第二章 二次函数 （复习课件） 数学北师大版九年级下册

单元复习课件 第二章 二次函数 北师大版2012·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解二次函数的定义，能准确识别二次函数表达式，掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴等基本特征，能直接求简单二次函数的最值。 3.能构建二次函数模型解决复杂实际问题，能结合二次函数与一元二次方程、不等式的关联分析问题，培养数学建模、逻辑推理与综合应用能力，形成严谨的数学思维。 2. 能运用配方法、公式法求二次函数顶点坐标与最值，能结合图象分析二次函数的增减性，会解决利润、面积等简单实际应用问题，提升数形结合与运算能力。 单元学习目标 二次函数的定义 二次函数的图象与性质 二次函数的应用 二次函数与一元二次方程的关系 最大面积 最大利润 二次函数 单元知识图谱 知识点一、二次函数的定义 2.顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_________________ 求出表达式后化为一般形式. 3.交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________________, 1.一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 求出表达式后化为一般形式. 考点串讲 顶 点 式 一 般 式 交 点 式 解析式 y=ax2 y=ax2＋k y=a(x－h)2 y=a(x－h)2+k y=ax2＋bx＋c y=a(x－x1)(x－x2) 图象 （画简图） 开口 a的符号决定抛物线开口方向，a>0时，开口 ；a＜0时，开口 . 大小 ︱a︱的大小决定抛物线开口大小，当︱a︱越大，开口 ;当︱a︱越小，开口 . 对称轴 增减性 顶点 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） 代入计算 与x轴交点 （0，0） 令 y=0，计算 （h，0） 令 y=0，计算 Δ=b2－4ac （x1，0）（x2，0） 与y轴交点 （0，0） （0，k） （0，c） 最值 最小值0 最小值k 最小值0 最小值k 最小值 代入计算 a＞0 向上 y轴 向下 越小 越大 直线 x=h 直线 x= 直线 x= x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而增大 x＜h时，y随x的增大而减小 x＞h时，y随x的增大而增大 x＜ 时，y随x的增大而减小 x＞ 时，y随x的增大而增大 x＜ 时，y随x的增大而减小 x＞ 时，y随x的增大而增大 知识点二、二次函数的图象与性质 考点串讲 知识点二、二次函数的图像与性质 1.系数a的作用 （1）决定开口方向。 （2）决定开口大小。 |a|越大，抛物线的开口越小，函数值y的变化越快； |a|越小，抛物线的开口越大，函数值y的变化越慢。 （3）a相同，形状相同；反之，形状相同， |a|相等。 |a|相同的抛物线通过平移（或旋转）一定能重合。 （4）决定函数的最值情况。 考点串讲 知识点二、二次函数的图像与性质 2.系数b的作用 （1）和抛物线的对称轴（ ）有关。 当ab>0时，对称轴在y轴左侧， 当ab<0时，对称轴在y轴右侧， 当b=0时， 对称轴即为y轴。 以上结论反之也成立。 x y 0 x= - b 2a x y 0 x= - b 2a x y 0 x= - b 2a 考点串讲 知识点二、二次函数的图像与性质 3.系数c的作用： 和y轴交点的纵坐标，任何抛物线和y轴必有一个交点（0，c）。 当c＜0时，交y轴于负半轴； 当c＞0时，交y轴于正半轴； 当c=0时，图象必经过原点。 以上结论反之也成立。 y x •(0,c) 0 x y 0 •(0,0) x y 0 •(0,c) 考点串讲 知识点二、二次函数的图像与性质 4.增减性 常见作用和题型： （1）判断函数的增减性；（2）确定函数中相关字母的范围； （3）解决有关实际问题中的范围问题。（4）利用函数的增减性比较大小。 5.顶点与最值 顶点的作用： （1）利用顶点求最值是常见的方法；（2）顶点是函数增减性的分界点； （3）求抛物线关于x、y轴或某点对称的抛物 线时常借助于顶点； 6.其它 （1）几个特殊的点：（1，a+b+c），（-1，a-b+c）； （2）y=0；y＞0；y＜0问题（与一元二次方 程结合） 考点串讲 知识点三、二次函数的平移 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点串讲 知识点四、二次函数与一元二次方程组 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点 b2-4ac> 0 b2-4ac= 0 b2-4ac< 0 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个交点 有一个交点 没有交点 转化、数形结合 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的________就是方程ax2+bx+c=0的_____. 横坐标 根 考点串讲 知识点四、二次函数与一元二次方程组 ax2+bx+c=0有两个不相同的实数根 b2-4ac > 0 ax2+bx+c=0有两个相同的实数根 b2-4ac = 0 ax2+bx+c=0没有实数根 b2-4ac < 0 考点串讲 知识点五、二次函数的实际应用 1.最大面积问题 最大面积应用题的解题步骤 (1)根据要求设出自变量x，因变量y是面积； (2)列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； (3)运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出面积的最大值。 2.最大利润问题 最大利润应用题的解题步骤 (1)总利润=单利润×销售数量； (2)设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； (3)运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值. 考点串讲 知识点五、二次函数的实际应用 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集． 考点串讲 题型一、求抛物线的顶点、对称轴、最值 1.二次函数y=3x-x²中a =___, b=___, c=___ -1 3 ≠0 =0 ≠0 3.已知函数y= a x²+ bx+c(其中a,b,c是常数) (1)当a____时是二次函数 (2)当a____, b____时是一次函数 2.函数y=(m-1)x +3x+1,当m=___时,它是二次函数 m²+1 -1 0 题型剖析 考点串讲 题型一、求抛物线的顶点、对称轴、最值 4.已知抛物线y=x2-4x+3 （1）抛物线开口向_____，化为顶点式为____________. （2）抛物线的对称轴为直线__________. （3）抛物线的顶点坐标为_________. （4）该二次函数有最_____值，为______. （5）抛物线与y轴的交点坐标为___________，与x轴的交点坐标为__________________. （6）将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后解析式为_____________. （7）当-2≤x≤5时，y的最大值为______，最小值为_____________. 上 y=(x-2)2-1 x=2 (2，-1) 小 -1 (0，3) (3，0)或(1，0) y=(x+1)2+1 15 -1 题型剖析 考点串讲 题型二、二次函数的图像与性质及函数值的大小比较 1.已知抛物线y=-(x+1)²-3，当x_______时，y随x的增大而减小. ＞-1 -1 2.如图所示的抛物线： 当x=_______时，y=0； 当x＜－2或x＞0时， y_____0； 当x在____________ 范围内时，y＞0； 当x=_____时，y有最大值_____. 0或-2 ＜ －2＜x＜0 -1 3 -1 -2 y x O 3 题型剖析 考点串讲 题型三、 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系 1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a___0, b_ _0, c___0, abc___0 b 2a, 2a-b___0, 2a+b_____0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 < < > > = = < > < > 0 -1 1 -2 题型剖析 考点串讲 题型三、 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0； ②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D 题型剖析 考点串讲 题型四、抛物线的几何变换 1.把二次函数y=(x-2)2的图像，沿y轴向上 3.把二次函数___________的图像，先向右平移1个 平移3个单位，得到_____________的图像； 单位，再向下平移2个单位，得到y= x2+1的图像. y=(x-2)2+3 y=(x+1)2+3 2.把二次函数y=(x-1)2的图像，沿x轴向左平移 3个单位，得到_____________的图像； y=(x+2)2 题型剖析 考点串讲 题型五、二次函数表达式的确定 1.设抛物线y=x²+8x-k的顶点在x轴上,则k的值为( ) A.-16 B.16 C.-8 D.8 A 3.已知二次函数y=ax²+x+a(a-2)的图象经过原点,则a的值为( ) A.0或2 B.0 C.2 D.无法确定 2.将抛物线y=3x²+1绕原点O旋转180°则旋转后的抛物线的解析式为 ( ) A. y=- x²+1 B. y=- x²-1 C. y=-3x²-1 D. y=-3x²+1 1 3 1 3 C C 题型剖析 考点串讲 题型五、二次函数表达式的确定 4.已知抛物线顶点为(3，2)，经过点(2，-1). 求抛物线的解析式； 解：∵抛物线顶点为(3，2)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+2. 将点(2，-1)代入y=a(x-3)2+2， 解得a=-3， ∴抛物线解析式为y=-3(x-3)2+2. 题型剖析 考点串讲 题型五、二次函数表达式的确定 5.已知二次函数的图象经过点(1,-4) ,(4,5) ,(-1,0), 求这个抛物线的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为ｙ=ax2+bx+c 将三点(1,-4) ,(4,5) ,(-1,0)的坐标分别代入解析式，得 解这个方程组，得 ∴这个抛物线的解析式为y=x2-2x-3 题型剖析 考点串讲 　 方法技巧 求抛物线解析式的三种方法 方法 适用条件及求法 一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数的解析式为 ，将已知三个点的坐标分别代入所设解析式中 ，求出a、b、c的值. 顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，将已知条件代入所设解析式中，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式. 交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数的解析式为 ，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入所设解析式中，求出待定系数a，最后将表达式化为一般式 . 题型剖析 题型六、二次函数与一元二次方程 1. 如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（5，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　　） A．x≤﹣1或x≥5 B．2≤x≤4 C．﹣1≤x≤5 D．x≤2或x≥4 C 2. 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为 （　　） A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7 D 题型剖析 考点串讲 题型六、二次函数与一元二次方程 3.抛物线y=3x²-x+4与坐标轴的交点个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 D 4.若关于x的一元二次方程x²-x-n=0没有实数根则 抛物线y=x²-x-n的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 题型剖析 考点串讲 题型七、二次函数的实际应用 1.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的一边为xm， 则平行于墙的一边为(60-2x)m. ∴S=x(60-2x)=-2x2+60x 60-2x ∵0＜60-2x≤32 ∴14≤x＜32 ∵a=-2＜0，∴S有最大值 当x= =15时，Smax=450m2. 答：当长为30m，宽为15m时，面积最大，为450m2. 题型剖析 考点串讲 题型七、二次函数的实际应用 题型剖析 2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，涨价多少元才能使利润最大？ 涨价销售 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 考点串讲 题型七、二次函数的实际应用 题型剖析 2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，涨价多少元才能使利润最大？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. ∵a=-10＜0，∴y有最大值. 考点串讲 题型七、二次函数的实际应用 题型剖析 3.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． 考点串讲 题型七、二次函数的实际应用 题型剖析 解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30. （2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30. ∴S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450. （3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a= ＜0,15＜20＜30， ∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150. 考点串讲 题型八、二次函数的综合应用 题型剖析 1.如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋C经过点 (－1，－4)，则下列结论中错误的是 ( ) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1 考点串讲 题型八、二次函数的综合应用 题型剖析 2.已知二次函数 。 (1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的变化情况； (2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积． 解:(1)y＝x2－4x＋3 ＝x2－4x＋4－1 ＝(x－2)2－1， ∴其图象的顶点C的坐标为(2，－1)， ∴当x<2时，y随x的增大而减小； 当x>2时， y随x的增大而增大。 (2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. ∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)． ∴AB＝2，过点C作CD⊥x轴于点D， 则△ABC的面积＝1. 考点串讲 题型八、二次函数的综合应用 题型剖析 4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式． 考点串讲 题型八、二次函数的综合应用 题型剖析 解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3， 解得a＝－1， 故抛物线解析式为 y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴抛物线的顶点坐标为(2，1)； (2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单 位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点 为(0，0)落在直线y＝－x上． 考点串讲 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式是否正确. (1)a＜0，b＞0，c＞0. (3)2a+b＜0. (2)b2-4ac＞0. (4)a+b+c=n. (5)a+2b+4c＞0. (6)对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立. (7)关于x的方程：ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根. √ √ × √ √ √ √ 针对训练 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解:因为抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同 即a=1或－1 又因为顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,－5) 所以其表达式为: (1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5 (3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5 针对训练 3.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM，BM. (1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ABM的形状，并说明理由； (3)把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点． 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 ✅ 知识构建：二次函数 1. 理解二次函数定义与表达式，认识图象基本特征； 2. 掌握函数性质及最值求解方法，能解决简单实际问题； 3. 关联相关知识，提升二次函数综合应用能力。 ✅ 思想方法： 数形结合思想：借助图象直观理解函数增减性、最值，结合表达式分析图象特征，建立数与形的关联；化简函数表达式中，初步体会转化思想，将复杂形式转化为简单形式。 转化思想：构建模型求解；分析含参数函数问题时，运用分类讨论思想，按参数取值范围探究函数性质，提升问题解决能力。。 分类讨论思想：精准分析问题本质，培养逻辑推理与综合应用能力，形成严谨的数学思维。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! (2)△ABM为直角三角形．理由如下： 由(1)知抛物线解析式为y＝x2－1，可得M点坐标为(0，－1)， ∴AM＝，AB＝＝＝3， BM＝＝2， ∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2， ∴△ABM为直角三角形； (3)当抛物线y＝x2－1平移后顶点坐标为(m，2m)时，其解析 式为y＝(x－m)2＋2m，即y＝x2－2mx＋m2＋2m， 联立y＝x，可得 消去y整理可得x2－(2m＋1)x＋m2＋2m＝0， ∵平移后的抛物线总有不动点， ∴方程x2－(2m＋1)x＋m2＋2m＝0总有实数根， ∴Δ≥0，即(2m＋1)2－4(m2＋2m)≥0， 解得m≤，即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点． $