4.2.1等差数列的概念（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的定义、等差中项、通项公式及判定方法，通过天坛石板数、女装尺码等生活实例导入，从数列与函数的联系切入，结合例题辨析定义，推导公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以“数学眼光”观察生活实例抽象概念，“数学思维”通过累加法推导公式和构造法判定培养推理能力，“数学语言”用符号和表格精准表达。采用实例导入、分层例题和变式训练，帮助学生建立知识体系，教师可直接用于课堂提升教学效率。

4.2.1 等差数列 第1课时 数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们理解函数的一般概念，了解函数变化规律的研究内容（单调性、奇偶性等），通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。 类似的，在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的同项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义和应用。 下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手--等差数列。 2 实例1 ：北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。 3 实例2 ：XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 实例3 ：测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25，24，23，22，21 ③ 5 +9 +9 +9 +9 +9 +9 这表明该数列有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81. 换一种写法使数列取值规律更突出 an+1－an=9(n∈N*) 或an－an－1=9(n≥2) a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9， +9 +9 +9 实例2，实例3都有同样的数字规律 发现有什么规律 课时目标 通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 体会等差数列与一次函数的关系. 掌握等差数列的判断与证明方法. 【文字语言】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，其中这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示. 【符号语言】 ； 或 . 一.等差数列定义 【例1】判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0， 3，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…. (1)是，a1=1，d=2； (2)是，a1=9，d=3 ； (3)不是； (4)是，a1=7，d=0； (5)不是. 一.等差数列定义 首项和公差是等差数列的基本量. 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 课本P15 一.等差数列定义 注意： 1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0,与n无关. 一.等差数列定义 11 （1）一个等差数列最少需要几项？ (2) 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项. 等差中项 思考： 由等差数列的定义，可知 二.等差中项 例2：已知三个数的和为18，且这三个数组成公差为3 的等差数列，求这三个数.（等差中项的理解和应用） 分析：三个数成等差数列，可采用对称的设法：a-d、a、a+d . 解：设所求三个数为：a-3、a、a+3， 由题意可知：(a-3)+a+(a+3)=18； 则 3a = 18 ∴a = 6 ∴所求三个为：3、6、9. 二.等差中项 练习1.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为(　　) A.1 B.6 C.-6 D.-3 二.等差中项 14 练习2：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列。 解法一：设这个等差数列，公差为 由，即：，解得： ∴插入的这三个数为： 、14、 基本量法 二.等差中项 练习2：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列。 解法二（等差中项法）：设这个等差数列为 则： ∴插入的这三个数为： 、14、 二.等差中项 思考：若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ an+1-an=d a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法1： 由等差数列的定义可得 an+1-an=d 等差数列的递推公式 不完全归纳法 它就是等差数列的通项公式！ 三.等差数列的通项公式 注：不完全归纳法得出的结果不一定正确，是需要证明的。 “在数学中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。” 卡尔•弗里德里希•高斯 三.等差数列的通项公式 ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 累加以上n-1个式子, 得 an-a1=(n-1)d 累加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 an+1-an=d ∴ an=a1+(n-1)d 三.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d a1,an,n,d 知三求一 am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d am=? an-am =? d= 三.等差数列的通项公式 当m=1时：an＝a1＋(n－1)d. 1.从函数的角度来看等差数列通项公式： 所以等差数列通项公式也可以表示为： 三.等差数列的通项公式 ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线 f(x)＝dx＋(a1－d)上. (k＋b) k an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d) ②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b, f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}， 其首项为________，公差为____. 等差数列与一次函数的关系 1 2 5 a1 x f(x) O 3 4 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 三.等差数列的通项公式 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 相同点 联系 定义域为，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为，图象是一条直线 等差数列的通项公式与一次函数解析式都是自变量的一次整式. an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 三.等差数列的通项公式 1 2 a1 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) 1 2 a6 x f(x) O 3 4 5 6 a1－d a5 a4 a3 a2 a1 f(x)＝dx＋(a1－d) 结论：等差数列{an}的单调性与公差d有关. ①当d＞0时， 等差数列{an} 单调递增; ②当d＜0时， 等差数列{an}单调递减； ③当d＝0时， 等差数列{an}为常数列. 三.等差数列的通项公式 例3.（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项 解: 三.等差数列的通项公式 例4. －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解. 解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4， 所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1. 令－4n－1=－401，解得n=100. 所以，－401是这个数列的项，是第100项。 求通项公式 代入验证 三.等差数列的通项公式 例5.在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d . 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得： 解法1：由题意得： ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。 三.等差数列的通项公式 例5.在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d . 解法2：由题意得： ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 三.等差数列的通项公式 例6.数列中，若，求数列的通项公式。 构造等差数列法 解： ∴ 是公差为，首项为的等差数列。 四.等差数列的判定 变式1：数列满足，且，求数列的通项公式。 解：∵= 4 ∴是公差为4，首项为1的等差数列。 ∴ ∴ 构造等差数列法 四.等差数列的判定 变式2：数列满足，求的通项公式。 解：记，则 ∴ 为等差数列。 ∵ ，∴公差为： ∴ 构造等差数列法 四.等差数列的判定 例7.已知数列{an}满足a1=2，an+1=. (1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an. （1）数列是等差数列，理由如下：∵a1=2，an+1=，∴==+，∴-=，即数列=， 公差为d=的等差数列. （2）由(1)可知=+(n-1)d=，∴an= ，n∈N*. 构造等差数列法 四.等差数列的判定 解： 构造等差数列法 四.等差数列的判定 变式1： 变式2：a1=4，an=4(n>1)，记bn=”. (1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式. （1）bn+1-bn= -= - = - = = . 又b1= = ，∴数列{bn}是首项为的等差数列. （2）由(1)知bn= +(n-1)× = .∵bn=，∴an=+2 = +2. ∴数列{an}的通项公式为an= +2，n∈N*. 构造等差数列法 四.等差数列的判定 变式3.已知数列{an}满足(an+11)·(an1)=3(anan+1)，a1=2，令bn=. (1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式. （1）∵== ，∴bn+1bn= ，又b1==1，∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列. （2）由(1)知bn= n + ，∴an-1= ，∴an= ，n∈N*. 构造等差数列法 四.等差数列的判定 例8.已知数列满足且. （1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式. 解： （1）（法一）由，可得 ， 所以数列为等差数列，且公差为1. （法二）∵ ，又 ， ∴ ，∴ ， ∴ 数列为等差数列，且公差为1. 构造等差数列法 四.等差数列的判定 例8.已知数列满足且. （1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式. 解： （2）因为是公差为1的等差数列，且 ， ∴ ， ∴ . 构造等差数列法 四.等差数列的判定 构造等差数列法 四.等差数列的判定 变式1： 例9.已知数列{an}满足2an+(n-1)an-1=nan+a1(n∈N*，且n≥2)，证明：数列{an}为等差数列. 证明:将2an+(n-1)=nan+a1(n≥2)中的n替换为n+1得 2an+1+nan=(n+1)an+1+a1. 两式相减并整理得(n-1)an+1=(2n-2)an-(n-1)·an-1(n≥2)， 即(n-1)an+1-(n-1)an=(n-1)an-(n-1)an-1，由n≥2得an+1-an=an-an-1， 即2an=an+1+an-1(n≥2).故数列{an}为等差数列. 四.等差数列的判定 判定等差数列常用的方法 （1）定义法：（常数）为等差数列。 （2）等差中项法： 为等差数列。 （3）通项公式法：，为常数，）为等差数列。 四.等差数列的判定 一个定义，两个公式， 两种思想， 一种应用 四.等差数列的判定 5,16,16,28,32,51,39,26,38,40 3.已知各项均不为零的数列 满足 ，且当 时， 有 = . (1)证明： 是等差数列； (2)问： 是否为数列 中的项？说明理由. 4.已知数列 满足，且 ( ，且 )． (1)求证：数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式，并判断144是否是该数列中的项． $