第五章　四边形 课件 2026年中考数学一轮专题复习（安徽）

该初中数学课件聚焦“多边形与平行四边形”中考核心考点，覆盖多边形内角和计算、平行四边形性质与判定等考查要求。对接中考说明分析考点权重，如性质与判定占比超60%，并按选择、填空、解答题归纳常考题型，融入2025年四川、湖北等地中考真题，备考针对性强。 课件亮点在于“真题训练+素养提升”模式，通过几何直观分析折叠问题图形关系，用推理意识推导平行四边形判定思路。典型题例如面积关系结论推导、中点辅助线应用，助学生掌握解题技巧，教师可依此精准指导复习，提升学生中考得分率。

第五章　四边形 5.4　正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 1.下列命题是假命题的是( ) A.对角线相等的菱形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( ) A.15° B.30° C.35° D.45° D 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 3.正方形ABCO与Rt△DEO的位置如图所示，已知∠AOD＋∠COE＝α，则∠DOC的度数为( ) A.90°－α B.90°＋α C.90°－ D.90°＋ C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 4.[2025·陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为( ) A.10 B.8 C.5 D.4 C 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 5.[2025·合肥包河区二模]如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点B作BF⊥BD，且BF＝DE，连接AE，FE.若AE＝2，则EF长为( ) A. B.2 C.3 D. B 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 6.[2025·北京]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为点F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则 △ABF的面积为　 .   6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 7.[2025·长沙]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； 解：(1)在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝DF，∴AE＝CF. 又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- (2)连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长. (2)过点E作EH⊥CD于点H，∴∠EHF＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，BC＝12， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝12. 易证四边形EBCH是矩形， ∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝DF＝5， ∴HF＝12－5－5＝2， 在Rt△EFH中，由勾股定理得EF＝＝2. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 8.[2024·亳州二模]正方形ABCD的边长为，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为( ) A. B. C.2－ D. D 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 【解析】如图，连接EF.∵正方形ABCD的边长为，∴AB＝BC＝CD＝AD＝.∵CE＝1，∴DE＝－1，tan ∠EBC＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝90°－∠EBC＝60°.∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°.在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD－AF＝－1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×(－1)＝.∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 9.[2025·阜阳太和三模]如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为边AB，BC上靠近点B，C的三等分点，连接AF，DE交于点G.若AG＝，则EG·GD＝( ) A. B.2 C. D.3 D 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 10. [2024·合肥蜀山区二模]如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，AB上，且AE⊥DF，G，H分别为线段AE，DF的中点，连接GH.若GH＝2，则BE的长为( ) A.2 B. C. D. A 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 【解析】解法1：如图1，连接AH并延长，交CD于点M，连接EM，易证△ABE≌△DAF≌△ADM，△AHF≌△MHD，∴BE＝AF＝DM，AH＝MH，∴CE＝CM.又∵∠C＝90°，∴△CEM为等腰直角三角形.∵G，H分别为AE，AM的中点，∴GH是△AEM的中位线，∴EM＝2GH＝4， ∴CE＝CM＝4， ∴BE＝BC－CE＝6－4＝2. 图1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 解法2：如图2，分别取AB，AD的中点M，N，连接MG，NH并延长交于点P.易证△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，易得MP＝NP＝3，MG＝NH＝，MP⊥NP，∴GP＝HP，∴△HGP为等腰直角三角形.∵GH＝2，∴GP＝2，∴MG＝1，∴BE＝2MG＝2. 图2 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 11. 如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，DF.若AD＝6，则△BDF的面积为　 　.  　18　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 【解析】设BF与CD交于点H，CE＝EF＝a，∵CD∥EF，∴△BCH∽△BEF，∴，∴CH＝，∴DH＝6－，∴S△BDF＝DH·(BC＋CE)＝×(6＋a)＝18. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 12.[2025·甘肃]已知四边形ABCD是正方形，E是边AD上(点D除外)一动点，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上. (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由； 图1 解：(1)BF＝DG.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∵点E与点A重合，△EFG是直角三角形，EG＝EF， ∴∠FAG＝90°＝∠BAD， ∴∠DAG＝90°－∠DAF＝∠BAF. 又∵AD＝AB，AG＝AF， ∴△ADG≌ABF(SAS)，∴BF＝DG. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由； (2)AE＝DG.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°. ∵∠PAE＝∠EDG＝90°，∴∠P＋∠AEP＝90°. ∵∠FEG＝∠DEF＋∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF，∴∠P＝∠DEG. ∵EG＝EF，EF＝EP，∴EG＝EP， ∴△PAE≌△EDG(AAS)，∴AE＝DG. 图2 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.4　正方形 -- $第五章　四边形 5.2　矩　形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 1.[2025·四川泸州]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- A.30° B.45° C.60° D.120° 2.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为( ) C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 3.如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，则∠AEO的度数为( ) A.15° B.25° C.30° D.35° C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，AE＝3CE，则DE的长为( ) A. B.2 C.2 D.2 D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 5.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　.  　20　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，ED，DF，FB.若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是　 .(填写一个即可)  OE＝BD(答案不唯一)　 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P为边AB上一点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为  　.  7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 8.[2025·北京]如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为点F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- (1)求证：四边形DFCG是矩形； 解：(1)∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC. ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°， ∴四边形DFCG是矩形. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- (2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长. (2)∵DF⊥BC，∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3. ∵FC＝DG＝5，∴BC＝BF＋FC＝8. 由(1)可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DE＝BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°， ∴EG＝DG－DE＝1，∴CE＝. ∵E为AC的中点，∴AC＝2CE＝2. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 9.[2025·合肥庐江二模]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，BC＝8，E为BC上一点，连接DE，F为DE的中点，若OF＝CF，则BE的长为( ) A. B.5 C. D.6 B 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 10.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，AE＝EF，AE⊥EF，若BE＝3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为　 　.  　40　 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- (2)点D到点O的最大距离是 　.  11.如图，OM⊥ON，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2.在运动过程中： (1)Rt△AOB斜边中线的长度是否发生变化?　 　.(填“是”或“否”)  　否　 ＋3 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 【解析】设斜边AB的中点为Q，连接OQ.(1)在运动过程中，斜边中线OQ＝AB.∵AB长度不变，∴OQ长度不变.(2)连接DQ，OD.在矩形的运动过程中，有DQ＋OQ≥OD，当D，Q，O三点共线时，则有DQ＋OQ＝OD，此时OD取得最大值.∵Q为AB的中点，∴AQ＝AB＝3.又∵AD＝BC＝2，∴DQ＝，∴OD＝DQ＋OQ＝＋3. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 12.[2025·天津]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在边BC上，且EC＝2BE. (1)线段AE的长为  　；  (1)∵BC＝3，EC＝2BE，∴BE＝BC＝1.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°，∴AE＝. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- (2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN＝75°，则线段MN的长为  . (2)过点M作MH⊥EF于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵F为CD的中点，∴DF＝CF＝CD＝1，∴CF＝BE.又∵CE＝2BE＝2＝AB，∴△ABE≌△ECF(SAS)，∴EF＝EA，∠BAE＝∠CEF，∴∠BEA＋∠CEF＝∠BEA＋∠BAE＝90°.∴∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形.∵MH⊥EF，∴MH∥AE.∵M为AF的中点，∴MH＝AE＝，易得∠MNH＝60°，∴MN＝. 　 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 13.[2025·黄山一模]如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F.过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M.过点G作GN⊥DF于点N. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- (1)求证：四边形NEMG为矩形； 解：(1)∵DE⊥AC，GN⊥DF，BG∥DF， ∴∠GNE＝∠MEN＝∠EMG＝90°， ∴四边形NEMG为矩形. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 5.2　矩　形 -- $第五章　四边形 5.1　多边形与平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 1.[2025·四川遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 2.[2025·湖北]如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(－1，2)，则点C的坐标是( ) A.(2，－1) B.(－2，1) C.(1，－2) D.(－1，－2) C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 3.[2025·四川眉山]如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为( ) A.216° B.180° C.144° D.120° C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 4.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在DE的延长线上.若添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( ) A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCF C.AC＝CF D.AD＝CF B 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 5.[2025·新疆生产建设兵团]如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E.若AD＝2，则BE＝　 　.  　2　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 6.如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为　 　.  　12　 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 7.如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2. (1)求证：四边形BCED是平行四边形； 解：(1)∵∠A＝∠F，∴DE∥BC. ∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMN， ∴∠DMN＝∠2，∴BD∥CE， ∴四边形BCED是平行四边形. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- (2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长. (2)由(1)得四边形BCED是平行四边形， ∴BC＝DE＝2. ∵DB∥CE，BN平分∠DBC， ∴∠DBN＝∠CNB，∠DBN＝∠CBN， ∴∠CNB＝∠CBN， ∴CN＝CB＝2. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- A.S1＋S2＞ B.S1＋S2＜ C.S1＋S2＝ D.S1＋S2＝S 8.如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( ) C 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- A.1 B. C. D. 9.如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB'C，B'C交AD于点E，连接B'D.若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B'D的长是 ( ) B 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 10.如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是  　.  10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 11.[2025·山东]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.P为边AC上异于点A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是　 　.  　4.8　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 【解析】设PQ交AB于点M，过点M作MN⊥AP于点N，∴∠ANM＝∠ABC＝90°.∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴.∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10.∵四边形PAQB是平行四边形，∴AM＝AB＝3，PQ＝2PM，∴MN＝，∴MN＝2.4.∵PM≥MN，∴PQ≥2MN＝4.8，∴PQ的最小值是4.8. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 12.如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； 解：(1)∵∠BCA＝∠CAD，∠AOD＝∠COB，AO＝CO， ∴△AOD≌△COB(ASA)，∴BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形. 图1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- (2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长. (2)连接DF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD. ∵BD＝2AB，∴AB＝OD＝CD. ∵F是OC的中点， ∴OF＝4，DF⊥OC，即∠AFD＝90°. 图2 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.1　多边形与平行四边形 -- $第五章　四边形 5.3　菱　形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 1.如图，已知PQ∥MN，菱形ABCD的顶点A，C分别在PQ，MN上，∠BAD＝60°.若∠PAB＝α，∠BCM＝β，则β＝( ) A.120°－α B.30°＋3α C.60°＋α D.90°＋α A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 2.如图，把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交得角α，则重叠部分的周长为( ) A.12tanα B.12sinα C. D. C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 3.[2025·四川内江]按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( ) A.64° B.66° C.68° D.70° D 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 4.[2025·宣城宁国二模]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠CBD＝30°，过点O作OE⊥BC于点E.若OE＝，则菱形ABCD的面积为( ) A.4 B.4 C.8 D.8 D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥CD，交AC于点E.若AC＝6，tan ∠ACB＝，则DE的长是  .  　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 6.[2025·贵州]如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为点E.延长BC至点F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- (1)求证：▱ABCD是菱形； 解：(1)∵E为对角线AC上的中点，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC，∴AB＝BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- (2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积. (2)∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB. ∵CF＝CE，∴∠CEF＝∠EFB， ∴∠BCE＝∠CEF＋∠EFB＝2∠EFB＝2∠EBF. ∵∠BEC＝90°，∴∠EBF＝30°，∠BCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠DCF＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠BCE＝∠DCF. ∵BC＝CD，CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)， ∴∠DFC＝∠BEC＝90°. ∵CF＝CE＝4，∴DF＝CF＝4， ∴S△DCF＝DF·CF＝×4×4＝8. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 7.如图，在菱形ABCD中，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AC＝4，CE＝5，则CD的长为( ) A.5 B.6 C.5 D.6 B 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 8.[2025·四川德阳]如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点.若BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，则GH＝( ) A.4 B.5 C.8 D.10 B 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 【解析】连接EG，HF交于点O.∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC.∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，∴四边形EFGH是菱形，∴EG⊥HF，OH＝HF＝3，OG＝EG，∴∠HOG＝90°.∵四边形EFGH的面积为24，HF＝6，∴24＝×6×EG，∴EG＝8，∴OG＝EG＝4，在Rt△HOG中，GH＝＝5. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 9.[2025·四川凉山州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G.若AC＝12，BD＝16，则FG的长为　 　.  　5　 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 10.[2025·上海]已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连接EF，AF，BE.若四边形ABEF是菱形，则的值为  .  　 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 【解析】如图，∵点E关于直线AD的对称点为F，∴DF＝DE，设DF＝DE＝m，则EF＝DE＋DF＝2m.∵四边形ABEF是菱形，∴AB＝AF＝EF＝2m.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，∴AD＝m，∴. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 11.[2025·内蒙古]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF.若BF＝3，则EF的长为  　.  11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 【解析】连接AC交BD于点O，过点E作EG⊥BD于点G.∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4，∴AO＝＝4.∵E是AD的中点，EG⊥BD，∴EG∥AC，∴EG＝AO＝2，DG＝DO＝4.∵BF＝3，∴FG＝BD－DG－BF＝9，∴EF＝. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 12.如图，在菱形ABCD中，AB＝，AC＝2，AC与BD交于点O，E为BD上一点. (1)求BD的长； 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AO⊥BD，AO＝AC＝1. ∵AB＝，∴OB＝， ∴BD＝2OB＝2. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- (2)若AE⊥AB，求证：OE＝DE； (2)∵AE⊥AB，AO⊥BE，∴∠OAE＝∠OBA， ∴△AOE∽△BOA， ∴，即，∴OE＝. ∵OD＝，∴OE＝DE. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -- 5.3　菱　形 -- $