吉林省长春市赫行实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子正确的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.在中，，若的三边都放大2倍，则的值(    ) A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置.已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点A的对应点到AB的距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，点，，将线段AB平移得到线段若，，则点C的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是      . 10.一个扇形的半径为9，弧长为，则该扇形的圆心角为      度. 11.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是      . x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 12.如图1是液体沙漏的截面示意图数据如图，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时       13.如图，在中，AE平分，D是BC的中点，，，，则DE的长为          . 14.如图，在中，，，D是BC上一点，连接AD，过B作交AD延长线于E，连接则下列结论：①；②；③；④若D是BC的中点，F是AB上一动点，连接DF，EF，，则的最小值是其中正确结论的序号是      . 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 解方程： ； 16.本小题6分 一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格： 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 摸到白球的频率 当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______结果精确到左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是______； 从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率. 17.本小题6分 2025年泡泡玛特推出拉布布系列，“拉布布”公仔爆红.据统计“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件，该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ 18.本小题7分 如图，在锐角三角形ABC中，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分 求证：∽ 当，求的值. 19.本小题7分 某校组织开展“创客”知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题： 组别 成绩分 频数 A a B 12 C 8 D 6 表中______； 请补全频数分布直方图； 该校共有300人参加竞赛，若成绩在80分以上的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？ 20.本小题7分 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹 在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2；请画出放大后的 在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得 在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得∽ 21.本小题8分 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④ 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； 观察上述解法，直接写出结果：______； 试用小明的方法求解出的结果； 根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长. 22.本小题9分 [学习心得] 宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易， 例如：如图1，在中，，是外一点，且，求的度数.若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______； [初步运用] 如图2，在四边形ABCD中，，，求的度数； [方法迁移] 如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得不写作法，保留作图痕迹； [问题拓展] ①如图4①，已知矩形ABCD，，，点M为边CD上的一点. 若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______. ②如图4②，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长， 23.本小题10分 如图1，在矩形ABCD中，，，连接AC，与重合，将绕点A顺时针方向旋转，连接BE， 旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______. 如图2，当点E落在对角线AC上时，求BE的长. 连接试探究能否构成以CF为直角边的若能，直接写出线段CF的长；若不能，请说明理由. 24.本小题12分 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的任意一点不与点C重合，且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分包含端点记为图象 求抛物线的解析式及点C的坐标； 当时，y的取值范围是______； 当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4； 当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，请直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、，故A不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选： 根据算术平方根的意义对A项进行判断，利用二次根式的加减法法则对B项和C项进行判断，利用二次根式的乘法法则对D项进行判断即可． 本题考查了算术平方根，二次根式的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：抛物线解析式为， 二次函数图象的顶点坐标是 故选： 根据顶点式可直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标对称轴，最大最小值，增减性等． 3.【答案】C  【解析】解：把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形， 的大小不变， 的值不变， 故选： 根据三边成比例的两个三角形相似可得把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形，从而可得的大小不变，即可解答． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以a可以取 故选： 利用根的判别式的意义得到，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5.【答案】A  【解析】解：过点作于H点，如图， 绕点O旋转到的位置， 米， 在中，， 米， 即旋转后点A的对应点到AB的距离为 故选： 过点作于H点，如图，利用旋转的性质得到米，然后根据正弦的定义求出即可． 本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题 6.【答案】A  【解析】解：过点C作轴于点H，如图所示： 则， 点，， ，， ，， ，， ， ， ∽， ， ， ，， 点C坐标为， 故选： 过点C作轴于点H，先证明∽，根据相似三角形的性质可得求出点C的坐标即可． 本题考查了坐标与图形的变换-平移，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：A、根据平行线的性质得，故，故此选项错误； B、根据平行线的性质得，故，故此选项错误； C、根据平行线的性质得，故，故此选项错误； D、根据平行线的性质得故，故此选项正确． 故选： 根据平行线的性质一一分析． 本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法． 8.【答案】B  【解析】解：如图所示，若，则， 故A不符合题意； 如图所示，若，则或， 故C不符合题意； 如图所示，若，则， B符合题意，D不符合题意； 故选： 根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 9.【答案】3  【解析】解：由题意得，， 解得， 故答案为： 根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 10.【答案】20  【解析】解：设扇形圆心角的度数是，由弧长公式得， ， 故答案为： 设扇形圆心角的度数是，由弧长公式得到，求出n的值，即可得到扇形圆心角的度数． 本题考查弧长的计算，熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】，  【解析】解：当和3时，， 方程的根是：，， 故答案为：， 观察表格，找出使方程左右两边相等的x的值，根据方程解的定义进行解答即可． 本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 12.【答案】  【解析】解：如图2，连接AB，作于点F，交AB于点I， ， ∽，， ， ， 由图1和图2可知，，，， ， 故答案为： 连接AB，作于点F，交AB于点I，由，证明∽，，则，所以，根据题意求得，，，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 13.【答案】2  【解析】解：如图，在中，AE平分，延长BE、AC交于点F， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， 点D是BC的中点， 是的中位线， 故答案为： 首先延长BE、AC交于点F，可证≌，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点D是BC的中点，可证DE是的中位线，根据中位线的性质可得DE的长度． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 14.【答案】①②③  【解析】解：，， ， 又， ， 故结论①正确，符合题意； ， ∽， ， ，， 故结论②正确，符合题意； ， ∽， ， 在中，，， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； 如图，作E关于AB的对称点，连接，交AB于点O，连接，， 则，，当D、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 过作于H，则， 在中，，，， ， 为BC的中点， ， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ，即， ，， ， ， ， ，则， ， ，， ，， 则，， ，，则， 在中，由勾股定理得：， 故的最小值为， 故结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确结论的序号为①②③， 故答案为：①②③． 根据垂直定义和三角形的内角和定理，结合等角的余角相等可判断①；证明∽得到，，可判断②；证明∽得到，结合等腰直角三角形的性质可得，进而可判断③；作E关于AB的对称点，连接，，则，当D、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，连接交AB于点O，过作于H，则，利用等腰直角三角形的性质求得，然后利用勾股定理，结合已知求得，则，再利用相似三角形的性质求得，，，最后利用锐角三角函数分别求解，，，然后利用勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，轴对称-最短路线问题，熟练掌握相似三角形的性质和锐角三角函数是解答本题的关键． 15.【答案】，  ，  【解析】解：， ， ，； ， ， ， ， ， ， 利用因式分解法解方程即可； 配方法解方程即可； 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16.【答案】，；    【解析】当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；； 故答案为：，； 由得摸到白球的概率率为， 所以可估计口袋中白球有个，蓝球的个数有1个； 将第一个口袋中3个白球分别记为，，，蓝球记为B，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种． 摸到1个蓝球、1个白球的概率为 根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为； 先利用画树状图法展示所有16种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，掌握上述内容是解题的关键． 17.【答案】月平均增长率是  【解析】解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：月平均增长率是 设月平均增长率是x，根据“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18.【答案】证明：以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ， ， ， 平分， ， ∽； 解：∽， 而， ，   【解析】首先利用作图证明，然后利用等腰三角形的性质得到，再利用角平分线的性质得到，由此即可证明结论； 首先利用相似三角形的在可以得到，然后利用已知条件即可求解． 此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法解决问题． 19.【答案】解：； 补全频数分布直方图如图所示： ； 人， 答：估计该校参赛学生成绩达到“优”等的有195人．  【解析】解：人， ， 故答案为：14； 补全频数分布直方图如图所示： ； 人， 答：估计该校参赛学生成绩达到“优”等的有195人． 组的频数为12人，占总数的，可求出参赛学生总人数；减去其它几个组的频数，即可求出a的值； 根据各组的频数，即可补全频数分布直方图； 求出C组所占的百分比，即可求出C组对应的圆心角的度数． 本题主要考查频数分布直方图、频数分布表的制作方法，从统计图表中获取数量和数量之间的关系式解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 20.【答案】      【解析】解：如图所示； 点M如图所示； 点D如图所示． 根据位似图形的定义，延长CA到点，使得，延长CB到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为1：2，所以即为所求； 在点C的左侧作水平线段个单位长度，连结AC，在BC上取点N，使个单位长度，过点N沿格点线作，交AB于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得，所以点M就是所求的点； 过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，BF与AC交于点D，则，同时可证得，由此即可证明∽，所以点D就是所求的点． 本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 21.【答案】10000；   50；   757  【解析】观察上述解法，直接写出结果，  10000， 故答案为：10000； ， 故答案为：50； 根据题意可知，拼割前后两个图形的面积不变， 正方形的边长， 大正方形的边长为 观察上述解法，直接写出结果， 10000； 由所给的规律，可知，即可求解； 根据拼割前后两个图形的面积不变，可得正方形的边长，再由的规律求解即可． 本题考查数字的变化规律，根据所给的等式，探索出一般规律，并灵活应用规律解决问题是解题的关键． 22.【答案】45；   ；   见解答过程；   ①；②  【解析】是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； 如图2，取BD的中点O，连接AO、CO， ， ，， ， 点A、B、C、D共圆， ， ， ； 作图如下： 由图知，；同理， ①在BC上截取，连接AF，以AF为直径，交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作于H且交圆于G，过G作的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接OA、OB、OC， ， 在中，， ， ，O为圆心， ， 在中，，， 在中，，， ， 由圆周角定理可得出答案； 取BD的中点O，连接AO、由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可； ①在BC上截取，连接AF，以AF为直径，由图形可知，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接OA、OB、由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 23.【答案】，，；   BE的长为；   CF的长为或  【解析】解：四边形ABCD是矩形，，， ，，， ， 与重合， ，，，， 将绕点A顺时针方向旋转时，，， ，是等腰三角形， 旋转， ， 又， ∽， ， 故答案为：，，； 如图所示， ，，， ， 在中，， 由可得，， ； 能，或，理由如下： 第一种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形， 由可得，∽，， 设，， 旋转， ，，， 是等腰三角形， 过点A作于点H，交EF于点K， ， ， ， ∽， ， 点K是EF的中点， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，点K是EF中点， ， 在中，， ， 整理得，， 解得，负值舍去， ； 第二种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形， 与重合， ，，，， ，是等腰三角形， ， 过点A作于点G， ，， 四边形AEFG是矩形， ， ； 综上所述，能构成以CF为直角边的，线段CF的长为或 根据矩形，旋转的性质即可得到，是等腰三角形，再证∽，得到即可求解； 根据题意，； 分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形AEFG是矩形，由此即可求解． 本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 24.【答案】；    或  的取值范围为或  【解析】解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，得：， 点C的坐标为， 故答案为：； 抛物线解析式为， 对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， 离对称轴越远，函数值越小； 在中， 当时，得：， ， 当时，函数的最小值为，最大值为9，即； 由得抛物线的顶点坐标为， 在中， 当时，得：， 解得：或， 当时，图象G的最大值为9，最小值为， ， 解得：或， 时，图象G的最大值与最小值的差为4； 当时，图象G的最大值为9，最小值为5， 图象G的最大值与最小值的差为4； 当时，图象G的最大值为，最小值为5， ， 解得：不合题意，舍去， 当时，图象G的最大值为5，最小值为， ， 解得：或不合题意，舍去， 综上所述，当或时，图象G的最大值与最小值的差为4； 的取值范围为或理由如下： 当直线恰好经过点C时，则， 解得：， 此时图象G与直线有且只有一个公共点C，如图1， 当直线恰好经过点P时，则， 解得：或舍去， 此时图象G与直线有且只有两个公共点，如图2， 当直线恰好经过抛物线的顶点时，则， 解得：， 此时图象G与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段PC有交点不包括端点时，此时满足图象G与直线有且只有一个公共点， ， 解得：不合题意，舍去， 当时，若直线与线段PC有交点不包括端点时，此时满足图象G与直线有且只有一个公共点， ， 解得：； 综上所述，当或时，图象G与直线有且只有一个公共点． 利用待定系数法求解即可； 把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； 当时，图象G的最大值为9，最小值为，当时，图象G的最大值为9，最小值为5，当时，图象G的最大值为，最小值为5，当时，图象G的最大值为5，最小值为，据此分别建立方程求解即可； 求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $