专题05 概率初步【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题05 概率初步 一．必然事件、不可能事件、随机事件 事件类别 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件 在一个装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件 在一个装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 注意： ①必然事件与不可能事件统称确定性事件； ②在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时，为什么反复提到“在一定条件下”？这是因为必然事件、不可能事件和随机事件都必须受到一定条件的制约． 二．事件发生的可能性的大小 要知道事件发生的可能性的大小，首先要确定这个事件是什么事件．必然事件一定发生；不可能事件一定不会发生；随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 注意： ①随机事件发生的可能性有大小之分，可以分为：可能性极小，不太可能，可能，很可能，可能性极大； ②必然事件是指一定能发生的事件，其发生的可能性是100%．不可能事件是指一定不发生的事件，其发生的可能性是0．随机事件发生的可能性在0，其发生的可能性是0~100%（不包括0和100%）． 三．概率 1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为．概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小． 2．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．由m和n的含义可知 ，进而有．因此，． 特别地，当A为必然事件时，；当A为不可能事件时，． 注意：试验需要有以下两个共同点： ①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； ②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． 归纳： （1）计算简单事件概率的主要类型： ①个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示结果可能出现的种类； ②面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点P，那么掷在区域A（A在S内）内的概率． （2）应用公式求概率时，应先分析事件的所有等可能的结果数及所关注的结果数，要做到不重不漏． 3．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0． 注意： ①概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小； ②概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；反之，概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小． 四．用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率． 1．直接列举法求概率：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时适用． 2．列表法求概率：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时适用． 3．画树状图法求概率：当一次试验涉及三个或更多个因素时适用． 注意： 所求概率是一个准确数，一般用分数表示． 五．利用频率估计概率 1．一个随机事件能不能发生事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出一定的稳定性．因此，做完大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率估计这个事件的概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率． 用频率估计概率时必须做足够的试验才能使频率稳定于概率，并且每项试验必须在相同条件下进行． 2．频率与概率的区别和联系： 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 注意： ①试验得出的频率只是概率的近似值； ②对一个随机事件A，用频率估计的概率不可能小于0，也不可能大于1； ③概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生． 【专题过关】 一．事件的分类（共3小题） 1．下列事件属于必然事件的是（     ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 2．下面四个事件中，不可能发生的是（     ） A．某运动员跳高的最好成绩是1.67米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 3．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．明天早晨太阳从东方升起 C．某运动员跳高成绩为20米 D．把水加热到时，水沸腾 二．判断事件发生的可能性的大小（共4小题） 4．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（     ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 5．一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（     ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 6．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（     ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 7．有四张不透明的卡片分别写有实数，，，，这些卡片除正面的数不同外其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片，抽到卡片上的数是无理数的可能性比抽到卡片上的数是有理数的可能性 （填“大”或“小”）． 三．根据概率公式计算概率（共5小题） 8．中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（     ） A． B． C． D． 9．超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是 ． 10．在句子“I Love Gao You”中，随机抽取一个字母是“o”的概率为 ． 11．在五张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是偶数的概率是 ． 12．有五张正面分别标有数字，0，2，，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作b，则使直线与x轴交于正半轴的概率为 ． 四．根据概率做出判断或求值（共5小题） 13．用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（     ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 14．某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 15．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是 ． 16．在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． （1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ （2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 17．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 五．几何概率（共3小题） 18．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 19．如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为 ． 20．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在白色区域的概率是 ． 六．运用列举法求概率（共5小题） 21．一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． （2）随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 22．某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为___________． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 23．DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：， D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 24．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 25．“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C 36% D 16% 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； （2）该校共有3500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 七．游戏的公平性（共3小题） 26．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（    ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 27．甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的3张中随机抽取一张卡片． （1）甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； （2）若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 28．如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的边界时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 八．频率与概率的关系（共3小题） 29．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（    ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 30．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是6%，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.62 D．试验得到的频率与概率不可能相等 31．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（     ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 九．用频率估计概率（共5小题） 32．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶 33．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计约有 条鱼． 34．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到0.1，袋中黑球的个数约为__________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 35．THE MONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的______， ______． （2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？ 36．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 一．必然事件、不可能事件、随机事件 事件类别 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件 在一个装有红球的袋中摸球，摸出红球 不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件 在一个装有红球的袋中摸球，摸出白球 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球 注意： ①必然事件与不可能事件统称确定性事件； ②在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时，为什么反复提到“在一定条件下”？这是因为必然事件、不可能事件和随机事件都必须受到一定条件的制约． 二．事件发生的可能性的大小 要知道事件发生的可能性的大小，首先要确定这个事件是什么事件．必然事件一定发生；不可能事件一定不会发生；随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 注意： ①随机事件发生的可能性有大小之分，可以分为：可能性极小，不太可能，可能，很可能，可能性极大； ②必然事件是指一定能发生的事件，其发生的可能性是100%．不可能事件是指一定不发生的事件，其发生的可能性是0．随机事件发生的可能性在0，其发生的可能性是0~100%（不包括0和100%）． 三．概率 1．一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为．概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小． 2．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．由m和n的含义可知 ，进而有．因此，． 特别地，当A为必然事件时，；当A为不可能事件时，． 注意：试验需要有以下两个共同点： ①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； ②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． 归纳： （1）计算简单事件概率的主要类型： ①个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示结果可能出现的种类； ②面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点P，那么掷在区域A（A在S内）内的概率． （2）应用公式求概率时，应先分析事件的所有等可能的结果数及所关注的结果数，要做到不重不漏． 3．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0． 注意： ①概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小； ②概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；反之，概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小． 四．用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性的大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率． 1．直接列举法求概率：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时适用． 2．列表法求概率：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时适用． 3．画树状图法求概率：当一次试验涉及三个或更多个因素时适用． 注意： 所求概率是一个准确数，一般用分数表示． 五．利用频率估计概率 1．一个随机事件能不能发生事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出一定的稳定性．因此，做完大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率估计这个事件的概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率． 用频率估计概率时必须做足够的试验才能使频率稳定于概率，并且每项试验必须在相同条件下进行． 2．频率与概率的区别和联系： 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 注意： ①试验得出的频率只是概率的近似值； ②对一个随机事件A，用频率估计的概率不可能小于0，也不可能大于1； ③概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生． 【专题过关】 一．事件的分类（共3小题） 1．下列事件属于必然事件的是（     ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 【答案】D． 【解析】解：A．队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件； B．掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为，不是必然事件； C．经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件； D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，这一概率值是客观必然的，始终成立，因此属于必然事件； 故选：D． 2．下面四个事件中，不可能发生的是（     ） A．某运动员跳高的最好成绩是1.67米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D． 【解析】解：A．运动员跳高成绩可能为1.67米，为可能事件； B．图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C．两条线段可能相交，为可能事件； D．因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 3．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．明天早晨太阳从东方升起 C．某运动员跳高成绩为20米 D．把水加热到时，水沸腾 【答案】A． 【解析】解：∵投掷一枚硬币，正面向上和向下都有可能发生，结果不确定， ∴A是随机事件， ∵太阳从东方升起是必然事件， ∴B不是随机事件， ∵运动员跳高20米不可能， ∴C不是随机事件， ∵水在时不会沸腾， ∴D不是随机事件． 故选：A． 二．判断事件发生的可能性的大小（共4小题） 4．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（     ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【答案】A． 【解析】解：A．水中捞月是不可能事件，可能性为0； B．守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1； C．旭日东升是必然事件，可能性为1； D．夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒ 故选：A． 5．一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（     ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A． 【解析】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 6．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（     ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C． 【解析】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 7．有四张不透明的卡片分别写有实数，，，，这些卡片除正面的数不同外其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片，抽到卡片上的数是无理数的可能性比抽到卡片上的数是有理数的可能性 （填“大”或“小”）． 【答案】小． 【解析】解：∵实数，，，四个数中只有是无限不循环小数，其他三个数是有理数，取到的数是无理数的可能性大小是：，取到的数是有理数的可能性大小是：． ∵， ∴抽到卡片上的数是无理数的可能性比抽到卡片上的数是有理数的可能性小． 故答案为：小． 三．根据概率公式计算概率（共5小题） 8．中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵总月饼数，五仁月饼有2个， ∴选到五仁月饼的概率． 故选：A． 9．超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是 ． 【答案】． 【解析】总瓶数为24，中奖瓶数为4，故中奖概率为． 故答案为：． 10．在句子“I Love Gao You”中，随机抽取一个字母是“o”的概率为 ． 【答案】． 【解析】解：从“I Love Gao You”中随机抽取一个字母，抽中字母“o”的概率为． 故答案为：． 11．在五张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是偶数的概率是 ． 【答案】． 【解析】解：数字1，2，3，4，5中，偶数是2和4，共2个； 总卡片数为5， 因此抽到的数字是偶数的概率为， 故答案为：． 12．有五张正面分别标有数字，0，2，，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作b，则使直线与x轴交于正半轴的概率为 ． 【答案】． 【解析】∵直线与x轴的交点满足， 即， 解得． 若交点在正半轴时，则， 即， ∴． ∵卡片上的数字中，大于0的有2、、4，共3个， 又∵总卡片数为5，因此概率为． 故答案为：． 四．根据概率做出判断或求值（共5小题） 13．用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（     ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C． 【解析】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C． 14．某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 【答案】2． 【解析】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 15．从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是 ． 【答案】6． 【解析】解：由题意可得：， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意， 故答案为：6． 16．在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． （1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ （2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 【答案】（1）；（2）放入了5个白色乒乓球． 【解析】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果，所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是． （2）解：设放入x个白色乒乓球， 由题意得：， 解得：． 经检验符合题意， 答：放入了5个白色乒乓球． 17．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）小颖的观点是对的，理由见解析． 【解析】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， ∴P（转出红色）， ∴P（转出数字小于7）=P（转出红色）， ∴小颖的观点是对的． 五．几何概率（共3小题） 18．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 19．如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为 ． 【答案】． 【解析】解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 20．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在白色区域的概率是 ． 【答案】． 【解析】解：飞镖落在白色区域的概率是 故答案为：． 六．运用列举法求概率（共5小题） 21．一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． （2）随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 【答案】（1）；（2）两次摸出的球上数字之和为奇数的概率为． 【解析】（1）解：∵一共有3个球，每个球被摸到的概率相同，且标有数字2的球有1个， ∴随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸出的球上数字之和为奇数的结果数有4种， ∴两次摸出的球上数字之和为奇数的概率为． 22．某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为___________． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 【答案】（1）；（2）甲和乙抽到不同人物卡片的概率为． 【解析】（1）解：∵甲抽一张卡片，可能出现的人物有3种可能性，而且每张卡片出现的可能性相等，抽到的卡片上的人物为“鲁迅”的只有1种， ∴甲抽到“鲁迅”卡片的概率为． 故答案为：． （2）解：根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC ∵共有9种等可能的结果，甲和乙抽到不同人物卡片的有6种情况， ∴甲和乙抽到不同人物卡片的概率为． 23．DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：， D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，83.5，作图见解析；（2）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；（3）． 【解析】（1）解：∵， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， ∴B组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：50，83.5； （2）解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 24．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）200，作图见解析；（2）90，90；（3）． 【解析】（1）解：本次获奖人数有：（人）， 则获得“秦九韶奖”的人数有（人）． 则 “刘徽”奖的人数为（人）， 补全条形统计图如解图所示： （2）解：根据题意得：把获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列后，位于正中间的两个数均为90分，且90分出现的次数最多， ∴获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分； 故答案为：90，90； （3）解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）． ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 25．“作学习的主人，作生活的能手”，在成都七中一年一度的学生生活技能活动中，全体学生参加包粽子的体验活动．随机调查了部分学生，对他们每个人包粽子的平均时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 4 x B C 36% D 16% 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； （2）该校共有3500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50，8%；（2）估计等级为B的学生人数为1400人；（3）． 【解析】（1）解：∵的有8人，占16%， ∴本次调查的学生总人数为人， ∵的有4人，占x， ∴， 解得：， 故答案为：50，8%； （2）该校共有3500名学生， 估计等级为B的学生人数为人； （3）画树状图如图， 共12种情况，其中抽到一名男生和一名女生的有8种， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 七．游戏的公平性（共3小题） 26．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（    ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C． 【解析】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C． 27．甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的3张中随机抽取一张卡片． （1）甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； （2）若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，理由见解析． 【解析】（1）解：1，2，3，4四张卡片中，有1，3两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由： 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 ∴共有12种可能结果，其中和为奇数的有8种，和为偶数的有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 28．如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的边界时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【答案】这个规定对小明、小丽两人公平． 【解析】解：这个规定对小明、小丽两人公平， 列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 5 4 5 6 6 由表可知：共有12种等可能结果，其中和为5的有3种结果，和为4的有3种结果， ∴小明赢的概率＝小丽赢的概率， ∴这个规定对小明、小丽两人公平． 八．频率与概率的关系（共3小题） 29．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（    ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B． 【解析】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B． 故选：B． 30．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是6%，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.62 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C． 【解析】解：A选项：中奖概率6%并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 31．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（     ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C． 【解析】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在0.8附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 九．用频率估计概率（共5小题） 32．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C． 【解析】解：A．10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B．∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为3.1，故选项正确，不符合题意； C．核桃树叶的长宽比大约为3.1，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，它的宽不一定为3cm，故选项错误，符合题意； D．∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 33．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计约有 条鱼． 【答案】2000． 【解析】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故鱼塘中估计约有2000条鱼． 34．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到0.1，袋中黑球的个数约为__________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】（1）0.4，20；（2）小明后来放进了25个黑球． 【解析】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：0.4，20； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为0.6， 设后来放进了x个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 35．THE MONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的______， ______． （2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？ 【答案】（1）0.11，33；（2）0.16；（3）抽到ZIMOMO的次数是560个． 【解析】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到LABUBU的频率稳定在0.16附近，所以抽到LABUBU的概率的估计值是0.16． （3）解：（个）， 答：抽到ZIMOMO的次数是560个． 36．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】（1）0.305，148；（2）0.3，0.3；（3）． 【解析】（1）解：，， 故答案为：0.305、148； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3； 故答案为：0.3，0.3； （3）解：∵，，， ∴． 26 学科网（北京）股份有限公司 $