5.5.2 简单的三角恒等变换（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点1 半角公式与万能公式 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃定西·期中）已知 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点2 积化和差与和差化积 1．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．24-25高一下·江西宜春·期末）若，则 ． 4． ． 知识点3 辅助角公式的应用 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·月考）函数，的值域是 4．（24-25高一下·北京房山·期中）函数的单调递减区间 ． 知识点4 三角恒等变换综合应用 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（    ） A． B．2 C．1 D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中） 的值 . 4．（23-24高一下·广东河源·月考）化简： ． 知识点5 三角形中的三角恒等变换 1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一下·浙江湖州·月考）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 4．（24-25高一下·江西南昌·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 知识点6 三角恒等变换与三角函数结合 1．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求的最大值及取得最大值时的集合． 2．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数． (1)求图象的对称中心和在上的单调区间； (2)已知，求的值． 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数为奇函数，求的最小值. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知. (1)将改写为的形式; (2)求的最小正周期，并写出单调递增区间; (3)若，求的值. 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川德阳·月考）（多选）下列关于三角恒等变换正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知函数. (1)求的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”. (1)若为函数的“平衡点对”，求的值； (2)若，当且成立时，求的最大值. 4．（24-25高三上·山东·月考）世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.5.2简单的三角恒等变换 基础达标题 知识点1半角公式与万能公式 12425高-下北咸宁期未)已知cosa-号ae(红，2到，则cos号=（) 7 2 A.22 3 D.22 3 3 【答案】D 【解析】aex,2,故号∈ π ,故cosg<0, 2 > 所以a 1+cosa 1+ 9 2√2故选：D cOS- 2 2 2 2.（2025浙江宁被模拟预）已知a为锐角，且sn6cos1a-)-oi(B-a)-号则am号-（) 4 2 号 B. c D 【答案】B 【解析】sinpcos(-B)-cosBsin(B-a)=sim5cos(a-B)+osBsin(a-P)=sina=4 a是锐角，则cosa=V-sin'a=3, 4 、tana sin0=5。=三，故选：B. 21+c0s01+ 5 3.2425高-下甘声定酒期)已年了-层，若a行小则c0e+-ma:《) 1 1 2 2 A. B.- D. sina sino sing sing 【答案】D 【解】因为经小所以（任引 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以(cosa)+f-cosa)= 1-cosa 1+cosa 1 1 tan- tan- V1+cosa V1-cosa tan 2 2 tan 1 2 2+ 2= 2 sin a sin a sa sina.故选：D 2c0s2 2 π 4.(24-25高三上安徽月考)已知， 3sin 2*a +sina-3 ,则cos2a的值为() 2 sina 5 B. 13 C.1 3 D 【答案】B 【解析】由 3sinπ +a +sina-3 2 sina 得tan2g= 3cosa +sina-3 2sincoGsin =2 2 2=1-3tan a 2 sina 2sinco 2, 2 52 2tan 则tana= “22 m2z3cos2a88882+品&=+amg-3·故远·B 2 知识点2积化和差与和差化积 2π 4π. 1.(24-25高三下·安徽安庆月考)cos +cos- -+C0 7 o6红的值为(） 7 A方 B.3 4 4 D.3 5 【答案】A 【解析】首先，我们先对cos2+cos红+c0s6红合理变形， 7 7 2π 4π 6π +COS- +COS- 生 得到cos2n+ 7 7 7 2sinπ 2/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2π 2sin cos2 +2sin cos 6 7 7 7 = 7 7 7 2sinπ 7 由积化和差公式特2ms行-n写孕+m写马-加头-m号 7 7 77 7 同理可得2sin号cos红=si如+4 +sin(-4)=sim5红-sin3 7 7 77 7 7 则2 sincos2+2 sincos4红+2 sincos6=-sin5。 7 7 7 >, 7 7 7 7 sinπ 得到 1三 2sn号 2sinπ 2’故A正确故选：A 1 2.若cosa-cosB=写则sina-p1sna+j-一 【答案】月 【解析】已知积化和差公式i=cosa+B-cosa-B] sin(c-B)sin(a+B)--(cos2a-cos2B) --(2c0sa-1-2cosiB+1)c0sB-cosa- 3 3.2425育-下江西宜春期未)若wa+引ra-）-则如a-一 【答案】 【g为m+a-)ma+a-m++】 -a引es]na-所以m2a=月 4.sin280°+sin240°-sin40°cosl0°=_. 【答案】3075 4 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】解法一：原式=cos210°+sin2(30°+10）-sin(30°+10）cos10° =c0s210°+ 20os10+5 2cos10°+V3 cosl0° =c0s10°+c0s10+5 inl0°cos10°+sin210°-1cc 3 2c0s10°- sinl0cosl0° 2 2 -m10+ams109叫- 3 解法二：原式=cos210°+cos250°-cos10°.c0s50°=(cos10°-cos50)2+cosl0°.cos50 -2sin10°+50°sin10°-50 2 2 +2[cos10e+501+cos10-50] 3 知识点3辅助角公式的应用 1.(24-25高一下·四川资阳期末)函数y=sin2x+cos(2x+π)的最小正周期为() A牙 B. C.2π D.4π 【答案】B 【解析】由y=sin2x+co2x+)=sin2-cos2x=5sn（2x-4】 所以函数的周期为T=2=元，故选：B. 2.(24-25高一下，云南保山期末)当x=0时，函数f(x=5sinx-12cosx取得最小值，则cos0=() B.一13 5 C.12 12 D. 13 13 【答案】C 【解析】f(x)=5sinx-12cosx=13 m+sr(】 13sin(x+o) 其中，cosp 3’sinp= 12 13 依题意得，fθ)=13sin(0+p)=-13,∴sin(0+p)=-1, 0+9=2m-2keZ,0=2--9,keZ, 12 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高一下·上海·月考)函数y=sinr-cosx,xe(0,π的值域是」 【答案】(-1,2 【解析】y=sinx-cosx=y e0晋（晋，则m-到9 所以函数y=sinx-cosx的值域为(-l,2 4.(24-25高一下·北京房山期中)函数f(x)=cosx+V3sinx的单调递减区间 【答案】2m+号2m+经1keZ 【解析】函数f)=cosr+V3sinr=2sin(x+), 61 由2版+号≤x+名≤2+受ke7,解得2版+号5xs2+经ke7. 6 所以所求单调递减区间是[D2a+号2+督1&e 知识点4三角恒等变换综合应用 1.(24-25高一上浙江杭州期末)若m- 3 =4,则实数m=() sinl0°cos10° A.5 B.2 C.1 D.2 【答案】C 【解析】m。 mcos10-3 sin10=4. sinl0°cosl0° sinl0°cosl0 即m cos 10°-√3sin10°=4sin10°cos10°=2sin20 =2sin30°-10°）=2sin30°cos10°-2cos30°sin10°=cos10°-√3sin10° 故m=1.故选：C 2.(24-25高-下江苏盐城月考)V5×2cos10°-cos70° -sin90°=() cos20° A.1 B.2 C.5 D.2 【答案】D 5/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解折1V5×2os10cos70°-5in90-V5×2cos10°-c0s160+109- c0s20° C0s20° =V3×2cos10°-(cos60cos10°-sin60°sin109-1=V5x 2cos10°+V3 2 sin100 --1 cos20° C0s20° √ =3×_2 cos10°+，sin10 0-1=3×0s(30°-109-1=2故选：D c0s20° cos20° 3.(24-25高一下江苏盐城期中)sin501+V3tanl0)的值 【答案】1 【解折】sin501+V5tan10）=sin50°×5sin10°+cos10e cosl0° 2sin50(cos30°sinl0°+sin30°cos10)2sin50°sin40°2sin50°cos50° cosl0° cos10 cos10o 2sin50°cos50°_sin100_sin(10°+90）_cos10 =1 cos10° cos10° cos10° cos10° 4.(23-24高下·广东河源·月考)化简： cos10(1+V3tan10°） cos70°V1+cos40 【答案】2√2 cos10°1+ V3sinl0° 【解析】由题cosl0(1+V3tanl0°） cos10° cos70°V1+cos40 sin20°V2cos220 1 =cos10+3sin 10 (2cos10+ sin10 2 √2sin20°cos20 √2 2sin20°cos20° 2 2sin30°+10） 2sin40° =22 √2 sin 40 V 2 2sin40° 知识点5三角形中的三角恒等变换 1.(2425高-下上海徐汇开学考试)在48C中，若n sinC=c0s号，则48C一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解折】由sin BsinC=-cos2号→sin sinC-1+cosA 2sin Bsin C=1-cos(B+C), 所以：cos BcosC+sin B sin C=1→cosB-C)=1. 因为B,C为三角形内角，所以B=C 所以ABC为等腰三角形.故选：A 2.(24-25高一下·浙江湖州月考)若ABC中，sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】：△ABC中，sinA+B)=sinC, :已知等式变形得sin Csin(A-B)=sin2C, :0<C(π，sinC)0, sin(A-B)=sin C=sin(A+B), 整理得sin Acos B-cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,即2 cos Asin B=0, :cosA=0或sinB=0(不合题意，舍去). “0<A<π，A=T, 2, 则此三角形形状为直角三角形.故选：A 3.(24-25高一下·安徽安庆·月考)在ABC中，已知sinB=2 sin AcosC,则ABC的形状为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.没有符合条件的三角形 【答案】C 【解析】因为sinB=2 sin AcosC,故sin(A+C)=2 sin AcosC, sin A cosC cos A sin C 2sin A cosC,sin (A-C)=0, 而-π<A-C<元，故A-C=0即A=C,故三角形为等腰三角形，故选：C 2425高一下西南昌期末)在△BC中，若sin4sinB+cosC,则△4BC是( A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【答案】C 【解析】因为cosA+B)=cos Acos B-sin Asin B 7/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos(A-B)=cos Acos B+sin A sin B 所以sin Asin-eos4+B)-cos(4-B 因为sn4sn8=1+cosC -[cos(4+B)-cos(4-B)]-(1+cosC) 又A+B=π-C,所以c0sC=-c0sA+B), 所以-2[os(A+8例-cos(A-B]=D-cos(A+B],所以cos(4-B=1 又A,B为△ABC的内角，所以A-B=0 所以A=B,故△ABC为等腰三角形.故选：C 知识点6三角恒等变换与三角函数结合 1.(24-25高一下·山东烟台月考)己知函数f(x)=sin4x+2W3 sinxcosx-cos4x. (1)求函数∫(x)的最小正周期及单调递增区间； 2)当x∈0， 时，求f(x的最大值及取得最大值时x的集合. 【答案】(1)最小正周期为刀，单调递增区间为 k-，km+ π 6 3,kez (2)最大值为2，取得最大值时x的集合为 【解析】(1)f(x)=sin'x+2V3 sinxcosx--cosx =3sin2x+(sinx+cosx)(sin2x-cosx)=3sin2x-cos2x 2sin2x- 6/1 所以(x)的最小正周期T=2=元， 2 令2版≤2x-君52m+行解得a-音≤r≤+ π 6 h 1 所以内的单词递蜡区间为红-名点+写引ke2: 61 所以当2x名子即骨时，取得最大雀2， 8/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故f(x)的最大值为2，取得最大值时x的集合为 3 2.(24-25高一下辽宁，月考)已知函数f()=cosxsin(+)-V5cosx+ +l,x∈R 4 ()求1(：)图象的对称中心和1()在[-子孕上的单调区间： ②已知宁=写ae@,,求sn2a-受的值。 7 12 【答案】0称中心为后+受eZ,递蜡区间是合原，递减区间是L子高：@1酒 50 【解析】(1)依题意，f(x)=cos.x(sinx+ 2cosx)-3cos+ 4 4 令2xkk乙，解得x石+k乙， 3 所以图聚的对称中心为停经eZ, 由xe孕、得2--8： 66 当2x-骨-.即e-子吾1时，单调递减。 3 当2x-舌-名1，即xe吾孕时，)单调递塔， 3 2’6 所以)的华调递蜡区间是[受孕、单调递减区间是-子受 2由0及r停-子，得ma-骨-手 3)=,由a(0,D),得a-号e(-3,3)， 面s如经-5，因此a-骨e0,coma-争-号 325 3 5525 3 25' 防以2a-0-ma3+孕-9ma当+owpa 4 -224Z-17N )= 22525-50 9/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高一下.贵州六盘水期末)己知函数f(x)=2cos2x+2W3 sinxcosx. (I)求函数fx)的最小正周期： 时，求函数f(x的最大值和最小值； (3)若函数gx)=f(x+p)-1为奇函数，求p的最小值 【答案】0n②f到=3，f纠a=0:⊙号 【解折11因为到=2cosx+25sx0osr=os2x+5sm2x+1=2co2r-到}+1. 所以f(x)的最小正周期T=2 =兀 a当x引际则 2 所以当2x-骨=0，即x-石时，八=3， 6 当2x-=2,即x=时，f。=0 33 （3)8l=i*pj-1=2os24x+p1-引-2m2x+20-} 若8纠为育函数，则9-否-号 tkn,keZ, 解将p-径经ke, 当长=0时，甲径当=-1时，9=音 所以网的最小值为号 4.(2526高二上湖南长沙月考)已知)=5sin2x-s加（？-2x (1)将f(x)改写为Asin(ox+p) 的形式 (2)求f(x)的最小正周期，并写出单调递增区间； 6法ae(合引fo)-号，求os2u的值 【答案】0-如2x:@n[+ka号]ce0:同2 6 10/17