贵州省毕节市七星关区毕节七中2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年贵州省毕节七中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共13小题，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为(    ) A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 2.如图，在矩形ABCD中，，以AB为边向内作正方形ABEF，连接BD交EF于点G，连接若，则的面积是(    ) A. B. 2 C. D. 3 3.下列方程中，表示关于x的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.将标有“探”“月”“工”“程”的四个小球装在一个不透明的口袋中每个小球上仅标一个汉字，这些小球除所标汉字不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的概率是(    ) A. B. C. D. 6.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.如图，下列各比例式不一定能推得的是(    ) A. B. C. D. 9.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为(    ) A. B. C. D. 10.在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数约为(    ) A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 11.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形AB边上的高CE的长是(    ) A. B. C. 5cm D. 10cm 12.如图，在矩形ABCD中，，，将沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(    ) A. 3 B. C. 5 D. 13.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是(    ) 甲 乙 如图，延长DE到点F，使，连接CD，AF， 如图，过点E作，过点A作，GE与AF交于点 A. 甲、乙的辅助线作法都可以 B. 甲、乙的辅助线作法都不可以 C. 甲的辅助线作法可以，乙的不可以 D. 乙的辅助线作法可以，甲的不可以 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 14.某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下： 投掷次数 20 40 100 200 400 1000 “投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910 “投掷到中心区域”的频率 估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______结果保留小数点后一位 15.如图，在中，，CD是高线，E是AC的中点，若，则______. 16.设、是方程的两个根，则      . 17.如图，在线段AB上有一点不与端点A、B重合且，分别以A、B为直角顶点构造两个等腰直角和，点F为边CE上一点，连接DE、DF，点M是DF的中点，连接BM，则BM的最小值是______. 三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题10分 解下列方程： ； 19.本小题10分 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2、3、3、 随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用树状图求出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率. 一次性随机抽取2张卡片，用列表法或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率. 20.本小题10分 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形 判断这个中点四边形EFGH的形状，并证明你的结论； 当AC和BD之间满足______时，这个中点四边形 EFGH是菱形． 21.本小题10分 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点 ，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式； 若，，，求BC的长． 22.本小题10分 已知关于x的方程 求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根． 是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 23.本小题10分 如今直播购物逐渐走进了人们的生活.十一期间某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，若要日销售量每增加10件，每件小商品售价就要降低5元，要求日利润保持不变，商家想尽量让利顾客，每天最少售出多少件？ 24.本小题12分 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”. 请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； 点P是关于x的一元二次方程的“两根点”. ①若点P在直线上，求k的值； ②点O为坐标原点，求当线段OP取得最小值时点P的坐标. 25.本小题14分 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且，连结AE、AF、 求证：≌； 若，请求出EF的长。 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为 故选： 先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案． 本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义． 2.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，，， 四边形ABEF是正方形，， ，， 四边形EFDC是矩形， ， 设，则， ， ，， ∽， ，即， ， ， 故选： 由矩形及正方形的性质得出，，设，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，利用三角形面积公式代入计算，即可得出答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识是解决问题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：是一元二次方程，故本选项符合题意； B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意； C.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D.整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 4.【答案】D  【解析】解：为AB的黄金分割点， ，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选： 由黄金分割的定义得，，即可求解． 此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 5.【答案】D  【解析】解：将标有“探”“月”“工”“程”的四个小球装在一个不透明的口袋中每个小球上仅标一个汉字，这些小球除所标汉字不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球， 列表格为： 第一次第二次 探 月 工 程 探 探，探 月，探 工，探 程，探 月 探，月 月，月 工，月 程，月 工 探，工 月，工 工，工 程，工 程 探，程 月，程 工，程 程，程 从不透明的口袋中随机摸出两个球，共有16种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“探月”的结果有2种， 概率是， 故选： 先根据题意求出所有等可能的结果及两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的可能结果，再利用概率公式进行计算即可． 本题主要考查且列表法或树状图计算等可能情形下的概率，正确进行计算是解题关键． 6.【答案】D  【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得： 故选： 关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额，把相关数值代入即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的． 7.【答案】C  【解析】解：连接AC， 四边形OABC是正方形， 点A、C关于x轴对称， 所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又、C关于x轴对称， 点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标 故选 根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，AC在BO的垂直平分线上，即AC的横坐标和OB中点横坐标相等，根据正方形对角线计算求C的纵坐标． 本题考查正方形的性质，以及坐标与图形性质． 8.【答案】D  【解析】解：A、，可证明，不符合题意； B、，可证明，不符合题意； C、，可证明，不符合题意； D、，不一定能推得，符合题意． 故选 根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案． 本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行． 9.【答案】D  【解析】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得： 故选： 第一天为2，根据增长率为x，得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：个， 故选： 根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 11.【答案】A  【解析】解：对角线AC，BD交于点O，则为直角三角形 则， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ， 故选： 对角线AC，BD交于点O，则为直角三角形，在中，已知AO，BO根据勾股定理即可求得AB的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得CE的长度，即可解题． 本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AB的值是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 由ABCD为矩形，得到为直角，且三角形BEF与三角形BEA全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出BD的长，由求出DF的长，在中，设，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长． 【解答】 解：矩形ABCD， ， 由折叠可得≌， ，，， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故选 13.【答案】A  【解析】解：甲的作法： 是AC的中点， ， ， 四边形ADCF为平行四边形， ， 是AB的中点， ， ， 四边形DBCF为平行四边形， ， ， ，； 乙的作法：，， 四边形ABGF为平行四边形， ，， ，E分别是AB，AC的中点， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 四边形DBGE为平行四边形， ，， ， 故选： 根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明三角形中位线定理，得到答案． 本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出将冰壶“投掷到中心区域”的概率为， 故答案为： 根据频率和概率的关系判断即可． 本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键． 15.【答案】2  【解析】解：，， 在中，CD是高线， ， 又是AC的中点， 故答案为： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了三角形的高． 16.【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ， 故答案为： 根据根与系数的关系得到，从而得解． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 17.【答案】  【解析】解：等腰直角三角形ACD和BCE， ， ， 如图所示，取DC，DE的中点Q，N，CE的中点P，连接NP，NQ，PB， ，， 四边形CQNP是平行四边形， 又， 四边形CQNP是矩形， 又是等腰直角三角形， ， 在NB上， ， 点M是DF的中点， 当F在CE上运动时，M在QN上运动， 当M点在N点时，BM最小，最小值为， 又，设，则，， ， ， 故答案为： 取DC，DE的中点Q，N，CE的中点P，连接NP，NQ，PB，证明四边形CQNP是矩形，进而证明P在NB上，则根据垂线段最短，可得当M点在N点时，BM最小，根据勾股定理即可求解． 本题考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 18.【答案】解：， ， 则， 或， 解得，； ， ， 或， 解得，  【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 利用直接开平方法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 19.【答案】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中符合题意的有5种， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中符合题意的有2种，   【解析】按照可放回式概率计算求解即可． 按照不可放回式概率计算求解即可． 此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】中点四边形EFGH是平行四边形， 理由如下： 连接AC，BD， ，F分别是AB，BC的中点， ，， 同理，，， ，， 中点四边形EFGH是平行四边形；   【解析】解：中点四边形EFGH是平行四边形， 理由如下： 连接AC，BD， ，F分别是AB，BC的中点， ，， 同理，，， ，， 中点四边形EFGH是平行四边形； 当图1中的四边形ABCD的对角线满足条件时，这个中点四边形EFGH是菱形， ，，， ， ▱EFGH是菱形， 故答案为： 连接AC，BD，利用三角形中位线定理可得，，，，，则，，从而证明结论； 根据菱形的判定可知，当四边形ABCD的对角线添加条件时，这个中点四边形EFGH是菱形， 本题考查了平行四边形和菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边平行判定；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 21.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ， ，，，， ，   【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、面积求法、以及比例的基本性质，关键是熟练掌握平行四边形的面积公式：面积=底高． 根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的面积公式：底高，可得：S▱，再进行变形即可； 把已知的数据代入得到的式子即可求解． 22.【答案】解：当时，方程变形为，解得； 当时，， ， ， 当时，方程有实数根， 无论k取任何实数时，方程总有实数根； 存在， 设方程两根为、， 则，， ，即， ，即， 解得：， 故存在实数k使方程两根的倒数和为  【解析】分类讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，得到，判断当时，方程有两个实数根；进而可证明结论. 由韦达定理可得，，令，建立关于k的方程，解答即可． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、根与系数的关系，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 23.【答案】每天最少售出40件．  【解析】解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去 件， 答：每天最少售出40件． 设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润=每件的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24.【答案】    【解析】， ， ， 或， 解得，， “两根点”P的坐标为； ①设， ， 解得， 此时关于x的一元二次方程为，方程有两个不相等的实数解， 的值为； ②设关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则， 根据根与系数的关系得，， ， 当时，有最小值， 此时方程化为， 解得，， 点P的坐标为 利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义求解； ①设，利用根与系数的关系得到，从而可求出k的值； ②设关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则，利用根与系数的关系得，，再利用两点间的距离公式得到，则，由于当时，有最小值，然后求出此时方程的解，从而得到点P的坐标． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了解一元二次方程、一次函数图象上点的坐标特征． 25.【答案】证明：四边形ABCD是正方形， ，， 在和中， ， ≌； 解：≌， ，， ， ，即，   【解析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，利用SAS定理证明结论； 根据全等三角形的性质得到，，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $