16.3.2.1完全平方公式（教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式，通过回顾平方差公式及应用实例，结合图形面积计算问题导入新知，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接整式乘法的知识脉络。 其亮点在于运用几何直观（如大正方形分割验证(a + b)²）和推理意识（如推导(-a - b)²与(a + b)²的关系），课堂小结系统梳理公式及变形。学生能深化公式本质理解，教师可借助丰富实例与变式训练提升教学效率。

16.3.2完全平方公式 第十六章整式的乘法 人教版2024·八年级上册 第1课时　完全平方公式 学 习 目 标 1 2 3 理解完全平方公式(a + b)2=a2 + 2ab + b2 经历探索完全平方公式的过程,了解完全平方公式的几何背景 ． 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理 ． 进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识,感悟数形结合思想 ． a2 − b2; (a+b)(a−b)= 平方差公式 公式结构特点： （1）左边：两数和、两数差的乘积 （2）右边：两数平方差（相同项平方减相反项平方） 由下面的两个图形你能得到那个公式？ 知识回顾 b a a b a a-b b (a+b)(a−b) a2 − b2; 知识回顾 用平方差计算: (1) (-3x + 4y2)(-4y2 -3x) (2) (x-2)(x2+4)(x+2)(x4+16) 练一练 解：(1) 原式＝(-3x+4y2)(-3x-4y2) ＝(-3x)2 －(4y2) 2 ＝9x2 －16y4 (a+b)(a-b)=a2-b2 公式中的a 公式中的b (2) 原式＝(x2－4)(x2+4)(x4+16) ＝(x4－16)(x4+16) ＝x8－256 x2－4 你能计算图1和图2的面积吗？ b a a b b a b a 图 1 图2 思考: 新知导入 新知探究 探究点1 完全平方公式 议一议 根据乘方的意义,我们知道: a2=a · a，据此计算下列各式,你能发现什么规律? （1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________； （2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ； （3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ； （4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________. p2 + 2p + 1 m + 2 m + 2 m2 + 4m + 4 p – 1 p – 1 p2 – 2p + 1 m – 2 m – 2 m2 – 4m + 4 单项式×单项式 多项式×多项式 单项式×多项式 6 新知探究 探究点1 完全平方公式 议一议 =p2 + 2·p·1 + 12 = m2 + 2·m·2 + 22 =m2 – 2·m·2 + 22 都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘 右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍 需要计算的算式有什么特征？结果是几项式，有什么特征？ （1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1 （2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4 （3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1 （4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1 = p2 – 2·p·1 + 12 两项乘积的2倍 新知探究 探究点1 完全平方公式 议一议 (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 上面的几个运算都是形如(a ± b)2的多项式相乘,那么(a ± b)2应该写成什么样的形式呢? (a ± b)2的运算结果有什么规律? 两个数和的平方等于它们的平方和，加上它们的积的2倍 两个数差的平方等于它们的平方和，减去它们的积的2倍 新知探究 探究点1 完全平方公式 归一归 具有与此相同形式的多项式相乘,可以直接写出运算结果 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 完全平方公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 是多项式乘法 (a+b)·(p+q) 中 p = a，q = b 的特殊情形. 用文字叙述： 字母表示： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 新知探究 探究点1 完全平方公式 议一议 首平方，尾平方，积的2倍放中央 ①积为二次三项式 ②积中两项为两数的平方和 ③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同 ④公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式 完全平方公式的特点： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2 注 意 两数和（或差）的平方 与公式中a对应的项 与公式中b对应的项 写a2±2ab+b2的形式 计算结果 2x m ab 3 c （2x）²+2•（2x）•3+ 4x²+12x+ m²+2•m•+ m²+m+ （ab）²-2•（ab）•c+ a²b²-2abc+ 新知探究 探究点1 完全平方公式 做一做 利用(a ± b)2的运算结果完成下列填空 典例分析 探究点1 完全平方公式 例 1.(教材 P115 例 3 )运用完全平方公式计算: (1) (4m + n)2； (2) 解：(1) (4m + n)2 = (4m)2 + 2·(4m)·n + n2 = 16m2 + 8mn + n2 分析：(1) a = ___，b = ____ (2) a = ___，b = ____ 4m n y (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 新知探究 探究点2 完全平方公式几何验证 议一议 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ b b a a (a+b)² a² b² ab ab (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 a2 b2 2ab 直接求 间接求： 议一议 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ 新知探究 探究点2 完全平方公式几何验证 b b a a (a+b)² ① a² ④b² ②ab ③ab 方法一: 图中大正方形的边长为 a + b,面积就是(a + b)2 方法二: 大正方形可以分成 ①②③④四个部分, 它们的面积分别为 a2 ， ab ， ab ， b2. 因此,整个面积为： a2 + ab + ab + b2＝a2 + 2ab + b2． 由方法一、方法二可得: 　 (a + b)2 ＝a2 + 2ab + b2． a a (a-b)² a² ab ab b b b² 新知探究 探究点2 完全平方公式几何验证 议一议 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ (a －b)2 = a2 － 2ab + b2 (a - b)2 a2 b2 2ab 直接求 间接求： 15 b b a a (a－b)² ① ④b² ②ab ③ab 方法一: 图中正方形的边长为 a – b ,面积为 (a – b)2． 方法二: 把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 a2减去右边和上边两个长为a ,宽为 b 的长方形面积之和,即 2ab,此时重复减了正方形 ④ 的面积,即 b2 ,应将其补上,也就是a2 – 2ab + b2． 由方法一、方法二可得: 　 (a – b)2＝a2 – 2ab + b2． 新知探究 探究点2 完全平方公式几何验证 议一议 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？ 例2.要给一边长为a米的正方形桌子辅上正方形的桌布,桌布的四周均超出桌面0.1米,问需要多大面积的桌布. 解:由题意知,桌布是边长为(a+0.2)米的正方形,故面积为: (a+0.2 )2 = a2 +0.4a+0.04(平方米) 答:所需桌布的面积为a2 +0.4a+0.04(平方米) 典例分析 探究点2 完全平方公式几何验证 新知探究 探究点3 完全平方公式变式 议一议 （1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？ (–a – b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 或 （2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？ (a – b)2 = [–(b – a)]2 = (b – a)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 （3）(a – b)2 与 a2 – b2 相等吗？ (a – b)2 = (a – b)(a – b) a2 –b2= (a + b)(a – b) 相等 相等 不相等, 只有当 b ＝０ 或 a =0时, (a – b)2 = a2 – b2 观察下列各式，他们能应用完全平方公式计算吗？ = (b – a)2 (a + b)2 ＝ (– a – b)2 (a -b)2 ＝ (b–a)2 18 例3.指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12; 典例分析 探究点3 完全平方公式变式 典例分析 例4　运用完全平方公式计算：　 (1) 1022； (2) 992 . 解：(1) 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2×100×2 + 22 = 10000 + 400 + 4 = 10404 (2) 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2×100×1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801 通过合理变形，利用完全平方公式，可以简化运算. 方法总结： 两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或m＝ －61. 例5 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 典例分析 拓展提升 1. 利用乘法公式计算: ⑴－ ；⑵－101×99 ; ⑶－2026×4050＋． 解 ⑴原式 ＝ ＋ ＝ －2×200×2＋ ＋ ＋2×200×2＋ ＝8000 8 ; ⑵原式 ＝ － (100+1 )(100-1 ) ＝ －400＋ － ＋1＝－395 ; (3)原式 ＝ －2×2026×2025＋ ＝＝1． 方法总结 完全平方公式的变式： （1）x2＋y2 ＝(x–y)2＋2xy ＝(x+y)2–2xy， (2) (x–y)2 ＝(x+y)2–4xy. (3)4xy＝(x+y)2–(x–y)2 2.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy与x2＋y2的值． 解：∵(x＋y)2＝25， ∴x2＋2xy＋y2＝25.① ∵(x－y)2＝9， ∴x2－2xy＋y2＝9.② 由①－②，得4xy＝16.∴xy＝4. 由①＋②，得2x2＋2y2＝34. ∴x2＋y2＝17. 拓展提升 拓展提升 3.(1)先化简,再求值: (12b－4－ ) ÷2ab －,其中 a ＝１ , b ＝２． 解: ＋b ( 2 a ＋ b ) ＝ －2ab ＋ ＋2ab ＋ ＝ ＋2 ． ∵ ＋ 2 － 1＝0 , ∴ ＋2＝１ ∴原式 ＝1． (2)已知 ＋ 2 － 1＝0 ,求＋b ( 2 a ＋ b )的值 ． 解: (1b－4－6a ) ÷2ab － ＝6－2ab－ － ( －2ab ＋ ) ＝6－2ab－3 － ＋ 2ab － ＝ － ． 当 a ＝1, b ＝2 时,原式 ＝5× －4× ＝－11． 拓展提升 4.把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为 a , b ( a ＞ b )的小长方形(如图 ① ),再展开还原(如图 ② ),沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(如图 ③ ) ． (1)猜想: ① 图 ③ 中间小正方形的边长为 ; (用含 a , b 的式子表示) ② 根据材料,直接写出式子 ab , , 之间的等量关系: ；　 a － b ＝＋4ab 　． 拓展提升 4.把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为 a , b ( a ＞ b )的小长方形(如图 ① ),再展开还原(如图 ② ),沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(如图 ③ ) ． ＝＋4ab 　． (2)应用:若 x ＋ y ＝8, x y＝3 ,求的值 ． (3)拓展:若＋ ＝8 ,求 的值 ． (2)由(1)可知＝ ＋4xy, 所以－ 4xy ＝ －4×3 ＝64－12 ＝52． 拓展提升 4.把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为 a , b ( a ＞ b )的小长方形(如图 ① ),再展开还原(如图 ② ),沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(如图 ③ ) ． ＝＋4ab 　． (3)拓展:若＋ ＝8 ,求 的值 ． (3)设 ＝ a , ＝ b , ∴ a ＋ b ＝ ＋ ＝ －5＋ ＝－2 , ＋＝8． ∵＝ ＋２ab ＋ , ∴ab ＝ [－ (＋)] ＝ [－8 ] ＝ × (4－8 )＝－2． 即 的值是 －2． 新知巩固 1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(a + b)2 ＝ a2 + b2； （2）(a – b)2 ＝a2 – ab + b2. 解：（1）原式 = a2 + 2ab + b2 （2）原式 = a2 – 2ab + b2 教材P115练习 新知巩固 2. 运用完全平方公式计算： （1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2； （3）(–2x + 5)2； （4） 解：(1) (x + 6)2 = x2 + 2·x·6 + 62 = x2 + 12x + 36 教材P116练习 (2) (y – 5)2 = y2 – 2·y·5 + 52 = y2 – 10y + 25 新知巩固 2. 运用完全平方公式计算： （1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2； （3）(–2x + 5)2； （4） 教材P116练习 (3) (–2x + 5)2 = 52 – 2·2x·5 + (2x)2 = (5 – 2x)2 = 25 – 20x + 4x2 新知巩固 3. 运用完全平方公式计算： （1）982； （2）70.52 . 解：(1) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2×100×2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604 (2) 70.52 = (70 + 0.5)2 = 702 + 2×70×0.5 + 0.52 = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25 教材P116练习 真题感知 1.(25-26八年级上·北京·月考 )已知，A=2，B=比较A与B的大小，并说明理由． 解：∵A-B=(2)-() = 2- = ∴A＞B 真题感知 2.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( ) A. ab B. (a+b)2 C. (a-b)2 D. a2-b2 图1 图2 a b 4ab (a+b)2 C (a+b)2-4ab =a2+2ab+b2-4ab =(a-b)2 课堂小结 p=ɑ q=-b p=ɑ q=b 完全平方公式 (ɑ+b) (p+q) =ɑp+ɑq+bp+bq 平方差公式 (ɑ+b) (ɑ-b)= 多项式与多项式相乘 数形结合 类 比 ɑ2-b2 (ɑ+b)2= ɑ2+2ɑb+b2 (ɑ-b)2= ɑ2-2ɑb+b2 转 化 (ɑ+b)2=(-ɑ-b)2 (ɑ-b)2=(b-ɑ)2 课后练习 2. 运用完全平方公式计算： （1）(2a + 5b)2； （2）(4x – 3y)2； （3）(–2m – 1)2； 解：(1) 原式 = (2a)2 + 2·2a·5b + (5b)2 = 4a2 + 20ab + 25b2 （5）632； （6）852 . （4） 习题16.3 教材P117 (2) 原式 = (4x)2 – 2·4x·3y + (3y)2 = 16x2 – 24xy + 9y2 (3) 原式 = (2m + 1)2 = (2m)2 + 2·2m·1 + 12 = 4m2 + 4m + 1 (4) 原式 课后练习 2. 运用完全平方公式计算： （1）(2a + 5b)2； （2）(4x – 3y)2； （3）(–2m – 1)2； （5）632； （6）852 . （4） 习题16.3 教材P117 (5) 原式 = (60 + 3)2 = 602 + 2×60×3 + 32 = 3600 + 360 + 9 (6) 原式 = (80 + 5)2 = 802 + 2×80×5 + 52 = 6400 + 800 + 25 = 7225 课后练习 解：原式 = (2x + 3y)2 – [(2x)2 – y2] = (2x)2 +2·2x·3y + (3y)2 – (2x)2 + y2 = 12xy + 10y2 4. 先化简，再求值： (2x + 3y)2 – (2x + y)(2x – y)，其中 当 时， 原式 习题16.3 教材P117 课后练习 6. 如图，一块直径为 (a + b) cm 的圆形钢板，从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆，求剩下的钢板的面积. a b 答：剩下的钢板的面积是 cm2. 解: ＝ 习题16.3 教材P117 课后练习 7. 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a2 + b2 的值. 解： a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab = 52 – 2×3 = 25 – 6 = 19 习题16.3 教材P117 ∴(a + b )2=25 ∵a + b = 5 即：a2 + b2 + 2ab=25 ∵ab = 3 ∴a2 + b2 =25- 2ab=25 – 6=19 方法一 方法二 解： 感谢聆听! $