第四章　三角形课件 2026年中考数学一轮专题复习（安徽）

该初中数学中考复习课件聚焦“线、角、相交线与平行线”中考核心考点，紧扣新课标要求，覆盖角度计算、平行线性质、命题判断等基础几何内容。通过分析近三年中考真题，明确角度计算占比30%、平行线性质应用占比40%的权重，归纳出选择填空基础题、几何推理解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”的复习模式，精选2024宁夏方位角、2025山东威海平行线角度计算等中考真题，强化几何直观与推理意识。如第8题结合平行线与垂直关系突破角度计算，第12题通过分类讨论解析线段长度易错点，帮助学生掌握逻辑推理与运算技巧。教师可依托此资料系统规划复习，助力学生高效冲刺中考。

第四章　三角形 4.5　全等三角形 小练1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 1.如图，已知△ABC≌△A'BC'，A'C'∥BC，∠C＝20°，则∠ABA'的度数是( ) A.15° B.20° C.25° D.30° B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 2.[2025·山西]如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.HL B 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 3.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( ) A.AD＝CB B.∠A＝∠C C.BD＝DB D.AB＝CD A 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 4.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A.∠A＝∠D B.∠AFB＝∠DEC C.AB＝DC D.AF＝DE D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 5.[2024·合肥瑶海区校级三模]如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE与AD相交于点F，当AB＋CE＝CD时，图中阴影部分的面积为　 　. 　24　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 6.[2025·陕西]如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC. 证明：∵DE∥AB， ∴∠BDE＝∠ABC. ∵BD＝AB，DE＝BC， ∴△BDE≌△ABC(SAS)， ∴BE＝AC. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 7.[2025·河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD； 证明：(1)∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF－∠EAF＝∠EAD－∠EAF， ∴∠BAC＝∠FAD. 又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADF， ∴△ABC≌△AFD(ASA). 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- (2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD. (2)由(1)得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF. ∵BE＝FE，∴AC⊥BF，即AC⊥BD. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- A.α＝β B.α＝2β C.α＋β＝90° D.α＋β＝180° 8.如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β.当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为( ) B 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 【解析】∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α.∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°－∠O＝180°－90°＝90°.在△ABC中，∠ABC＝(180°－α)，∴β＋(180°－α)＝90°，整理得α＝2β. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 9. [2024·四川遂宁]如图1和图2，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( ) 图1 图2 图3 D A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 【解析】根据题意，△ABD与△ACD，△ABD与△ABE，△ACE与△ACD，△ACE与△ABE共4对满足“伪全等三角形”的定义. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- (1)小虎同学的证明过程中，第　 　步出现错误； 10.[2023·江苏南通]如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2. 小虎同学的证明过程如下所示. 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°. ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C.　第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO，　第二步 ∴∠1＝∠2.　第三步 　二　 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- (2)请写出正确的证明过程. 解：(2)∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， ∵∠DOB＝∠EOC，OB＝OC， ∴△DOB≌△EOC(AAS)，∴OD＝OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴∠1＝∠2. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 11.[2025·合肥新站区二模]如图，已知五边形ABCDE，AD∥BC，CD＝AD，延长AB，DC交于点F，∠F＝∠DAE，AB＝AE. (1)求证：CA平分∠BCD； 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB. ∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 4.5　全等三角形 小练1 -- $第四章　三角形 4.5　全等三角形 小练2 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 1. [2025·四川自贡]如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF.求证：AE＝BF. 证明：∵∠ABE＝∠BAF，∴CB＝CA. ∵CE＝CF，∴CB＋CE＝CA＋CF，即BE＝AF. 在△ABE和△BAF中， ∴△ABE≌△BAF(SAS)，∴AE＝BF. (亦可证△ACE≌△BCF得AE＝BF) 1 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 2.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F为EC的中点，BC，DF的延长线交于点G. (1)求证：△DEF≌△GCF； 解：(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，F为EC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，EF＝FC， ∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠G. 在△DEF和△GCF中， ∴△DEF≌△GCF(AAS). 2 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- (2)猜想线段BC与线段CG的数量关系，并证明你的结论. (2)BC＝2CG. 理由：∵DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE. 由(1)知△DEF≌△GCF，∴DE＝CG， ∴BC＝2CG. 2 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 3.[2024·四川南充]如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA； 证明：(1)∵D为BC的中点，∴BD＝CD， ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD. 在△BDE和△CDA中， ∴△BDE≌△CDA(AAS). 3 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- (2)已知AD⊥BC，求证：BA＝BE. (2)∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA＝AC， 由(1)可知△BDE≌△CDA，∴BE＝AC， ∴BA＝BE. 3 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 4.[2023·江苏苏州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)求证：△ADE≌△ADF； 解：(1)易知∠EAD＝∠FAD，AE＝AF. 在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF(SAS). 4 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- (2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数. (2)∵∠BAC＝80°，∴∠EAD＝∠BAC＝40°. ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝×(180°－40°)＝70°. ∵AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°. 4 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 5.如图，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M.探究BF，CF与AM之间的数量关系，并证明. 解：BF＝CF＋2AM. 证明：∵△ABC和△AEF都是等腰直角三角形， ∠CAB＝∠EAF＝90°，∴AB＝AC，AE＝AF， ∴∠CAB－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，即∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF. ∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴EF＝2AM. ∵BF＝BE＋EF，∴BF＝CF＋2AM. 5 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 6. 如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.求的值. 6 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，则∠H＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC. 由旋转可知AE＝FE，∠AEF＝90°， ∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠HEF，∴△ADE≌△EHF(AAS)， ∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC， ∴DE＝CH＝HF， ∴∠HCF＝45°，∴∠G＝∠HCF＝45°， 设CH＝HF＝DE＝x，正方形ABCD的边长为y， 则CE＝y－x，CF＝x，CG＝y， ∴FG＝CG－CF＝y－x，∴. 6 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 7.在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD. 图1　　　　图2 7 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- (1)如图1，当点M，N分别在边AB，AC上，且DM＝DN时，请写出线段BM，CN，MN之间的数量关系，并说明理由； 解：(1)MN＝BM＋CN(或MN＝2BM＝2CN). 理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°. 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝DM＝2BM＝2CN＝BM＋CN. 图1　　　　 7 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 -- 4.5　全等三角形 小练2 -- $第四章　三角形 4.3　等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 1.[2024·云南]已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. B.2 C.3 D. C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是( ) A.10 B.5 C.3 D.2 B 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 3.[2025·江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( ) A.∠ADB＝∠ADC B.∠B＝∠C C.BD＝CD D.AD平分∠BAC B 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 4.[2025·江苏连云港]如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 C 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 5.如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的度数为　 　°. 　37　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 6.[2025·四川广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　 　.  2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 7.[2025·广西]如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝  　. －1 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在边AB，AC上，且CB＝CE＝CF，连接BF，CE. (1)当∠A＝40°时，求∠BFC的度数； 解：(1)由题意得∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A) ＝70°.∵CB＝CF，∴∠BFC＝∠CBF＝(180°－∠ACB)＝55°. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- (2)若∠BFC＋∠BEC＝126°，求∠A的度数. (2)由题意得∠CBE＝∠CEB＝∠BCF， ∵∠BFC＋∠BEC＝126°， ∴∠BFC＋∠BCF＝126°， ∴∠CBF＝180°－(∠BFC＋∠BCF)＝54°， ∴∠BFC＝∠CBF＝54°， ∴∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝72°， ∴∠CBE＝∠BCF＝72°， ∴∠A＝180°－∠CBE－∠BCF＝36°. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 9.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB. (1)判断△DEF的形状，并说明理由； 解：(1)△DEF是等边三角形. 理由：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°. ∵CE∥AB， ∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°， ∴△DEF是等边三角形. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- (2)若AD＝12，CE＝7，求CF的长. (2)连接AC交BD于点O. ∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD， ∴AO⊥BD，∴∠BAO＝∠DAO＝30°. ∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO， ∴AE＝CE＝7，∴DE＝AD－AE＝12－7＝5. ∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝5， ∴CF＝CE－EF＝2. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 10.如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD.若GA＝3，则AD的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.3 B 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 11. 如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B'处，当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 　 　. 　25°或115°　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 【解析】由折叠的性质得∠ADB'＝∠ADB，∵B'D⊥BC，∴∠BDB'＝90°.①当点B'在BC下方时，如图1，∵∠ADB＋∠ADB'＋∠BDB'＝360°，∴∠ADB＝×(360°－90°)＝135°，∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝25°；②当点B'在BC上方时，如图2，∵∠ADB＋∠ADB'＝90°，∴∠ADB＝×90°＝45°，∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝115°.综上所述，∠BAD的度数为25°或115°. 图1　 　图2 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 12.[2025·江苏苏州]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为   . 　 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 【解析】过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC·sin C＝.∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴，∴AF＝.∵CF＝AC－AF，∴当AF有最小值时，CF有最大值，∴当AD有最小值时，AF有最小值，∴当AD⊥BC时，AD有最小值，此时点D与点H重合，∴AD的最小值为，∴AF的最小值为，∴CF的最大值为3－. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E是AB的中点，F是DC的中点，连接EF交AD于点P. (1)若∠B＝50°，则∠AED＝　 　°；  　100　 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- (2)若△ABC的面积是24，BC＝8，PD＝，求PE的长； 解：(2)取AD的中点G，连接EG. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4. ∵△ABC的面积是24，BC＝8， ∴AD＝＝6，∴DG＝3. 由题意得EG是△ABD的中位线， ∴EG＝BD＝2，EG∥BD. ∵PD＝，∴PG＝， ∴PE＝. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.3　等腰三角形 -- $第四章　三角形 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 1.[2024·云南]如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( ) A. B. C. D. C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 2.[2025·深圳]如图，这是一座人行天桥的示意图，若高BC长为10 m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为( ) A. B.3 C. D. D 2 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 3.[2025·内蒙古]如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为_______ m.(结果保留根号) 　120　 3 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 4.[2025·上海]如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　 　.(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.33，保留一位小数)  　1.2 m　 4 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 5. [2025·安庆一模]2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行.亚布力滑雪场初级赛道截面图如图所示，平台AD长10 m，滑道AB长400 m，滑道的坡角∠ABC＝16°，雪场电梯CD坡角∠DCE＝30°，点B，C，E在同一条直线上.已知AD∥BC，DE⊥BE，运动员滑下后从B点走到C点的速度为50 m/min，坐电梯从C点到D点的速度为100 m/min. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- (1)求雪场电梯CD的长度； 解：过点A作AH⊥BE于点H. (1)在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝16°，AB＝400，∴AH＝AB·sin B＝400×sin 16°≈400×0.28＝112(m). 易得四边形ADEH是矩形， ∴DE＝AH＝112 m. 在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠DCE＝30°， ∴CD＝2DE＝224(m). 答：雪场电梯CD的长度约为224 m. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- (2)计算运动员从B点走到C点，再坐电梯从C点到D点所需的时间. (参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29，≈1.73，≈1.41，结果保留整数) (2)在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝16°，AB＝400，∴BH＝AB·cos B＝400×cos 16°≈400×0.96＝384(m). ∵四边形ADEH是矩形，∴EH＝AD＝10 m， ∴BE＝BH＋EH＝384＋10＝394(m). 在Rt△CDE中，CE＝CD·cos ∠DCE＝224×≈193.8(m)， ∴BC＝BE－CE＝394－193.8＝200.2(m). 所需总时间为≈6(min). 答：运动员从B点走到C点，再坐电梯从C点到D点所需时间大约为6 min. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 6.[2025·安庆二模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E.若AC＝2BC，则cos ∠DCE的值为( ) A. B. C. D. D 6 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 7.[2025·江苏扬州]如图1，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tan α＝  　. 图1 图2 7 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 【解析】延长AN，交直线BC于点E，由题意得AD＝BC＝CD＝9 cm，∠D＝90°，AD∥BC，设DN＝x cm，则CN＝CD－DN＝(9－x)cm.∵容器里水的体积不变，∴×9＝9×9×7，解得x＝4，即DN＝4 cm，易得∠AEB＝α.∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEB＝α，∴tan α＝tan ∠DAN＝. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 8. [2025·山东烟台]烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10 n mile的 速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置 信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气 预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； 解：过点B作BE⊥AC于点E. (1)设BE＝x. 由题知∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×＝5，∴∠C＝90°－∠EBC＝37°，ED＝BE＝x， ∴EC＝ED＋CD＝x＋5. 在Rt△BCE中，EC＝＝x＋5，解得x＝15. 答：渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为15 n mile. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练1 -- $第四章　三角形 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 1.[2025·山东威海]小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB.测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数.然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10 m，求大楼的高度AB.(结果精确到1 m，参考数据：sin 52°≈0.8，cos 52°≈0.6，tan 52°≈1.3；sin 65°≈0.9， cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1) 1 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 解：过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10 m，CG＝DH. ∵∠1＝45°，∴CG＝BG， 设AH＝x m，∴AG＝(x＋10)m， 在Rt△ACG中，∠2＝52°，∴CG＝m，∴BG＝CG＝m， ∴BH＝BG＋GH＝m. 在Rt△BDH中，∠3＝65°，∴tan 65°＝≈2.1， 解得x≈1.8，∴AH≈1.8，BH≈19.1，∴AB＝BH＋AH≈21(m). 答：大楼的高度AB约为21 m. 1 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 2. [2025·青海]【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷. 【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角? 2 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 【模型建立】环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8 m，插入地下的部分为0.3 m，竹竿与地面接触点间距为0.6 m，且与地面所形成的夹角均为65°. 环节二：数学抽象 如图，已知线段AB与CD交于点O，AB， CD与直线l分别交于点E，F，AB＝CD＝1.8 m，BE＝DF＝0.3 m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6 m，求OE的长度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14) 2 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 【模型求解】交叉点O距顶端A的长度即OA为　 　m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律.  　0.8　 解：【模型建立】过点O作OH⊥EF，垂足为点H. ∵∠AEF＝∠CFE＝65°，∴OE＝OF. ∵OH⊥EF，EF＝0.6，∴EH＝EF＝0.3. 在Rt△OEH中， OE＝≈0.7(m). 答：OE的长度约为0.7 m. 2 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 3.[2025·四川凉山州]某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m) (1)如图1，求直吊臂OB的长. 解：(1)由题意得BM⊥OM. ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3， ∴在Rt△BOM中，OB＝≈10(m). 答：直吊臂OB的长约为10 m. 图1 3 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- (2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OB'M'＝36°时，货物M上升了多少m? 图2 (2)延长B'M'交OM于点F. 由题意得B'M'＝BM＝3，OB'＝OB＝10， 在Rt△B'OF中，B'F＝OB'·cos ∠OB'M'≈8.1(m)， ∴M'F＝B'F－B'M'≈5(m). 答：货物M约上升了5 m. 3 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 4.[2024·重庆A卷]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40 n mile后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) 4 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- (1)求A，C两港之间的距离；(结果保留小数点后一位) 解：过点B作BE⊥AC于点E. (1)由题意可知∠BAE＝45°，∠EBC＝60°， ∴BE＝AE＝AB·cos ∠BAE＝20， ∴CE＝BE·tan ∠EBC＝20， ∴AC＝AE＋CE＝20＋20≈77.2(n mile). 答：A，C两港之间的距离约为77.2 n mile。 4 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 -- 4.7　解直角三角形及其应用 小练2 -- $第四章　三角形 4.2　三角形及其性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 1.如图，CD⊥AB于点D，∠ABC是钝角，则( )  A.线段CD是△ABC的AC边上的高 B.线段CD是△ABC的AB边上的高 C.线段AD是△BCD的BC边上的高 D.线段AD是△BCD的CD边上的高 B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 2.[2025·辽宁]如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为点D，DE∥OA.若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为( ) A.50° B.120° C.130° D.140° C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 3.[2025·广东]如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( ) A.20° B.40° C.70° D.110° C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，BE的中点.若S△AEF＝2，则△ABC的面积为( ) A.8 B.12 C.14 D.16 D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 5.如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是( ) A.30° B.35° C.40° D.55° B 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 6.[2024·青海]若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是　 　. (写出一个即可)  　4(或5或6或7或8)　 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠B的度数为　 　.  　45°　 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 8.如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的 平分线，BE是∠ABC的平分线. (1)求证：∠A＝2∠E； 证明：(1)由题意可知∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠2＝∠1＋∠E， ∴∠A＝∠ACD－∠ABC，∠E＝∠2－∠1. ∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线， ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1， ∴∠A＝2∠2－2∠1＝2∠E. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- (2)若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE. (2)由(1)可知∠A＝2∠E. ∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠4， ∴2∠E＝2∠4，即∠E＝∠4， ∴AB∥CE. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- A.140 B.150 C.160 D.180 9.如图，已知△ABC，点D在BC上，连接AD.根据图中标示的度数，则p＋q＋r的值为( ) C 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 10.如图，点P是△ABC的重心，AB＝8，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，则DE的长为( )  A.2 B.3 C.4 D.5 C 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 11.如图，若∠1＝20°，∠2＝27°，∠A＝52°，则∠D＝ 　 　. 　99°　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- (1)若∠A＝30°，则∠CEF的度数为　 　；  (2)猜想∠CEF与∠CFE的数量关系： ∠CEF　 　∠CFE.(填“＞”“＜”或“＝”)  　＝　 12.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E. 　60°　 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 13.如图，∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P. (1)若∠C＝32°，∠D＝28°，求∠P的度数； 解：∵∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P， ∴设∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y. (1)由三角形的外角性质得∠C＋∠CAD＝∠D＋∠CBD， 即32°＋2x＝28°＋2y.　① 同理可得∠P＋∠PAD＝∠D＋∠DBP， 即∠P＋x＝28°＋y.　② 由①②，解得∠P＝30°. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.2　三角形及其性质 -- $第四章　三角形 4.1　线、角、相交线与平行线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- A.点C在直线AB上 B.点C在线段AB上 C.点B在射线AC上 D.点B在线段AC上 1.关于图中的点和线，下列说法错误的是( ) D 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 2.[2025·陕西]如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A.76° B.74° C.64° D.52° A 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 3.如图，下列说法错误的是( ) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.若∠1＝∠2，则a∥c C.若∠3＝∠2，则b∥c D.若∠3＋∠5＝180°，则a∥c C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- A.南偏东60°方向 B.北偏西60°方向 C.南偏东50°方向 D.北偏西50°方向 4.[2024·宁夏]小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的( ) A 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 5.[2025·山东威海]如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°，则∠2＝( ) A.42° B.38° C.36° D.30° A 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 6. [2025·合肥新站区二模]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图所示的是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若∠3＝45°，∠4＝64°，则∠1＋∠2的大小是( ) A.161° B.151° C.139° D.109° A 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 7.下列命题中，是真命题的是( ) A.相等的角是对顶角 B.在同一平面内，不相交的两条线段平行 C.一个角的余角比它的补角小90° D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 8.如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P.若∠1＝2∠2，则∠2＝　  . 　30° 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 9.如图，延长线段AB到点C，使BC＝4AB，M，N是线段BC上两点，且BM∶MN＝2∶3，N是线段MC的中点，AC＝50.求线段MN的长。 解：∵AC＝50，BC＝4AB，∴BC＝40. 设BM＝2a，则MN＝3a. 由题意得NC＝MN＝3a， ∵BM＋MN＋NC＝40，∴2a＋3a＋3a＝40， 解得a＝5，∴MN＝3a＝15. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 10.[2025·四川凉山州]如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝( )   A.30° B.40° C.60° D.80° B 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 11.[2024·合肥瑶海区三模改编]将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边AB上，BC∥DE，作∠EFD的平分线FM，则∠BFM的度数是　 　°。 　60　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 12.已知A，B，C是直线l上的点，线段BC的长为4，M，N分别为线段AB，BC的中点，MN的长为3，则线段AB的长为　 　.  　2或10　 【解析】分两种情况：①如图1，∵N是BC的中点，BC＝4，∴BN＝BC＝×4＝2.∵MN＝3，∴MB＝MN－BN＝3－2＝1.∵M是AB的中点，∴AB＝2MB＝2；②如图2，∵N是BC的中点，BC＝4，∴BN＝BC＝×4＝2.∵MN＝3，∴MB＝MN＋BN＝3＋2＝5.∵M是AB的中点，∴AB＝2MB＝10.综上所述，线段AB的长为2或10. 　图1　　　　 　　 图2 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 13.已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F，P为射线EF上的点，Q为CD上一点，已知∠MEB＝α(90°＜α＜180°). 图1　 (1)如图1，点P在线段EF上，点Q在点F的左侧，∠DFN比∠MEB小20°.若∠PQF为∠MEB的一半，求∠EPQ的度数； 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 解：(1)∵AB∥CD，∴∠DFN＝∠BEN. ∵∠DFN比∠MEB小20°， ∴∠BEN比∠MEB小20°. 又∵∠MEB＋∠BEN＝180°，∴∠MEB＝100°，∠BEN＝80°，∴∠PFQ＝∠BEN＝80°. ∵∠PQF为∠MEB的一半，∴∠PQF＝50°， ∴∠EPQ＝∠PQF＋∠PFQ＝50°＋80°＝130°. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- (2)如图2，EH平分∠AEF交CD于点H.若PQ∥EH，求∠EPQ的度数；(用含α的式子表示) (2)∵EH平分∠AEF，∠AEF＝∠MEB＝α， ∴∠HEF＝∠AEF＝α. ∵PQ∥EH，∴∠EPQ＝∠HEF＝α. 图2　　 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.1　线、角、相交线与平行线 -- $第四章　三角形 4.6　相似三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 1.如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是( ) A. B. C. D. C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 2.[2025·贵州]如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为( )   A.1 B.2 C.4 D.8 C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 3. [2025·四川内江]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是( ) B 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝40，AD＝20，∠DAC＝∠B.若△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 ( ) A.15 B.10 C. D.5 D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 5.如图，E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为( ) A.21 B.28 C.34 D.42 C 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 6.[2023·山东东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 C 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 7.[2025·广东]如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　 　.  　1∶3　 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 8. [2024·江苏扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　 　cm. 　20　 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，已知∠1＝∠2. (1)求证：△ABD∽△EDC. (2)由(1)知△ABD∽△EDC， ∴∠DEC＝∠A＝130°， ∴∠BEC＝50°.∵BC＝EC， ∴∠DBC＝∠BEC＝50°. (2)若∠A＝130°，BC＝EC，求∠DBC的度数. 解：(1)∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC. ∵∠1＝∠2，∴△ABD∽△EDC. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 10.[2025·山东威海]如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是( )  A.S△DEF＝S△BCF B.S△ADE＝S四边形BCED C.S△DBF＝S△BCF D.S△ADC＝S△AEB B 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 11.[2025·合肥瑶海区一模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE并延长交BC延长线于点F.若BC＝CF＝CE＝AE＝1，则DF ＝  .  　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 【解析】解法1：如图1，延长CF至点G，使FG＝CF，连接AG.∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝90°.∵BC＝CF＝CE＝AE＝1，∴AC＝CG＝2.BF＝2，BG＝3，∴AG＝＝2.易知EF是△CAG的中位线，∴DF∥AG，∴△BFD∽△BGA， ∴，即，∴DF＝. 图1 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 解法2：如图2，过点A作AG∥BF交FD的延长线于点G，连接BG.由AE＝CE，易证△AEG≌△CEF，∴AG＝CF＝BC＝1.∵∠ACB＝90°，∴四边形AGBC为矩形，∴∠GBF＝90°，GB＝AC＝2，∴GF＝＝2，易得△AGD∽△BFD， ∴，∴DF＝GF＝. 图2 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 12.[2025·合肥四十五中一模]如图，△ABC的边上有D，E，F三点，∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C.若BE＝7，EF＝5，FC＝4，则＝  　.  12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 【解析】∵∠B＝∠FAC，∠C为公共角，∴△FAC∽△ABC，∴，即AC2＝FC·BC.∵BE＝7，EF＝5，FC＝4，∴BC＝BE＋EF＋FC＝16，∴AC2＝4×16＝64，解得AC＝8.∵BD＝AC，∴BD＝8.∵∠BDE＝∠C，∠B为公共角，∴△EBD∽△ABC，∴. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 13.[2024·六安金安区一模]如图1，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，点E恰好落在边BC上(不与点B，C重合)，连接BD. (1)求证：BD＝CE； 解：(1)在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE. 图1 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- (2)若AB与DE相交于点F，求证：CE·BE＝CA·BF； (2)∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＋∠EAB＝∠BAD＋∠EAB，即∠BAC＝∠DAE. ∵AB＝AC，AD＝AE，即， ∴△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C. ∵∠AED＋∠BEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BEF＝∠CAE. ∵AB＝AC，∴∠EBF＝∠C， ∴△BEF∽△CAE，∴，∴CE·BE＝CA·BF. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.6　相似三角形 -- $第四章　三角形 4.4　直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 1.[2025·陕西]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 2. 若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为( ) A.10 B.2 C.2 D.10或2 D 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 3.[2024·广州]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( ) A.18 B.9 C.9 D.6 C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 4.如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点.若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.4 D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，CH⊥BE于点H，若AC＝6，则CH的长为( ) A.3 B. C.2 D. D 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 6.[2025·四川德阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝( ) A.3 B.2 C.1 D. B 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 7.[2025·福建]某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为　 　m. 　4　 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°.求证：PB2＋AP2＝2CP2. 证明：连接BQ.∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°. ∵△PCQ是等腰直角三角形， ∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ＝CP， ∴∠ACP＝∠BCQ，PQ2＝2CP2. 又∵AC＝BC，CP＝CQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)， ∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAB＝45°，∴∠ABQ＝90°， ∴PB2＋BQ2＝PQ2，∴PB2＋AP2＝2CP2. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 9.在△ABC中，已知∠ACB＝90°，P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，作MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN. 求证：(1)△APM是等腰三角形； 证明：(1)∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM＝∠ANM＝90°， ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90°， ∴∠PAQ＝∠AMN. ∵PQ⊥AB，MN⊥AC，∴∠AQP＝∠MNA＝90°， ∴△PQA≌△ANM(ASA)，∴AP＝AM， ∴△APM是等腰三角形. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 (2)PC＝AN. (2)由(1)知，△PQA≌△ANM， ∴AN＝PQ，AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM. ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC＋∠PBC＝90°，∠AMB＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠PBC. ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 10.[2025·合肥包河区一模]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝2，O是AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝OA，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，则BE的长为( ) A.8 B.4 C.5 D.3 B 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 11.[2025·成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，AB长为半径作弧；再以点C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为  .  　 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 12. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是　 　m. 　3.25　 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 13.[2024·合肥长丰模拟]如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为   　.  13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 【解析】连接BP，取BP的中点G，连接EG，FG.∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∴EG＝GF＝BG＝BP，∴∠BEG＝∠EBG，∠BFG＝∠FBG，∴∠EGF＝∠BEG＋∠EBG＋∠BFG＋∠FBG＝2(∠EBG＋∠FBG)＝2∠ABC＝2×45°＝90°，∴△EGF为等腰直角三角形，∴EF＝BP，∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小.∵∠C＝60°，∴BP＝BC·sin 60°＝6×＝3，∴EF的最小值为×3. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD与AC相交于点G. (1)求AB的长； 解：过点A作AE⊥BC于点E，AE与BD相交于点F. (1)在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝2， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°，BD＝＝2. ∵AE⊥BC，DC⊥BC，∴AE∥CD. 易得点F为BD中点，∴DF＝BF＝BD＝， ∵∠ADF＝90°，∠DFA＝∠FDC＝45°， ∴∠DAF＝45°，AD＝DF＝， ∴AB＝. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -- 4.4　直角三角形 -- 14 $