4.1数列的递推公式及前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的递推公式和前n项和公式，通过斐波那契兔子繁殖问题、谢尔宾斯基三角形分形图案等情境导入，衔接复习回顾的数列概念、单调性等旧知，搭建从通项公式到递推关系的学习支架。 其亮点在于融合数学史与分形几何情境，引导学生用数学眼光观察现实规律，通过对比辨析递推公式与通项公式的异同，推导前n项和与通项的关系，培养数学思维。典例涵盖累加法、累乘法等方法，配合目标检测，助力学生用数学语言表达规律，教师可借助丰富情境和分层练习提升教学效率。

第四章 数列 人教A版选修第二册 4.1 数列的概念 第2课时 数列的递推公式和 前n项和公式 复习回顾 数列的概念 数列的相关概念 数列 项 数列的分类 按项的个数 有穷数列 无穷数列 按项的变化趋势 递增数列 递减数列 常数列 数列与函数的关系 数列的表示方法 有序性 可重复性 列表法 图象法 数列的通项公式 函数 数列 定义域 解析式 值域 R或R的非空子集 正整数集（或它的有限子集） 的取值集合 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成值域. 复习回顾 与函数类似，我们可以定义数列的单调性. 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列. 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 常数列 各项都相等的数列叫做常数列. 复习回顾 周期数列 从某一项开始，每隔固定项数就重复出现的数列叫做周期数列. 数列的单调性的符号表示： 为递增数列； 为递减数列； 为常数列. 复习回顾 学习目标 1.了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确他们的异同； 2.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和公式求出数列的通项公式. 意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题： 如果 1对兔子每月能生一对兔子（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生一对兔子，假定在不死的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对兔子长大，有3对兔子。如此推算下去，我们可以得到一个表格： 初生兔子 成熟兔子 兔子总数（对） 第1月 第2月 第3月 第4月 长大 生 生 第5月 1+0=1 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 长大 斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，... ...... 此数列的递推公式 环节一 创设情境，引入课题 环节一 创设情境，引入课题 思考：已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…你能用数学语言 归纳出后一项与前两项的关系吗？ 具体内容参考课本P10-P11阅读材料 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列 雪花的周长比地球直径大？详解分形几何的奥秘 欣赏科普视频：谢尔宾斯三角形的分形艺术 大家所熟悉的游戏动画，如何产生三维既视感，这就是得益于谢尔宾斯三角形。 三角形的美不仅仅是稳定性！ 环节一 创设情境，引入课题 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 例4 （1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （4） 着色三角形的个数 1 3 9 27 取值规律 因此，这个数列的一个通项公式是 . 环节一 创设情境，引入课题 题中数列的项的取值规律并不是很明显，遇到此种情况，该如何处理呢？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 环节一 创设情境，引入课题 观察图中的4个图形，你还能发现这个数列的项的其它取值规律吗？ （1） （2） （3） （4） 1 3 9 27 3倍 3倍 3倍 从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 环节一 创设情境，引入课题 你能用数学语言描述这一规律吗？ （1） （2） （3） （4） 1 3 9 27 环节一 创设情境，引入课题 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 仅由数列的递推公式是否可以确定数列？ 不能，还需知道数列的首项或前项. 用递推法求数列的项 知道数列的首项或前项 知道数列的递推公式 递推的基础 递推的依据 环节二 抽象概念，内涵辨析 例如： 数列的递推公式与通项公式的关系 类别 递推公式 通项公式 区别 联系 表示与它的前一项（或前几项）之间的关系 表示与序号之间的关系 ①都是表示数列的一种方法； ②由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式. 环节二 抽象概念，内涵辨析 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解： 由题意可知 ， ， ， ， . 环节二 抽象概念，内涵辨析 环节二 抽象概念，内涵辨析 小结　已知数列递推公式求数列各项时，依次将项数n的值代入即可． 练 习1： 学以致用 教材P8 2. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课本P8 学以致用 教材P8 教科书第9页习题4.1第5题 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 学以致用 教材P8 教科书第9页习题4.1第5题 环节二 抽象概念，内涵辨析 练 习4： 周期数列： 0 环节二 抽象概念，内涵辨析 类比函数周期性： 证明如下： 练习1 环节二 抽象概念，内涵辨析 环节二 抽象概念，内涵辨析 练习2 √ 环节二 抽象概念，内涵辨析 练习3 数列的前项和 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 数列的前项和的定义 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 数列的前项和公式 环节二 抽象概念，内涵辨析 数列的前项和 数列的前𝑛项和与通项有何联系？ 所以 环节二 抽象概念，内涵辨析 当时，， 例2： 已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 当时，， 并且当时，依然成立. 所以 的通项公式是 . 环节二 抽象概念，内涵辨析 解： 由求的步骤： 01 当时，由，求得. 02 当时，由，求得. 03 检验：若符合，则合并通项公式；若不符合，则用分段形式表示通项公式. 环节二 抽象概念，内涵辨析 环节二 抽象概念，内涵辨析 例3：已知数列{an}的前n项和公式为Sn =2n2－n＋1，求{an}的通项公式. 解：（1）当 n ≥ 2 时， 故数列{an}的通项公式为 当n = 1时， 不符合上式 强调：(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2), 但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*). (2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示. 环节二 抽象概念，内涵辨析 练习1 环节二 抽象概念，内涵辨析 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an. 当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1， 又a1=7不适合上式，所以an= 练习2. 环节三 典例应用，举一反三 由于通项公式直接反映了an与n之间的关系,而递推关系则是直接反映相邻项之间的关系，间接表示数列，故，我们往往要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列． 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 注意验证 时是否满足. 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 例4 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求数列{an}的通项公式． 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 例4 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求数列{an}的通项公式． 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 练习1 解：an＋1－an＝ln (1＋)＝ln ＝ln (1＋n)－ln n， a2－a1＝ln 2， a3－a2＝ln 3－ln 2， …， an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)， 以上各式相加得，an － a1 ＝ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln (n－1)]. 所以an＝2＋ln n(n≥2).因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n． 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 练习2.已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+ (n≥2)，求an. 解：因为an=an-1+-(n≥2)，所以an-an-1=-(n≥2). 所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(-)+(-)+…+(-)+1=-+1. 又当n=1时，a1=1也符合上式，所以an=-+1，n∈N*. 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 解析　∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0， 练习3 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 练习4.已知数列满足，，求数列的通项公式. 取倒数 解：∵，∴， 即 则， . 环节三 典例应用，举一反三 一累加法求通项公式 练习4.已知数列满足，，求数列的通项公式. 取倒数 ∴， 即∴，即， ∴ 故数列的通项公式是 注意验证 时是否满足. 环节三 典例应用，举一反三 二累乘法求通项公式 环节三 典例应用，举一反三 二累乘法求通项公式 例5:已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式. 解：由递推式可得 ∴数列的通项为 . n∈N* 把以上n-1个式子相乘得 又 a1 = 1满足上式 总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an , 即 时，可用累乘法求通项公式. 环节三 典例应用，举一反三 二累乘法求通项公式 【练习1】已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则an等于( ) A.n+1 B.n C. D. 解:由题意，因为数列{an}满足an+1=an=， 所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=. 当n=1时，a1=1满足上式，所以an=(n∈N*). 环节三 典例应用，举一反三 二累乘法求通项公式 解： 环节三 典例应用，举一反三 三已知Sn求通项公式an 例6：已知数列{an}的前n项和为Sn, a2=4, Sn=(n∈N*), 求数列{an}的通项公式an . 解: 当n=2时, S2=a1+a2=, ∴a1+4=6, ∴a1=2. 当n≥2时, Sn-Sn-1= − = an, ∴an=na1=n×2=2n(n≥2). ∴ • • •…• = • • •…• =n , ∵a1=2满足上式 , ∴an=2n. 环节三 典例应用，举一反三 三已知Sn求通项公式an 练习1.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3，求{an}的通项公式． 环节三 典例应用，举一反三 三已知Sn求通项公式an 练习2. 环节三 典例应用，举一反三 练 习 1 例7 环节三 典例应用，举一反三 练 习 1 环节三 典例应用，举一反三 练 习 2 环节三 典例应用，举一反三 例8.在数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是 A.105 B.106 C.107 D.108 √ an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下， 对称轴为n=-==7，∵n是整数， ∴当n=7时，数列取得最大值， 此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3=108. 数列的概念 数列的递推公式 定义 数列的递推公式与通项公式的关系 数列的前项和 定义 公式 与的关系 环节四 小结提升，形成结构 1、在各项均为正数的数列中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【解析】 由题意知，，整理得 ，所以， 又，所以. ∵ ，所以 . 环节五 目标检测，检验效果 2、已知数列的前项和，则该数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 【解析】 当， 当， ，不符合上式. 所以数列的通项公式为. 环节五 目标检测，检验效果 3、如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成. 【解析】 可得第个图形中火柴棒的根数为. 通过观察可以发现：第个图形中，火柴棒的根数为（ ） ⋯ A. B. C. D. 环节五 目标检测，检验效果 4、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数，第个三角形数为. 记第个边形数为以下列出了部分边形数中第个数的表达式： 三角形数 ， 正方形数 ， 五边形数 ， 六边形数 ， ⋯ 可以推测的表达式，由此计算 1000 环节五 目标检测，检验效果 【解析】 观察和前面的系数，可知的系数依次增加了，的系数依次减少了. 设， 观察所给表达式可得数列的通项公式为， 的通项公式为， 则故 ， 所以 . 环节五 目标检测，检验效果 5、已知数列满足，写出该数列的前5项，并归纳出它的通项公式. 【解析】 由题意得，，， ， ， . 故数列的前5项依次为，，，，. 环节五 目标检测，检验效果 由于 ，，，，， 故数列 的一个通项公式为 . 由和递推公式可知， 是确定的， 又∵ ， 满足推导公式， ∴ 就是通项公式. 环节五 目标检测，检验效果 Lavf58.28.100 Lavf57.76.100 vid:e707ccc7f1434077a9dbbb3d7d11a881 a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 练一练2：在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项． 解析：　a1＝2，a2＝3， 解析：∵a1＝1，an＋1＝aeq \o\al(2,n)－2an＋1＝(an－1)2， ∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列， ∴a2 020＝a2＝0. 周期数列的定义：若数列{an}满足an+k=an(n∈N*，k∈N*)，则数列{an}具有周期性，k为数列{an}的一个周期。 例1.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝aeq \o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，则a2 020＝________. 发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6， ∵an＋2＝an＋1－an， ∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an. ∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an. ∴数列{an}是周期数列，且T＝6. ∴a2 026＝a337×6＋4＝a4＝－1. 问题.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 026项是多少？ 解析：a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1， a7＝1，a8＝2，… (2)数列{an}满足a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，其前n项的积为Tn，则T2 025＝(　　) A．1 B．－6 C．2 D．3 【解析】　由题意a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，故a2＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，因此数列{an}是周期数列，且周期是4，而a1a2a3a4＝1，所以T2 025＝T2 024×a2 025＝a1＝2. 例2.数列{an}满足an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)＜an＜1，))a1＝eq \f(3,5)，则数列的第2 026项为________． 解析：由已知可得，a2＝2×eq \f(3,5)－1＝eq \f(1,5)，a3＝2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5)，a4＝2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,5)，a5＝2×eq \f(4,5)－1＝eq \f(3,5)， ∴{an}为周期数列且T＝4， ∴a2 026＝a506×4＋2＝a2＝eq \f(1,5). ＋…＋(－)， 解：∵an＋1－an＝－， ∴a2－a1＝－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…， an－an－1＝－(n≥2，n∈N*)， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(1－)＋(－)＋…＋(－)， 即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*). ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*). ∵当n＝1时，a1＝－1也符合上式， ∴an＝－，n∈N*. 即an－a1＝1－(n≥2，n∈N*). ∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N*). ∵当n＝1时，a1＝－1也符合上式， ∴an＝－，n∈N*. 【变式】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋ eq \f(1,n) )，求数列{an}的通项公式. ∴当n≥2时，eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1))) ∴eq \f(1,an)＝n＋1，∴当n≥2时，an＝eq \f(1,n＋1). ∵a1＝eq \f(1,2)也符合上式，∴an＝eq \f(1,n＋1)(n∈N*). 2.已知各项不为0的数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则an＝________. 练习2 在数列{an}中，已知a1＝1，＝，求{an}的通项公式． 因为＝，所以＝，＝，…，＝， 则an＝××…××a1＝(n＋1)·2n-2， 当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n-2. [解]　因为2Sn＝3n＋3， 所以2a1＝3＋3，故a1＝3. 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得,2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1(n≥2)，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,3n－1，n≥2.)) 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝(　　) A．40 B．35 C．5 D．12 解析　数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5.所以an＋1＝5，故a8＝5.故选C. 【变式2】已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝4n+3，求an. 例4.已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝____________________. 解析：当n＝1时，a1＝1.因为a1a2a3…an＝n2(n∈N*)， 当n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2， 两式相除得an＝eq \f(n2,（n－1）2)(n≥2，n∈N*)．所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n2,（n－1）2)，n≥2，n∈N*.)) 例2： 已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，求an. 解：当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)， 得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq \f(n－1,3)， 两式相减得3n－1an＝eq \f(n,3)－eq \f(n－1,3)＝eq \f(1,3)，则an＝eq \f(1,3n). 当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)，满足an＝eq \f(1,3n)，所以an＝eq \f(1,3n). $