期末复习08 整式的加减讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习08 整式的加减讲义 1.同类项的判定方法 2.已知同类项求指数/字母/代数式的值 3.同类项的合并技巧 4.整式去括号的规则与运算 5.整式添括号的方法与注意事项 6.整式的加减运算步骤 7.整式的加减中的化简与求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的实际应用 10. 单项式的系数与次数的确定 11. 单项式的规律探索题 12. 多项式的项.项数或次数 13. 多项式系数.指数中字母求值 14. 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 15. 数字类规律探索技巧 16. 图形类规律探索方法 17. 含字母的绝对值化简问题 【知识点01】整式的基本概念(含单项式.多项式) 类型 定义 & 核心要点 示例 & 易错点 单项式 数 / 字母的积（单独的数 / 字母也是）； ・系数：数字因数（含符号，π是常数）； ・次数：所有字母指数和（常数项次数为 0） 示例：−3x2y（系数−3，次数3）、πr2（系数π）；易错：−32xy系数是−9（非−3）。 多项式 几个单项式的和（每一项含符号）； ・项：含正项、负项； ・次数：最高项的次数； ・命名：“次数 + 项数 + 式” 示例：4x3y−2x2+5（四次三项式）；易错：次数是 “最高项次数”，非所有项次数和。 整式 单项式 + 多项式（分母 / 根号含字母的不是整式，如x2​、x​） 【知识点02】整式的核心原则(同类项+去/添括号) 1.同类项与合并同类项 *同类项判定：字母完全相同 + 相同字母指数完全相同（与系数、字母顺序无关）；例：3x2y与−2yx2是同类项，3x2与2x不是。 *合并法则：系数相加，字母 / 指数不变（系数为 0 则该项消失）；例：2x2y−5x2y+3x2y=0。 2. 去括号 & 添括号 法则类型 符号规则 示例 去括号 ・前是 “+”：括号内符号不变； ・前是 “-”：括号内符号全变； ・前有数字：先分配再去括号 a−(b−c)=a−b+c； −3(2x−y)=−6x+3y 添括号 ・前是 “+”：括号内符号不变； ・前是 “-”：括号内符号全变 a−b+c=a−(b−c)（用于 【知识点03】整式加减的步骤与规范 一、整式加减的操作步骤 1.列式：用括号包裹整式，明确运算关系 *若为 “多项式 A 加多项式 B”，写为：(A)+(B)； *若为 “多项式 A 减多项式 B”，写为：(A)−(B)（注意 “减号” 连接后，B 需加括号）。 2.去括号：严格遵循符号规则 *括号前是 “+”：直接去掉括号，括号内各项符号不变； *括号前是 “−”：去掉括号后，括号内每一项符号全变； *括号前有数字 / 字母因数：先用乘法分配律展开，再去括号（注意系数的符号）。 3.合并同类项：按 “系数相加，字母 / 指数不变” 化简 *第一步：标记同类项（用下划线 / 不同符号区分，避免漏项）； *第二步：分组合并（将同类项写在一起，系数相加）； *第三步：整理结果（按某字母降幂 / 升幂排列，常数项放最后）。 4.结果规范：化简到 “最简整式” *无同类项可合并； *首项系数为正（若首项系数为负，可提取 “−”，如−x2+3x−2=−(x2−3x+2)）； *不含括号（除非题目要求保留）； *系数为分数时，化为最简分数（如x=x）。 二、复杂整式的加减（多层括号 / 分数系数）操作示例 计算：(4a−6b)−[2a−(3b−1)] 步骤： 列式：(4a−6b)−[2a−(3b−1)] 去括号（先去小括号，再去中括号） ：=2a−3b−(2a−3b+1) =2a−3b−2a+3b−1 合并同类项： =(2a−2a)+(−3b+3b)−1=−1 三、格式书写要求 每一步运算单独成行，等号对齐； 合并同类项时，同类项上下对齐（方便检查）； 最终结果按 “某字母降幂排列”（默认规范，除非题目要求升幂）。 【知识点04】常考题型+方法技巧 题型分类 解题方法 示例 1. 同类项求字母值 列方程：相同字母的指数相等 若−+1与y3是同类项，则a=3，b=2。 2. 化简求值 先化简整式，再代入（优先 “整体代入”） 已知a−b=3，求2(a−b)−5(a−b)=−9。 3. “无关型” 问题 化简后，令无关项的系数为 0 若整式不含x2项，则x2项系数 = 0。 4. 多项式排列 按某字母指数升 / 降幂排列（项带符号移动） 3x2y−x3+2y3按x降幂：−x3+3x2y+2y3。 5. 含绝对值的化简 先判断绝对值内符号，去绝对值后合并 若a<0<b，则∣a−b∣+2a=a+b。 6. 实际应用（几何 / 数量） 用整式表示周长、面积、总价等，再进行加减运算 长方形长2x+3、宽x−1，周长为2[(2x+3)+(x−1)]=6x+4。 7. 规律探索（数字 / 图形） 从特殊项找规律，用字母表示（验证普遍性） 第n个奇数和：1+3+5+⋯+(2n−1)=n2 高频易错点总结 1.单项式系数漏符号（如−5x系数是−5）； 2.多项式次数判断错误（是 “最高项次数”）； 3.去括号时符号漏变（括号前是 “-”，每一项都要变）； 4.合并同类项时字母 / 指数出错（仅系数相加）。 . 题型1.同类项的判定方法 【典例】．下列各组式中，为同类项的是（　　） A．与 B．3与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；是易混点．同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，即可判断． 【详解】解：∵同类项需满足字母相同且对应字母的指数相同； A、中x指数为2、y指数为1，中x指数为1、y指数为2，指数不同，不是同类项； B、3和均为常数项，是同类项； C、中x指数为1，中x指数为2，指数不同，不是同类项； D、含字母x和y，含字母y和z，字母不同，不是同类项． 故选：B． 【跟踪训练1】．关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了同类项的概念，一元一次方程的解法，分两种情况讨论：当，是同类项时，当，是同类项时，再根据同类项的定义列方程，解方程组可得答案，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键． 【详解】当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 【跟踪训练2】下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是依据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的同类项概念判断选项． 根据同类项的定义，逐一分析各组项的字母及对应指数是否一致，找出不满足条件的选项． 【详解】解：A中和14均为常数项，是同类项； B中含字母，为常数项，无相同字母，不是同类项； C中和，字母均为和且指数均为1，是同类项； D中和，字母均为和且指数相同，是同类项； 故选B． 题型2.已知同类项求指数/字母/代数式的值 【典例】若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，根据同类项的定义，两个单项式含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，因此比较字母 和 的指数即可求解； 【详解】解：由题意得： ， ， 解得 ； ∴ ； 故答案为： 【跟踪训练1】已知代数式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．或5 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义和绝对值的运算，解题的关键是根据同类项“相同字母的指数相同”的性质列出方程，准确求解、的值并考虑绝对值的多解情况． 根据同类项定义，相同字母、的指数分别相等，得和；求解得，；分别计算的值，对应选项确定答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，即，， 解得，或． 当时，； 当时，． ∴的值为或． 故选：D． 【跟踪训练2】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义、整式的代入求值，根据同类项的定义，得 和 ，求得，，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴ 和 ， 解得，，， ∴， 故答案为：13． 题型3.同类项的合并技巧 【典例】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键．根据合并同类项法则，只有相同字母且相同指数的项才能合并，系数相加减． 【详解】∵选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； ∵选项B：，故B错误； ∵选项C：，正确； ∵选项D：，故D错误； 故选：C． 【跟踪训练1】若代数式与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项是解答本题的关键． 根据代数式与的和是单项式，可以得到，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为 与 的和是单项式，所以它们是同类项， 同类项要求相同字母的指数相等，因此 的指数 ， 的指数 ， 代入 ，得： ． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列说法中正确的有（   ）． ①．②若a、b互为相反数，则．③．④．⑤若，则a、b互为相反数．⑥的倒数是． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】逐一判断每个说法的正确性：①根据绝对值的性质可知运算错误；②由加法法则可知运算正确；③由合并同类项可知运算错误；④由去括号法则可知运算正确；⑤由相反数定义可知判断错误；⑥先计算乘方，然后由倒数定义可知计算正确． 【详解】解：①，错误； ②由加法法则可知，若a、b互为相反数，则，正确； ③左边化简：，与右边不相等，错误； ④，正确； ⑤，则，但相反数要求，错误； ⑥，其倒数为，正确； 正确说法有②、④、⑥，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了求绝对值，相反数的定义，合并同类项，去括号，有理数的乘方，求一个数的倒数，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型4.整式去括号的规则与运算 【典例】下列各项去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号，括号前是正号时，去括号后各项符号不变；括号前是负号时，去括号后括号内各项变号，同时运用乘法分配律计算，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【跟踪训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则计算即可，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练2】计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 题型5.整式添括号的方法与注意事项 【典例】在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（ ）． 【答案】 【分析】本题考查带括号的等式运算，熟练掌握括号的等式运算法则是解题的关键． 根据添括号法则，括号前面是负号时，括到括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：等式左边为 ，右边为 ，要使等式成立，需使 ，即 ， 因为 所以括号内应填 ， 故答案为：． 【跟踪训练1】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】已知，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确理解已知代数式与所求代数式的关系正确变形代入是解题的关键． 将多项式变形代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = ， 故答案为：． 题型6.整式的加减运算步骤 【典例】下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是a，b，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在C点右侧的数轴上且到点B的距离为6，则C点表示的数为 （用含有a，b的式子来表示）．    【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，整式的加减计算，设点C表示的数为c，则折叠后点A表示的数为，可分为折叠后点A在点B左侧和折叠后点A在点B右侧两种情况，根据数轴上两点距离计算公式列出等式求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为c， 由题意得，折叠后点A表示的数为， ∵折叠后点A与点B的距离为6， ∴当折叠后点A在点B左侧时，则，解得； 当折叠后点A在点B右侧时，则，解得； 综上所述，点C表示的数为或 故答案为：或 【跟踪训练2】定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查新定义的运算，需要根据定义逐一判断各说法的正确性．说法①通过反例验证不成立；说法②、③、④通过定义和逻辑推理验证成立． 【详解】解：说法①：取反例 ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，故说法①错误． 说法②：若，则分两种情况： ∵当时，， ∴， ∴， ∴； ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 故说法②正确． 说法③：∵当时，； 当时，； ∴，故说法③正确． 说法④：若，则分两种情况： 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ； 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ． 故说法④正确． 综上，说法②、③、④正确，共3个． 故选：C． 题型7.整式加减中的化简与求值 【典例】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值、整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再去括号，计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪训练1】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先对原式进行去括号和合并同类项化简，得到含和的表达式，再代入已知数值计算． 【详解】原式 ， 代入，，得： ． 故答案为：． 【跟踪训练2】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 题型8.整式加减中的无关型问题 【典例】若多项式化简后不含的一次项，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，合并同类项法则和解一元一次方程等知识点，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 先根据合并同类项法则合并同类项，再根据已知不含的一次项得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式合并同类项后为，且化简后不含的一次项， ∴， 解得 ， 故选：B． 【跟踪训练1】已知，．若的取值与无关，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式的值与字母无关的条件、非负数的性质．方法：整式合并同类项法、系数归零法、利用非负数求最值．关键：将整理为含a的项与不含a的项，令a的系数为0确定参数，再利用求最小值．易错点：合并同类项时符号或系数计算错误；“与a无关”是指a的系数为0． 先计算的表达式，根据与a无关的条件，令含a的项的系数为零，确定x的值，再求其最小值． 【详解】， ， 则． ． 由于的值与a无关，故含a的项的系数为零，即， 解得． 此时． 因， 故， 当时取最小值． 故答案为：． 【跟踪训练2】化简时，小明将系数看成了它的相反数，导致他化简的结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小明将m看作其相反数，化简后结果不含x³y项，据此求出m的值，再代入正确的表达式化简即可。 【详解】解：小明将系数看成了它的相反数，导致化简的结果不含项， 小明把看成了， 正确的值应为， 正确的表达式为 ， 合并同类项：． 故选：D． 题型9.整式加减的实际应用 【典例】.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道（   ）． A．底面的长方形的周长 B．n的长 C．m的长 D．小长方形的周长 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值，根据结果即可得到答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道n的长即可． 故选：B． 【跟踪训练1】某轮船从地出发先顺水航行3小时到达地，后逆水原路返回航行2小时到达地，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，则两地相距 千米；（用含，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减．根据顺水速度和逆水速度分别计算和距离，距离为与之差． 【详解】解：从到顺水航行，速度为，时间为3小时，则距离为． 从逆水返回航行，速度为，时间为2小时，则距离为． 由于在和之间，距离为距离减去距离， 即：； 故答案为：． 【跟踪训练2】一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“伴随数”，记作，即．如．现有2个两位数x和y，且满足，则 ． 【答案】 9或18 【分析】本题主要考查了整式的加减和列代数式，关键是正确理解和运用两位数的“伴随数”． 设两个两位数分别为 ，且满足 ，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：设两个两位数分别为 ， ∵， ∴， 分情况讨论： ∴①当个位不产生进位时，即 ，此时 ，即 ， 所以 ； ②个位产生进位时，即，此时个位向十位进1，故， 所以， 综上所述， 的值为9或18， 故答案为：9或18． 题型10.单项式的系数与次数确定 【典例】单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，根据单项式的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：单项式的系数为．次数为． 故选：B． 【跟踪训练1】若是关于x，y的五次单项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，由此建立方程求解． 【详解】解：由于该式是关于的五次单项式，因此次数为的指数与的指数之和，即. 解方程得， 所以或． 又因为单项式的系数不能为零，即， 所以， 因此，． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．的次数是2次 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数、单项式的定义、多项式的常数项和次数的概念．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：∵ 的系数是数字部分，即，不是，∴ A错误． B：∵是数字和字母的乘积，符合单项式定义，∴ B错误． C：∵的常数项是，不是，∴ C错误． D：∵ 中， 次数为， 次数为，次数为，最高次数为，∴ D正确． 故选D． 题型11.单项式的规律探索题 【典例】观察按一定规律排列的代数式：，，，，，则第2025个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律问题，通过观察代数式的系数和指数规律，发现系数是正负交替的奇数，指数是连续自然数，从而推导出第n个代数式的一般形式． 【详解】解：第n个代数式的系数为，指数为n． 当时，系数为，指数为2025， 因此第2025个代数式为． 故答案为：． 【跟踪训练1】按一定规律排列的单项式：，⋯，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探索，单项式规律题，关键是从系数和指数分别找出与序号n的关系． 观察单项式的系数和指数规律：系数为符号交替的平方数，指数为奇数，系数可表示为，指数可表示为，从而得到第n个单项式． 【详解】解：∵ 第1项：系数为1，指数为1； 第2项：系数为，指数为3； 第3项：系数为9，指数为5； 第4项：系数为，指数为7； …… ∴ 系数规律：， 指数规律：， 故第n个单项式为， 故选：A． 【跟踪训练2】观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．由题意易得出第n项为，进而可求出第六个式子 【详解】解：由题意得则第n项为， 则第六个式子是， 故答案为： 题型12.多项式的项.项数或次数 【典例】下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：A、是三次单项式，故该选项不符合题意； B、是二次单项式，故该选项不符合题意； C、是三次三项式，故该选项不符合题意； D、是四次三项式，故该选项符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】若为关于x的三次二项式，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关定义， 根据三次二项式的定义，多项式最高次数为3，且项数为2，因此需使第二项系数为零，并确定第一项次数为3，即可求出答案． 【详解】解：∵ 是关于 的三次二项式， ∴ 最高次数项为，故 ； 又∵ 项数为2， ∴ 第二项系数，即，解得 ， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，等腰直角三角形的直角边长为，根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积 ，这是一个 次 项式． 【答案】 二 二 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式的相关定义，解题的关键是根据题意列出代数式． 根据面积公式列出代数式，然后根据多项式的定义进行判断项和次数即可． 【详解】解：阴影部分的面积为； 这是一个二次二项式； 故答案为：，二，二． 题型13.多项式系数.指数中字母求值 【典例】已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 多项式为二次多项式，需满足三次项系数为零且二次项系数不为零． 【详解】解：∵多项式是关于的二次多项式， ∴且． 由，得，即或． 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件． ∴． 故选C． 【跟踪训练1】若关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的加减运算及不含某项的条件，解题的关键是求出多项式的差后，令二次项系数为0以确定m、n的值． 计算两个多项式的差并合并同类项，根据不含二次项的条件得二次项系数为0，求出m、n，再计算． 【详解】解： ∵ 差不含二次项， ∴ ，解得； ，解得． 则． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知是关于x的二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的有关概念求出a，b的值是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型14.将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例】多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是确定多项式各项中的次数．按的次数由低到高排列各项，然后对比选项即可． 【详解】解：按的升幂排列（次数由低到高）为：．     故选：C． 【跟踪训练1】把多项式去括号后按字母的降幂排列为 . 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，去括号．首先根据去括号法则去除括号，然后按照字母的指数从高到低进行排列，即可作答． 【详解】 即把多项式去括号后按字母的降幂排列为， 故答案为：． 【跟踪训练2】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【答案】B 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项分析判断即可． 本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项和项数是解题的关键． 【详解】解：整式为， 选项A：按字母升幂排列需指数从小到大，但各项指数依次为1、3、0，非升幂排列，故A错误； 选项B：按字母降幂排列需指数从大到小，各项指数依次为2、1、0，是降幂排列，故B正确； 选项C：常数项为不含字母的项，即，非4，故C错误； 选项D：最高次项为，次数为4，系数为，非1，故D错误； 故选：B． 题型15.数字类规律探索技巧 【典例】观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律型问题（探寻等式的变化规律），解题关键是分析等式左边的项数、最后一项与右边式子的关系，归纳出通用规律． 通过观察已知等式，左边均为连续偶数的和，右边为序号与序号加1的乘积，由此归纳出第n个等式的形式． 【详解】∵ 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式： 第4个等式： …… ∴第n个等式为． 故选A． 【跟踪训练1】仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… 请你写出第n个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示数字的规律，观察所给等式，找出规律，利用规律求解． 【详解】解：由题意知： 第1个：，可以变形为：； 第2个：，可以变形为：； 第3个：，可以变形为：； 第4个：，可以变形为：； …… 由此可知第n个等式为：． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题：数对应，，，的位置对应的字母是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键； 通过观察发现，每6个数是一组循环，其中第2，4，6个数符号为负，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，每6个数是一组循环，其中第2，4，6个数符号为负， ∵， ∴数与字母的位置相对应， 故答案为：． 题型16.图形类规律探索方法 【典例】把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案中有三角形的个数是（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，根据题目中的图案，可以写出前几个图案中三角形的个数，从而可以发现三角形个数的变化规律，进而得到第⑩个图案中三角形的个数． 【详解】解：由图可知，第①个图案中三角形的个数为：（个）， 第②个图案中三角形的个数为：（个）， 第③个图案中三角形的个数为：（个）， ……以此类推， 则第⑩个图案中三角形的个数为：（个）， 故选：C． 【跟踪训练1】小华用小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒（如图），像这样搭15间房子一共要用 根小棒． 【答案】61 【分析】本题考查了图形类规律的探索，找到规律是解题的关键；每增加1间房子要增加4根小棒，由此规律即可求解． 【详解】解：搭3间房子用了13根小棒，即根； 搭4间房子用了17根小棒，即根； 搭5间房子用了21根小棒，即根； …； 即每增加1间房子要增加4根小棒， 则搭15间房子用了根，即61根； 故答案为：61． 【跟踪训练2】如图，正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题对图形变化规律的考查，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键． 根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可． 【详解】解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4， 第2次移位到达点3, 第3次移位到达点1， 第4次移位到达点2， 第5次移位到达点4， …， 依此类推，4次移位后回到出发点， ． 所以第10次“移位”后，他所处顶点的编号为3 故选：B． 题型17.含字母的绝对值化简问题 【典例】下列说法正确的是（   ） A．是负数 B．有理数不是正数就是负数 C．分数都是有理数 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数和绝对值的定义． 根据有理数、负数和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．不一定是负数，例如当a为负数时，为正数，A错误； B．因为有理数包括正数、负数和0，所以有理数不是正数可能是负数或0，B错误； C．分数都是有理数，C正确； D．时，，D错误； 故选：C． 【跟踪训练1】若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质，根据题意，分时，时，时三种情况，结合绝对值性质讨论求解，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴不成立， 当时，， ∴， ∵， ∴不成立， 当时，， ∴ ∵， ∴成立， 综上，当时等式成立，即为任意一个非正数． ∴故选：C． 【跟踪训练2】已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法. 由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：的最小值为12，且， ， ， 故答案为：． 1．在中，单项式有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义；根据单项式的定义：只包含数字与字母的乘积，或单独的数字或字母，且分母中不含字母，字母的指数均为整数，逐个判断各代数式即可． 【详解】解：可化为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 分母中含有字母，故不是单项式； 含有加法运算，故不是单项式； 化简为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 是开方运算，相当于，字母的指数不是整数，故不是单项式； 是字母的乘积，故为单项式． 因此，单项式有3个． 故答案为：3． 2．在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可． 【详解】解：2025是常数，为单项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母含有字母，不是整式； 是多项式，属于整式． 故整式个数为4． 故答案为：4． 3．下列说法正确的是（） A．的系数为 B．单项式与是同类项 C．的次数是3 D．多项式是，与1三项的和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，单项式的定义以及系数定义，多项式的项和次数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据同类项的定义，单项式的系数定义，多项式的项和次数的定义以及单项式的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：单项式的系数是数字部分，包括常数π，应为，而不是，故A错误； 选项B：同类项需字母相同且相同字母指数相同，中a指数为1、b指数为2，中a指数为2、b指数为1，指数不同，不是同类项，故B错误； 选项C：单项式的次数是所有字母指数之和，即，不是3，故C错误； 选项D：多项式由项、和1组成，是三项的和，故D正确； 故选：D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分数运算、指数运算和合并同类项．逐项计算或判断即可． 【详解】解：∵，∴ A错误； ∵，则，∴ B错误； ∵与不是同类项，不能合并，∴ C错误； ∵与 是同类项（），则，∴ D正确． 故选D． 5．若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义． 两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相同． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 6．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 7．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“2倍数”，则最大的“2倍数”为 ；若“2倍数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，则所有满足条件的“2倍数”m的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 9819 8448 【分析】本题主要考查了数的组成与代数式的应用，熟练掌握“2倍数”的定义并结合数位特征分析最大、最小值是解题的关键． 设四位数为（为1 - 9的整数），根据“2倍数”定义得．求最大“2倍数”时，取最大的，再确定；根据，可得的值，再找最大、最小值，即可． 【详解】解：设四位数为，，，，， ∵是“2倍数”， ∴， 取，，则， 代入得， ∴，取，，得四位数为9819． ②当时，， 解得， 最大值：取，，，，得7311； 最小值：取，，，，得1137； ∴和为， 故答案为：9819；8448． 8．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据括号外面是“”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号， 故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： 括号内三个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； 当分别与括号内的三个数换位思考，化简后得到3种结果分别为： ， ， ， 故该代数式共得到4种结果，故②正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 最后3种结果相同，故该代数式共得到4种结果，故③正确； 故选：A． 9．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据规律，则第个正方形的中间数字为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字类规律问题，解题的关键是理解题意； 由图可知第个正方形的中间数字是，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：第1个正方形的中间数字是， 第2个正方形的中间数字是， 第3个正方形的中间数字是， 第4个正方形的中间数字是， …， 第个正方形的中间数字是， ∴第个正方形的中间数字为． 故选：C． 10．当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为 ． 【答案】1998 【分析】先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：把，代入得， 整理得， 把，代入得 ． 故答案为：1998 【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键． 11．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减； （1）直接合并同类项，即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式的定义，列出方程且，求解即可； （2）根据多项式按的升幂重新排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于、的四次三项式， ∴且， 解得且， ∴． （2）∵ ∴ ． 13．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想： （1）先整理，再把代入，即可作答； （2）先整理，再把，代入，即可作答. 【详解】（1）原式 （2）. 14．如图，用黑、白两种颜色的正方形纸片，按以下规律拼接： (1)第4个图案中有黑色纸片多少张，白色纸片多少张？ (2)第n个图案中有黑色纸片多少张，白色纸片多少张？ 【答案】(1)第4个图案中有黑色纸片4张，白色纸片张数为13张 (2)第n个图案中有黑色纸片n张，白色纸片张数为张 【分析】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． （1）观察图形的变化可得第4个图案中有黑色纸片与白色纸片张数； （2）结合（1）即可得规律，第n个图案中有黑色纸片n张，白色纸片张． 【详解】（1）解：观察图形的变化可知： 第1个图案中有黑色纸片1张，白色纸片张数为：张； 第2个图案中有黑色纸片2张，白色纸片张数为：张； 第3个图案中有黑色纸片3张，白色纸片张数为：张； 故第4个图案中有黑色纸片4张，白色纸片张数为：张； （2）解：第1个图案中有黑色纸片1张，白色纸片张数为：张； 第2个图案中有黑色纸片2张，白色纸片张数为：张； 第3个图案中有黑色纸片3张，白色纸片张数为：张； 第4个图案中有黑色纸片4张，白色纸片张数为：张； … 故第n个图案中共有黑色纸片n张，白色纸片张． 15．如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见详解 【分析】本题主要考查列代数式，求代数式的值，整式加减的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式，再代入计算即可求解，主要考查了学生抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、应用意识和创新意识，考查了学生方程思想、数形结合思想． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据图形列出代数式，算出阴影A，B的周长和，代数式中无字母a，可说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 【详解】（1）解：（1）由图可得：每个小长方形较长一边长是,则阴影部分B的较短的边长是, 故答案为：，； （2）（2）由条件可知：阴影B的宽为，长为， 则阴影A，B的周长和为： ∵代数式中无字母a， ∴阴影部分，的周长之和与的取值无关． 16．在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 【答案】(1)①2或6  ②1  ③x的值为或0 (2)数轴表示见解析 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值方程的应用，将数轴上的距离关系转化为绝对值方程是解题关键． （1）根据题意，利用“绝对值的几何意义”求解． （2）先通过距离公式转化为绝对值表达式，再分区间讨论去绝对值，进而求解不等式． 【详解】（1）①解：代数式可看成数轴上表示数的点与表示4的点之间的距离， ， ，， 或6． ②解：代数式可看成数轴上表示到和4距离相等的点， ， ． ③解：代数式可看成数轴上表示到4的距离是到距离两倍的点， ， ， 当表示数的点在点左侧时，，解得， 当表示数的点在点和点之间时，，解得， 当表示数的点在点右侧时，， 所以此种情况不存在，综上所述，或0； 答：x的值为或0． （2）解：由题可知，设点D表示的数为x， 不小于， ， ， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得（不符合，舍去）， 在数轴上，选定区域为，如图所示， 符合条件的点为签字笔加粗部分的点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08 整式的加减讲义 1.同类项的判定方法 2.已知同类项求指数/字母/代数式的值 3.同类项的合并技巧 4.整式去括号的规则与运算 5.整式添括号的方法与注意事项 6.整式的加减运算步骤 7.整式的加减中的化简与求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的实际应用 10. 单项式的系数与次数的确定 11. 单项式的规律探索题 12. 多项式的项.项数或次数 13. 多项式系数.指数中字母求值 14. 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 15. 数字类规律探索技巧 16. 图形类规律探索方法 17. 含字母的绝对值化简问题 【知识点01】整式的基本概念(含单项式.多项式) 类型 定义 & 核心要点 示例 & 易错点 单项式 数 / 字母的积（单独的数 / 字母也是）； ・系数：数字因数（含符号，π是常数）； ・次数：所有字母指数和（常数项次数为 0） 示例：−3x2y（系数−3，次数3）、πr2（系数π）；易错：−32xy系数是−9（非−3）。 多项式 几个单项式的和（每一项含符号）； ・项：含正项、负项； ・次数：最高项的次数； ・命名：“次数 + 项数 + 式” 示例：4x3y−2x2+5（四次三项式）；易错：次数是 “最高项次数”，非所有项次数和。 整式 单项式 + 多项式（分母 / 根号含字母的不是整式，如x2​、x​） 【知识点02】整式的核心原则(同类项+去/添括号) 1.同类项与合并同类项 *同类项判定：字母完全相同 + 相同字母指数完全相同（与系数、字母顺序无关）；例：3x2y与−2yx2是同类项，3x2与2x不是。 *合并法则：系数相加，字母 / 指数不变（系数为 0 则该项消失）；例：2x2y−5x2y+3x2y=0。 2. 去括号 & 添括号 法则类型 符号规则 示例 去括号 ・前是 “+”：括号内符号不变； ・前是 “-”：括号内符号全变； ・前有数字：先分配再去括号 a−(b−c)=a−b+c； −3(2x−y)=−6x+3y 添括号 ・前是 “+”：括号内符号不变； ・前是 “-”：括号内符号全变 a−b+c=a−(b−c)（用于 【知识点03】整式加减的步骤与规范 一、整式加减的操作步骤 1.列式：用括号包裹整式，明确运算关系 *若为 “多项式 A 加多项式 B”，写为：(A)+(B)； *若为 “多项式 A 减多项式 B”，写为：(A)−(B)（注意 “减号” 连接后，B 需加括号）。 2.去括号：严格遵循符号规则 *括号前是 “+”：直接去掉括号，括号内各项符号不变； *括号前是 “−”：去掉括号后，括号内每一项符号全变； *括号前有数字 / 字母因数：先用乘法分配律展开，再去括号（注意系数的符号）。 3.合并同类项：按 “系数相加，字母 / 指数不变” 化简 *第一步：标记同类项（用下划线 / 不同符号区分，避免漏项）； *第二步：分组合并（将同类项写在一起，系数相加）； *第三步：整理结果（按某字母降幂 / 升幂排列，常数项放最后）。 4.结果规范：化简到 “最简整式” *无同类项可合并； *首项系数为正（若首项系数为负，可提取 “−”，如−x2+3x−2=−(x2−3x+2)）； *不含括号（除非题目要求保留）； *系数为分数时，化为最简分数（如x=x）。 二、复杂整式的加减（多层括号 / 分数系数）操作示例 计算：(4a−6b)−[2a−(3b−1)] 步骤： 列式：(4a−6b)−[2a−(3b−1)] 去括号（先去小括号，再去中括号） ：=2a−3b−(2a−3b+1) =2a−3b−2a+3b−1 合并同类项： =(2a−2a)+(−3b+3b)−1=−1 三、格式书写要求 每一步运算单独成行，等号对齐； 合并同类项时，同类项上下对齐（方便检查）； 最终结果按 “某字母降幂排列”（默认规范，除非题目要求升幂）。 【知识点04】常考题型+方法技巧 题型分类 解题方法 示例 1. 同类项求字母值 列方程：相同字母的指数相等 若−+1与y3是同类项，则a=3，b=2。 2. 化简求值 先化简整式，再代入（优先 “整体代入”） 已知a−b=3，求2(a−b)−5(a−b)=−9。 3. “无关型” 问题 化简后，令无关项的系数为 0 若整式不含x2项，则x2项系数 = 0。 4. 多项式排列 按某字母指数升 / 降幂排列（项带符号移动） 3x2y−x3+2y3按x降幂：−x3+3x2y+2y3。 5. 含绝对值的化简 先判断绝对值内符号，去绝对值后合并 若a<0<b，则∣a−b∣+2a=a+b。 6. 实际应用（几何 / 数量） 用整式表示周长、面积、总价等，再进行加减运算 长方形长2x+3、宽x−1，周长为2[(2x+3)+(x−1)]=6x+4。 7. 规律探索（数字 / 图形） 从特殊项找规律，用字母表示（验证普遍性） 第n个奇数和：1+3+5+⋯+(2n−1)=n2 高频易错点总结 1.单项式系数漏符号（如−5x系数是−5）； 2.多项式次数判断错误（是 “最高项次数”）； 3.去括号时符号漏变（括号前是 “-”，每一项都要变）； 4.合并同类项时字母 / 指数出错（仅系数相加）。 . 题型1.同类项的判定方法 【典例】．下列各组式中，为同类项的是（　　） A．与 B．3与 C．与 D．与 【跟踪训练1】．关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【跟踪训练2】下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 题型2.已知同类项求指数/字母/代数式的值 【典例】若单项式与是同类项，则的值是 ． 【跟踪训练1】已知代数式与是同类项，则的值为（    ） A． B． C．或5 D．4或 【跟踪训练2】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 题型3.同类项的合并技巧 【典例】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若代数式与的和是单项式，则 ．【跟踪训练2】下列说法中正确的有（   ）． ①．②若a、b互为相反数，则．③．④．⑤若，则a、b互为相反数．⑥的倒数是． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型4.整式去括号的规则与运算 【典例】下列各项去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】计算： ． 【跟踪训练2】计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 题型5.整式添括号的方法与注意事项 【典例】在等号右边的括号内填上适当的项，使等式成立：（ ）． 【跟踪训练1】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知，则 ． 题型6.整式的加减运算步骤 【典例】下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是a，b，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在C点右侧的数轴上且到点B的距离为6，则C点表示的数为 （用含有a，b的式子来表示）．    【跟踪训练2】定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7.整式加减中的化简与求值 【典例】若，则的值为 ． 【跟踪训练1】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，，则的值为 ． 【跟踪训练2】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 题型8.整式加减中的无关型问题 【典例】若多项式化简后不含的一次项，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D． 【跟踪训练1】已知，．若的取值与无关，则的最小值为 ． 【跟踪训练2】化简时，小明将系数看成了它的相反数，导致他化简的结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 题型9.整式加减的实际应用 【典例】.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．如果想求图②中两块阴影部分的周长和，则只要知道（   ）． A．底面的长方形的周长 B．n的长 C．m的长 D．小长方形的周长 【跟踪训练1】某轮船从地出发先顺水航行3小时到达地，后逆水原路返回航行2小时到达地，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是，则两地相距 千米；（用含，的式子表示） 【跟踪训练2】一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，我们把十位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“伴随数”，记作，即．如．现有2个两位数x和y，且满足，则 ． 题型10.单项式的系数与次数确定 【典例】单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【跟踪训练1】若是关于x，y的五次单项式，则m的值为 ． 【跟踪训练2】下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．的次数是2次 题型11.单项式的规律探索题 【典例】观察按一定规律排列的代数式：，，，，，则第2025个代数式是 ． 【跟踪训练1】按一定规律排列的单项式：，⋯，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 题型12.多项式的项.项数或次数 【典例】下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若为关于x的三次二项式，则的值为 【跟踪训练2】如图，等腰直角三角形的直角边长为，根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积 ，这是一个 次 项式． 题型13.多项式系数.指数中字母求值 【典例】已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【跟踪训练1】若关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【跟踪训练2】已知是关于x的二次三项式，则 ． 题型14.将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例】多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】把多项式去括号后按字母的降幂排列为 . 【跟踪训练2】对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 题型15.数字类规律探索技巧 【典例】观察下列等式：，，，，根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… 请你写出第n个等式： ． 【跟踪训练2】如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题：数对应，，，的位置对应的字母是 ． 题型16.图形类规律探索方法 【典例】把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案中有三角形的个数是（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【跟踪训练1】小华用小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒（如图），像这样搭15间房子一共要用 根小棒． 【跟踪训练2】如图，正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 题型17.含字母的绝对值化简问题 【典例】下列说法正确的是（   ） A．是负数 B．有理数不是正数就是负数 C．分数都是有理数 D．若，则 【跟踪训练1】若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【跟踪训练2】已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为 ． 1．在中，单项式有 个． 2．在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 3．下列说法正确的是（） A．的系数为 B．单项式与是同类项 C．的次数是3 D．多项式是，与1三项的和 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若单项式与的和仍是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 6．已知，，则的值为 ． 7．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“2倍数”，则最大的“2倍数”为 ；若“2倍数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，则所有满足条件的“2倍数”m的最大值与最小值的和为 ． 8．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（   ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 A．3 B．2 C．1 D．0 9．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据规律，则第个正方形的中间数字为（   ） A． B． C． D． 10．当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为 ． 11．化简： (1) (2) 12．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 13．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值． 14．如图，用黑、白两种颜色的正方形纸片，按以下规律拼接： (1)第4个图案中有黑色纸片多少张，白色纸片多少张？ (2)第n个图案中有黑色纸片多少张，白色纸片多少张？ 15．如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 16．在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $