7.1一元线性回归（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦一元线性回归，通过身高与体重等生活实例引出变量关系，结合具体数据引导学生绘制散点图，经历选点法、平均点法到最小二乘法的探究，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学思维，通过典例（热茶销量与气温）推导回归方程，培养数学眼光与建模能力。结构化小结（算、代、写）助力掌握方法，既提升学生数据分析素养，也为教师提供清晰教学路径与实例支撑。

§1 一元线性回归 第七章 统计案例 北师大版2019 选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 了解最小二乘原理； 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；.(重点、难点) 建立一元线性回归模型进行预测. 2. 平面向量的基本定理是什么？ 对于自变量的每一确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应 如果两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，可使. 知识回顾 1.函数的定义是什么？ 导入新课 议一议 1.身高与体重的关系（身高越高的人体重一定越重吗？） 2.学习时间与考试成绩的关系 3.广告投入与销售额的关系 这些变量之间存在怎样的关系？ 导入新课 为了了解人的身高与体重的关系，我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高(单位：cm)，体重(单位：kg)如表7-1: 问题1 这两个变量之间的关系可以用函数模型来刻画吗？并说明原因. 答：不能。 身高作为自变量时，体重没有唯一值对应，因此体重不是身高的函数。 导入新课 为了了解人的身高与体重的关系，我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高(单位：cm)，体重(单位：kg)如表7-1: 问题2 请将身高作为横坐标、体重作为纵坐标，绘制散点图 导入新课 为了了解人的身高与体重的关系，我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高(单位：cm)，体重(单位：kg)如表7-1: 问题3 身高和体重是如何变化的？ 答：随着身高增长，体重呈“直线增加”的大致趋势 新知探究 在图7-1中，每个点对应的一对数据()，称为成对数据。 这些点构成的图称为散点图。 知识点一 成对数据、散点图 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述，这样近似描述的过程称为曲线拟合。 知识点二 曲线拟合、直线拟合 若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来两个量之间的关系，称之为直线拟合。 新知探究 探究点一 若两变量满足直线拟合，如何求该直线 方法一 选点法：选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧一样多 (165,52)和(168,54) 问题1 本例中选取哪两个点合适？ 问题2 请计算该直线方程 设直线方程为：y=ax+b { 52=165a+b 54=168a+b { 解得： a= b=-58 所以直线方程为2x-3y-174=0 新知探究 探究点一 若两变量满足直线拟合，如何求该直线 方法二 平均点法：（1）将所有的点分成两部分，一部分是身高在165cm以下的，一部分是身高在165cm以上(含165cm)的； （2）然后每部分的点求一个平均点； （3）最后将这两点连接成一条直线. 问题1 请计算165cm以上和以下数据中两个平均值？ 165cm以下的身高，体重的平均数(取整近似)作为一个平均点，即(158,48), 165cm以上(含165cm)的身高，体重的平均数(取整近似)作为另一个平均点，即(172,56)； 问题2 请计算该直线方程 直线方程为4x-7y-296=0 新知探究 问题1 ​ 若给定的n组成对数据 (,),(,),...,(,)，我们希望找到一条直线 Y=a+bX，使得“拟合效果最好”，需满足什么条件？ 答：误差尽可能小。即使得对每一个(i=1,2,...,n)，由这个直线方程计算出来的值a+b与实际观测值的差异尽可能小 探究点二 最小二乘法 问题2 如若使问题（1）中的误差尽可能小，如何列式子？ 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题3 问题2中为什么要用平方和？ 1.避免正负误差抵消（若用绝对值，计算更复杂）； 2. 放大较大误差的影响，更严格地控制偏差。 问题4 能否用向量的方法证明问题2中的偏差，并使其最小。 答：将偏差作为向量的分量，即=() 这样，"求a,b的值，使得偏差的平方和最小"的问题就等价于：求a,b的值，使得向量的长度最小 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题4 能否用向量的方法证明问题2中的偏差，并使其最小。 = () =(,,)() =(,,)()] =(,,))] = ，均为已知向量 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题5 请利用向量的方法证明以上问题中的偏差最小。 ，其中Y就是平面α外的一个定点，点M是平面α内的一个动点 由问题4可得，"求a,b的值，使得偏差的平方和最小"的问题就等价于：求a,b的值，使得的长度最小 如图7-2，想、和确定一个平面，记作α.由平面向量的基本定理可知，对任意的a,b,都在平面α内；反之，平面α内的任意向量都可以用来表示.也就是说，当a,b变化时，=的端点M时平面α内的一个动点. 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题5 请利用向量的方法证明以上问题中的偏差最小。 要使最小，即最小，其中，由点到平面的距离的定义，当⟂α时，线段MY的长度最短，即与平面α垂直时，的长度最小。 根据线面垂直的判定定理，要是与平面α垂直，只需其与平面α内的两个不共线的向量和均垂直 求最小时的a，b的值，就是求与和的数量积分别为0时的a，b的值，即 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题5 请利用向量的方法证明以上问题中的偏差最小。 { { []·=0 []·=0 []·=0 化简，得 { －3a-b=0 －b=0 []·=0 若记，= 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题5 请利用向量的方法证明以上问题中的偏差最小。 { 如果把他的解记作，，就得到： －a =0 = ① ② ①，②两式推广到n对数据(),(),...,()仍然成立， 即 达到最小值的a,b取值 新知探究 探究点二 最小二乘法 问题5 请利用向量的方法证明以上问题中的偏差最小。 这时直线方程Y，称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图7-3)，是这个线性回归方程的系数. 其中，， 新知探究 知识点三 最小二乘法 最小二乘法：我们将Y称为Y关于x的线性回归方程，其图形相应的直线称为线性回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计， 其中= = ， =-. 注：经验回归直线Y必过点(，). 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 问题1 请根据题目画出散点图。 解：如图7-6即为所求 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 问题2 根据以上数据计算，值，并列出图表 =26+18+13+10+4=70 =20+24+34+38+50+64=230 =676+324+169+100+16+1=70 =520+432+442+380+200-64=1910 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 解：如图，表7-3，即为所求 问题2 根据以上数据计算，值，并列出图表 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 解：==70 问题3 计算x、y的平均值 ==0 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； 问题4 用最小二乘法推导Y关于X的线性回归方程 = =， -57.557 Y对X的线性回归方程Y=57.557-1.648X 例1 典例分析 在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数 Y(单位：杯)与当天气温X(单位：C)之间存在近似的线性关系。数据如表7-2. (2)如果某天的气温是一3C，请预测这天可能会卖出热茶多少杯。 解：由最小二乘法得出的线性回归方程可知，如果某天的气温是一3C，卖出热茶的杯数估计为 57.5571.648(3)62.50163 例2 典例分析 　某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温x(℃) 18 13 10 -1 用电量y(度) 24 34 38 64 由表中数据得到经验回归方程=-2x+，则当气温为-3 ℃时，预测用电量为 A.68度 B.66度 C.28度 D.12度 √ 解析 典例分析 由表中数据可知==10， ==40， 所以经验回归直线=-2x+过点(10，40)， 即40=-2×10+，得=60， 则经验回归方程为=-2x+60， 当x=-3时，=-2×(-3)+60=66. 解题 思路 求、 将x=-3,带入 求线性回归方程 例3 典例分析 某商场为了迎接暑期旅游旺季，确定暑期营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据. 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 ①画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较强的线性相关关系； 解：散点图如图所示. 从散点图上可以看出两个变量具有较好的 线性相关关系. 例3 典例分析 某商场为了迎接暑期旅游旺季，确定暑期营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据. 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 参考公式：=，=-. ②求出x，y之间的经验回归方程=x+； 例3 典例分析 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 ②求出x，y之间的经验回归方程=x+； 问题1 计算x、y的平均值 解：==4， =250 例3 典例分析 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 ②求出x，y之间的经验回归方程=x+； 问题2 根据以上数据计算值 xiyi=2×100+3×200+5×300+6×400=4 700， =22+32+52+62=74 =2+3+5+6=16 =100+200+300+400=1000 例3 典例分析 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 ②求出x，y之间的经验回归方程=x+； 问题3 用最小二乘法推导Y关于X的线性回归方程 解： = = = 70 =-=250-70×4=-30. 故所求的经验回归方程为=70x-30. 例3 典例分析 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 ③若该商场计划实际销售额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？ 解：由题意得70x-30≥600，即x≥=9， 所以若该商场计划实际销售额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用. 核心概念 课堂小结 利用最小二乘法求线性回归方程 解题思路 (1)算：计算，，， xiyi. (2)代：代入公式计算，的值. (3)写：写出经验回归方程. 教材P241练习 课后练习 感谢聆听! $