断的元素是否符合这个要求。 易错提醒：别忘了集合里的元素得“互不重复”，遇到带参数的集合时，判断完元素归属后，要检查集合里的元素是不是都不一样（互异性） 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·月考）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①；②；③若，则；④若且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·月考）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型二 集合间基本关系求子集和真子集个数 解｜题｜技｜巧 （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即 易错提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，不能忽略空集 【典例1】设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式1】集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，，，则所有满足上述条件的集合为 题型三 集合间基本关系求参 解｜题｜技｜巧 （1）连续数集：画数轴“比大小”如果集合是连续的数，直接画个数轴把集合对应的范围标上去，看范围的包含关系就行。注意：端点处是“实心点”（包含这个数）还是“空心点”（不包含）别搞混。 （2）不连续数集：按包含关系 “列方程”要是集合是分散的数（比如 {1,3,5} 这种），根据“谁包含谁”的关系，把集合里的元素对应起来列方程。务必记得分情况讨论（比如元素可能对应不同的项） 易错提醒 千万别忘“空集”这个特殊情况！如果题目说“小集合包含于大集合”，小集合有可能是空集，这时候得单独验证 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 【变式1】集合，，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为集合，集合，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 题型四 集合间的基本运算 解｜题｜技｜巧 （1）交、并、补运算（通用思路） ①交集（找“重叠”）：把两个集合的公共元素挑出来，直接列或通过条件筛选 ②并集（凑“全家”）：把两个集合的所有元素合到一起，重复的只留一个 ③补集（找“剩下的”）：先明确“全集范围”，再去掉目标集合的元素，剩下的就是补集 （2） 数集运算：数轴辅助更清晰 如果是连续数集（比如区间），画数轴标范围： ①交集→找数轴上重叠的区间；②并集→把所有区间连起来；③补集→去掉目标区间后剩下的部分 （3） 离散集合运算：列举法+对应验证 如果是分散元素，直接把元素列出来，对照着找公共/合并/剩余元素，注意别漏元素。 易错提醒：计算前先明确集合的“元素类型”（是数、点还是其他），避免运算时混淆；补集一定要先确认“全集是什么”，别默认全集是实数集 【典例1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型五 集合运算求参数范围 解｜题｜技｜巧 （1） 先明确运算类型，转化为“范围关系” 不管是交集、并集还是补集的条件，先把集合运算的要求，翻译成集合之间的包含/交并关系 （2） 分集合类型处理 ①连续数集（区间）：画数轴标范围 把已知集合和含参数的集合都标在数轴上，根据运算要求确定参数对应的区间边界，注意端点的虚实（是否包含）。 ②离散集合（列举型）：分类列方程/不等式 把含参数的集合元素列出来，根据运算的元素要求（比如交集的公共元素、并集的覆盖元素），分情况讨论参数的可能值，最后验证集合元素的互异性。 易错提醒：不要漏了“含参数的集合是空集”的情况，空集是任何集合的子集。求出参数范围后，代入原集合验证，确保满足运算条件。 【典例1】已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏淮安·月考）集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 题型六 Venn图及容斥原理的应用 解｜题｜技｜巧 （1） Venn图：画图“填区域” ①先画2个/3个相交的圈（代表不同集合），圈外是全集。 ②从“最重叠的区域”开始填数（比如同时属于A、B、C的元素数），再填“只属于其中两个集合”的区域，最后填“只属于单个集合”的区域。 ③需求（比如A的元素数、A∩B的元素数）直接看对应区域的数字之和。 （2） 容斥原理：公式“套条件” ①两集合容斥： ②三集合容斥： （总元素数=A+B+C-两两重叠的数+三个都重叠的数），遇到“至少/至多”类问题，结合Venn图区域和容斥公式列方程。 易错提醒：用Venn图时，别漏“不属于任何集合”的元素（圈外区域）；容斥原理计算时，注意“重叠区域的重复计算”，避免多减或少加。 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·月考）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ） A．15 B．18 C．21 D．24 【变式3】某高中举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 题型七 充分、必要、充要条件的判断 解｜题｜技｜巧 （1） 定义法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2） 集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 易错提醒：区分“谁是谁的条件”：题目中“p是q的条件”和“q是p的条件”结论相反，需先锁定条件和结论的对应关系；注意特殊情况：涉及“存在性”“恒成立”的命题，要结合具体范围验证推导关系，避免遗漏边界值 【典例1】已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知函数，设甲：函数是偶函数，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（多选）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 题型八 由充分条件与必要条件求解参数 解｜题｜技｜巧 核心解题思路：先将充分/必要条件转化为集合间的包含关系，再结合集合的范围（或元素特征）列不等式（组）求解参数，核心逻辑是“条件对应集合，关系对应包含” （1） 明确条件与集合的对应关系 设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则：若p是q的充分不必要条件，等价于；若p是q的必要不充分条件，等价于；若p是q的充要条件，等价于A=B；若p是q的既不充分也不必要条件，等价于A与B无包含关系。 （2） 分类型求解参数 数集型（区间类条件）步骤：①求出条件p、q对应的数集A、B（含参数的集合需保留参数）；②根据条件与集合的对应关系，在数轴上标出集合范围；③结合区间端点的虚实（是否包含）列不等式（组）；④验证端点值是否满足“真包含”（充分不必要/必要不充分）的要求，避免取到等号后集合相等。 （3） 方程/不等式型（含参数的约束条件）步骤：①化简条件p、q，明确其成立的等价条件；②将充分/必要关系转化为方程/不等式的“解集包含关系”；③对参数进行分类讨论（尤其是含二次方程时，需讨论二次项系数是否为0）；④代入验证，确保参数值满足原条件的逻辑关系。 易错提醒 1.遗漏空集：当含参数的集合可能为空集时，需单独讨论空集的情况（空集是任何集合的子集）。 2.端点值验证：列不等式时容易忽略“真包含”与“包含”的区别，求出参数范围后需代入验证端点，确保不出现集合相等的情况。 3.条件与结论的顺序：务必区分“p是q的条件”和“q是p的条件”，两者对应的集合包含关系相反，避免方向搞反 【典例1】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式2】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 题型九 含有一个量词的命题的否定 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 题型十 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 解｜题｜技｜巧 （1） 判断命题类型，转化真假性 若原命题是存在命题（∃）且为假：转化为其否定（全称命题∀）为真； 若原命题是全称命题（∀）且为假：转化为其否定（存在命题∃）为真； 若原命题是存在命题（∃）且为真：直接按“能成立”分析； 若原命题是全称命题（∀）且为真：直接按“恒成立”分析。 （2） 将命题转化为不等式关系 若转化为全称命题（∀）为真：等价于“不等式在定义域内恒成立”，整理为“参数<函数最小值”或“参数>函数最大值”； 若转化为存在命题（∃）为真：等价于“不等式在定义域内能成立”，整理为“参数<函数最大值”或“参数>函数最小值”。 （3） 分析函数在定义域内的最值 确定函数的单调性求出函数在定义域内的最大值/最小值 （4） 列不等式求参数范围 根据步骤2的关系，结合函数最值，列出关于参数的不等式，解出参数范围。 （5）验证（可选）：代入端点值验证，确保命题真假符合题意。 【典例1】若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 4．（24-25高一上·江苏·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一上·江苏·期末）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 7．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏泰州·期末）命题“，使得”的否定是 ． 10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）定义集合，若集合，，则集合中包含 个元素． 11．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 4．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则 . 7．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的概念与表示 能准确判断集合的类型（数集、点集等）；熟练用列举法、描述法表示集合 基础考点，常出现在选择题，填空题 元素的确定性、互异性、无序性 能依据 “三性”判断元素是否属于集合； 熟练利用互异性求解集合中参数的值。 重点考点，常出现在选择题，填空题 子集、真子集与空集 掌握子集、真子集的个数计算公式； 能熟练结合空集的特殊性解决含参集合关系问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 交集、并集与补集的运算 熟练用Venn图、数轴分析集合运算；能快速计算多个集合的交、并、补结果 基础考点，常出现在选择题，填空题 充分条件、必要条件与充要条件 回顾判断两个命题间的条件关系的方法； 熟练运用集合包含关系分析充要条件。 基础考点，常出现在选择题，填空题 全称量词命题与存在量词命题 回顾识别命题的量词类型的方法；能熟练判断两类命题的真假 基础考点，常出现在选择题，填空题 命题的否定及应用 能准确写出全称与存在量词命题的否定；熟练利用命题的否定解决参数范围问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 集合的有关概念 （1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性. （2）集合与元素的关系用符号和表示. （3）常用数集的表示符号： （4）常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. （5）集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作 知识点02 集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“”内表示集合的方法。元素间用分隔号“”隔开，不重复，无顺序； （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“”，x为该集合的代表元素，是元素具有的性质 （3）venn图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线的内部来表示集合。 知识点03 元素与集合间的关系 （1）集合中元素的三大性质：①确定性；②互异性；③无序性。 （2）元素与集合的关系： ①属于：如果是集合的元素，记作，读作“属于集合”。 ②不属于：如果不是集合的元素，记作，读作“不属于集合” 知识点04 集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，则是的子集；记作，读作包含于 （2）真子集：对于两个集合、，若集合中的任意一个元素都在集合中，集合中至少有一个元素不在集合中，则是的真子集；记作，读作真包含于 注意子集个数判断：若集合中有个元素，则的子集个数有个，非空子集有个，真子集个数有个，非空真子集个数有个 （3）相等集合：若，，则 （4）我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. （5） 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 知识点05集合的基本运算 1.交集的概念及其运算 （1）定义：一般地,对于给定的集合与集合,由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合,称为集合与集合的交集,记作.读作“”.即 （2）例如：设集合 ={2,4,6}, 集合 ={0,1,2},则． 2.并集的概念及其运算 （1）定义：一般地,对于给定的集合与集合,由集合与集合的所有元素组成的集合称为集合与集合的并集,记作.读作“并”.即 （2）例如：设集合 ={1,3,5,7}, 集合 ={0,2,3,4,6},则 3.补集的概念及其运算 （1）定义：一般地，如果集合A是全集的一个子集，则由集合中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合在全集U中的补集，记作，即 （2）例如：设全集，集合,则 4.集合的基本运算相关结论 注1：德摩根公式 注2：容斥定理之集合中元素个数 知识点06 充分条件、必要条件与充要条件 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的充分条件 p⇒q p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 注意：箭头指向必要条件； 2.充分条件、必要条件与集合的关系（小范围 ⇒ 大范围） 设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件；q是p的必要条件 B⊆A q是p的充分条件；p是q的必要条件 A＝B p是q的充要条件 知识点07 全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词及全称命题 ①全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. ②含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． （2）存在量词及特称命题 ①存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 ②含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点08 命题的否定 全称量词命题：，，否定为：， 存在量词命题：，，否定为：， 注1：符号“”表示“的反面 ” 注2：全称量词命题的否定是存在量词命题 注3：若原命题为真命题，则它的否定为假命题 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接对照法：如果集合里的元素是直接列出来的（比如{1,2,3}这种），想判断某个元素在不在这个集合里，直接看它有没有“出现在列表里”就行。 （2）特征匹配法：要是集合没直接写元素（比如用条件描述的，像“所有大于2的数”），先搞清楚这个集合对元素的“要求”（比如“大于2”），再看要判断的元素是否符合这个要求。 易错提醒：别忘了集合里的元素得“互不重复”，遇到带参数的集合时，判断完元素归属后，要检查集合里的元素是不是都不一样（互异性） 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·月考）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断元素是否满足集合的条件，再确定元素和集合的从属关系. 【详解】集合表示不大于的数构成的集合，而，元素、. 故选：. 【变式1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ） ①；②；③若，则；④若且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，以及实数的运算法则，逐一判断各命题的正误，求出结果. 【详解】①：，所以①正确； ②：当时，，满足，所以②正确； ③若，设，则， 因为，所以，则，所以③正确； ④：设，则，所以④错误； 故选：C. 【变式2】已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·月考）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过对进行赋值及利用两个性质可判断各个选项. 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 题型二 集合间基本关系求子集和真子集个数 解｜题｜技｜巧 （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即 易错提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，不能忽略空集 【典例1】设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【分析】先化简用列举法表示集合，据集合中元素的个数得真子集个数. 【详解】由得，解得， 又，， 由集合中共有个元素，故的真子集个数为. 故选：D. 【变式1】集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用根式与对数式有意义，结合真子集的定义即可求解. 【详解】题意可知解得，所以， 所以集合的真子集个数为. 故选：A. 【变式2】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先化简集合A、B，再利用子集的定义分析计算即可得解. 【详解】解，得或，则， 解，得，则， 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1，2，且可能含有元素0，3， 则原题即求集合的子集个数，即有个. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，，，，则所有满足上述条件的集合为 【答案】，，， 【分析】根据题意可知，进而求出集合. 【详解】因为，，则， 又由，，可知，即， 所以或或或. 故答案为：，，， 题型三 集合间基本关系求参 解｜题｜技｜巧 （1）连续数集：画数轴“比大小”如果集合是连续的数，直接画个数轴把集合对应的范围标上去，看范围的包含关系就行。注意：端点处是“实心点”（包含这个数）还是“空心点”（不包含）别搞混。 （2）不连续数集：按包含关系 “列方程”要是集合是分散的数（比如 {1,3,5} 这种），根据“谁包含谁”的关系，把集合里的元素对应起来列方程。务必记得分情况讨论（比如元素可能对应不同的项） 易错提醒 千万别忘“空集”这个特殊情况！如果题目说“小集合包含于大集合”，小集合有可能是空集，这时候得单独验证 【典例1】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知集合，，若，则等于（   ） A．2 B．1或2 C．1或2或 D． 【答案】C 【分析】由可以得到中的元素都在集合中，从而求出实数a的值． 【详解】解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 【变式1】集合，，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论是否为空集，参照子集问题模板求解即可. 【详解】因为，，且， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得，要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给定义进行讨论，结合子集、交集进行求解即可. 【详解】当时，，，构成“鲸吞”； 当时，，则这两个集合无法构成“鲸吞”，只能构成 “蚕食”， 当时，， 当时，， 综上：a的取值集合是. 故选：C 【变式3】已知函数的定义域为集合，集合，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再求出即可； （2）分和两种情况，得到关于a的不等式，再求出的取值范围. 【详解】（1）要使函数有意义，则， 解得， ， ，得，解得：，即, ． （2）， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，解得， 综上，的取值范围为． 题型四 集合间的基本运算 解｜题｜技｜巧 （1）交、并、补运算（通用思路） ①交集（找“重叠”）：把两个集合的公共元素挑出来，直接列或通过条件筛选 ②并集（凑“全家”）：把两个集合的所有元素合到一起，重复的只留一个 ③补集（找“剩下的”）：先明确“全集范围”，再去掉目标集合的元素，剩下的就是补集 （2） 数集运算：数轴辅助更清晰 如果是连续数集（比如区间），画数轴标范围： ①交集→找数轴上重叠的区间；②并集→把所有区间连起来；③补集→去掉目标区间后剩下的部分 （3） 离散集合运算：列举法+对应验证 如果是分散元素，直接把元素列出来，对照着找公共/合并/剩余元素，注意别漏元素。 易错提醒：计算前先明确集合的“元素类型”（是数、点还是其他），避免运算时混淆；补集一定要先确认“全集是什么”，别默认全集是实数集 【典例1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再利用交集定义求解即可. 【详解】由可得，即，即得， 则. 故选：B. 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数函数和对数函数的性质求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 集合， 则， 所以. 故选：A． 【变式3】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，根据分式不等式的等价条件可得集合，又可得集合，然后求交集即可. 【详解】根据题意，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 题型五 集合运算求参数范围 解｜题｜技｜巧 （1） 先明确运算类型，转化为“范围关系” 不管是交集、并集还是补集的条件，先把集合运算的要求，翻译成集合之间的包含/交并关系 （2） 分集合类型处理 ①连续数集（区间）：画数轴标范围 把已知集合和含参数的集合都标在数轴上，根据运算要求确定参数对应的区间边界，注意端点的虚实（是否包含）。 ②离散集合（列举型）：分类列方程/不等式 把含参数的集合元素列出来，根据运算的元素要求（比如交集的公共元素、并集的覆盖元素），分情况讨论参数的可能值，最后验证集合元素的互异性。 易错提醒：不要漏了“含参数的集合是空集”的情况，空集是任何集合的子集。求出参数范围后，代入原集合验证，确保满足运算条件。 【典例1】已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合交集结果得到，从而分类讨论的取值即可得解. 【详解】因为，所以， 而， ， 当时，集合，满足； 当时，集合， 由，得或，解得或， 综上，实数的取值集合为. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·江苏淮安·月考）集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的性质可得，解不等式得，从而得，根据，可得，求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 【变式2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. 故选：A． 【变式3】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】5 【分析】运用集合并集的运算、集合之间的包含关系求出的值. 【详解】因为集合，， 所以且且， 由，知是的子集， 所以，故. 故答案为： 题型六 Venn图及容斥原理的应用 解｜题｜技｜巧 （1） Venn图：画图“填区域” ①先画2个/3个相交的圈（代表不同集合），圈外是全集。 ②从“最重叠的区域”开始填数（比如同时属于A、B、C的元素数），再填“只属于其中两个集合”的区域，最后填“只属于单个集合”的区域。 ③需求（比如A的元素数、A∩B的元素数）直接看对应区域的数字之和。 （2） 容斥原理：公式“套条件” ①两集合容斥： ②三集合容斥： （总元素数=A+B+C-两两重叠的数+三个都重叠的数），遇到“至少/至多”类问题，结合Venn图区域和容斥公式列方程。 易错提醒：用Venn图时，别漏“不属于任何集合”的元素（圈外区域）；容斥原理计算时，注意“重叠区域的重复计算”，避免多减或少加。 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合venn图即可求解； 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·月考）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分区域内元素且，进而求得结论． 【详解】由题可得阴影部分区域内元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 【变式2】某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】C 【分析】设出未知数，作出文氏图，得到方程，求出答案. 【详解】设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为. 作出文氏图如下： 由，解得. 所以对A，B都赞成的学生人数为21. 故选：C 【变式3】某高中举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 题型七 充分、必要、充要条件的判断 解｜题｜技｜巧 （1） 定义法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2） 集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 易错提醒：区分“谁是谁的条件”：题目中“p是q的条件”和“q是p的条件”结论相反，需先锁定条件和结论的对应关系；注意特殊情况：涉及“存在性”“恒成立”的命题，要结合具体范围验证推导关系，避免遗漏边界值 【典例1】已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】当,取,可得,充分条件不成立; ,必要条件成立; 故选：B. 【变式1】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据四种命题的基本关系，利用命题与其逆否命题的真假性可知“积跬步”一定是“至千里”的必要条件； 【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题， “故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”为真命题， 其逆否命题为“若，则”为真命题，反之不成立， 所以命题是命题的必要不充分条件， 故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件； 故选：B. 【变式2】已知函数，设甲：函数是偶函数，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由三角函数的奇偶性求得，又当时为偶函数，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】为偶函数，则，解得， 当时，；又当时，为偶函数， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3】（多选）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 题型八 由充分条件与必要条件求解参数 解｜题｜技｜巧 核心解题思路：先将充分/必要条件转化为集合间的包含关系，再结合集合的范围（或元素特征）列不等式（组）求解参数，核心逻辑是“条件对应集合，关系对应包含” （1） 明确条件与集合的对应关系 设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则：若p是q的充分不必要条件，等价于；若p是q的必要不充分条件，等价于；若p是q的充要条件，等价于A=B；若p是q的既不充分也不必要条件，等价于A与B无包含关系。 （2） 分类型求解参数 数集型（区间类条件）步骤：①求出条件p、q对应的数集A、B（含参数的集合需保留参数）；②根据条件与集合的对应关系，在数轴上标出集合范围；③结合区间端点的虚实（是否包含）列不等式（组）；④验证端点值是否满足“真包含”（充分不必要/必要不充分）的要求，避免取到等号后集合相等。 （3） 方程/不等式型（含参数的约束条件）步骤：①化简条件p、q，明确其成立的等价条件；②将充分/必要关系转化为方程/不等式的“解集包含关系”；③对参数进行分类讨论（尤其是含二次方程时，需讨论二次项系数是否为0）；④代入验证，确保参数值满足原条件的逻辑关系。 易错提醒 1.遗漏空集：当含参数的集合可能为空集时，需单独讨论空集的情况（空集是任何集合的子集）。 2.端点值验证：列不等式时容易忽略“真包含”与“包含”的区别，求出参数范围后需代入验证端点，确保不出现集合相等的情况。 3.条件与结论的顺序：务必区分“p是q的条件”和“q是p的条件”，两者对应的集合包含关系相反，避免方向搞反 【典例1】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【变式1】已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 【变式2】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集，可得， 故选：D. 【变式3】已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 题型九 含有一个量词的命题的否定 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 【变式1】命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定即可得结论. 【详解】“”的否定是：， 故选：B. 【变式2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称量词命题的否定形式为存在量词命题可求. 【详解】 命题“”的否定是“”. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】因为命题“”属于全称量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：D. 题型十 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 解｜题｜技｜巧 （1） 判断命题类型，转化真假性 若原命题是存在命题（∃）且为假：转化为其否定（全称命题∀）为真； 若原命题是全称命题（∀）且为假：转化为其否定（存在命题∃）为真； 若原命题是存在命题（∃）且为真：直接按“能成立”分析； 若原命题是全称命题（∀）且为真：直接按“恒成立”分析。 （2） 将命题转化为不等式关系 若转化为全称命题（∀）为真：等价于“不等式在定义域内恒成立”，整理为“参数<函数最小值”或“参数>函数最大值”； 若转化为存在命题（∃）为真：等价于“不等式在定义域内能成立”，整理为“参数<函数最大值”或“参数>函数最小值”。 （3） 分析函数在定义域内的最值 确定函数的单调性求出函数在定义域内的最大值/最小值 （4） 列不等式求参数范围 根据步骤2的关系，结合函数最值，列出关于参数的不等式，解出参数范围。 （5）验证（可选）：代入端点值验证，确保命题真假符合题意。 【典例1】若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出范围，再求其补集即可. 【详解】由命题“为真，得，解得， 因此命题“”为假命题，则， 所以实数的取值范围是， 故选：D 【变式1】若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】因为“，使得”是假命题， 所以“，使得”是真命题， 所以，解得， 故答案为: . 【变式3】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 1．（24-25高一上·江苏·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义知. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏·期末）若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏·期末）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 7．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 8．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可. 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 9．（24-25高一上·江苏泰州·期末）命题“，使得”的否定是 ． 【答案】，使得. 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题“，使得”的否定是“，使得”. 故答案为：，使得. 10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）定义集合，若集合，，则集合中包含 个元素． 【答案】3 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 11．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，根据并集运算求解； （2）由题可得，分和讨论求解. 【详解】（1）当时，，又， . （2）由，得. 当时，即，所以； 当时，则，解得； 综上，实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合. (1)求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合； （2）由必要不充分条件有，进而分情况求解参数范围. 【详解】（1）由题意知：集合， 集合或， 所以或，； （2）由“是的必要不充分条件”知：， 当时，，即，符合题意， 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合venn图即可求解； 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 2．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 4．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，若，则m的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先求出集合A中元素，当明显符合，当时，根据可得m的值. 【详解】， ， 当时，，符合； 当时，， 或， 或. 故选：ABC. 5．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则 . 【答案】27 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 7．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 8．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【详解】（1）由、、，故； 由，，故； （2）因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $