广东省河源市部分学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期中考试数学科参考答案 1． 选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B A C D A B 二、填空题 11. 　　 ．12.　15　 ．13.　AB=BC（答案不唯一）　 14.　　 15.　（﹣18，0）或（，0）　 16.解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； ②，等式的右边没有除以2；..................................................2分 （2）2x2﹣8x＝﹣4， x2﹣4x， x2﹣4x+44， （x﹣2）2， x﹣2＝±， 即x﹣2＝，x﹣2＝- x1＝2，x2＝2..................................................7分 17.解：（1）该车停放在标号为偶数停车位的概率为＝；.........................................2分 （2）画树状图如下：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为．..................................................7分 18.（1）选①AE＝DE．..................................................1分 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF，AB＝DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDF＝90°， ∴四边形ABDF是矩形； ②∵BF＝BC，∠BDC＝90°， ∴CD＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴AB＝DF，AB∥DF， ∵∠BDF＝180°﹣∠BDC＝90°， ∴四边形ABDF是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC＝90°， ∴∠BAE+∠ADB＝∠ABE+∠DBE＝90°， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠ABE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴∠DE＝BE＝AE， ∵AB∥CE， ∴∠BAD＝∠ADE，∠ABE＝∠DFE， ∴△ABE≌△DFE）AAS）， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是矩形；..................................................4分 （2）解：∵四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF， ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝DF＝CD＝3， ∴CF＝DF+CD＝3+3＝6， 在Rt△BDC中，BC＝AD＝5，CD＝3， ∴BD4， ∵AB∥CF， ∴SBD（AB+CF）4×（3+6）＝18， ∴四边形ABCF的面积S等于18．..................................................7分 19.（1）由表格可知，vt＝30， ∴求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式为v．..................................................3分 （2）当t时，v36． 答：它的平均速度是36km/h．..................................................6分 （3）根据题意，得80， 解得t， 答：行驶时间应不少于h．..................................................9分 20.证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝AB＝AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠EAB＝∠EBA＝60°， ∴∠DAE＝∠EBC， ∴△DAE≌△CBE（SAS）， ∴DE＝CE；..................................................4分 （2）①解：∵△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，∠EAB＝∠B＝∠E＝60°， ∵筝形ADOK≌筝形BCPF≌筝形EGQH， ∴BC＝BF＝EG＝EH＝AD＝AK， ∵折叠后是一个三棱柱， ∴四边形ODCP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形，DO＝PC＝PF＝QG＝QH＝OK， ∴∠ADO＝∠AKO＝90°， 在Rt△AOD和Rt△AOK中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）， ∴∠OAD＝∠OAK＝30°， 设OD＝x，则AO＝2x， ∴ADx， ∴DC＝AB﹣2AD＝12﹣2x（0＜x＜2）； ∴该纸盒底面的边长为12﹣2x（0＜x＜2）.................................................9分 21.任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠GBA＝∠FBC ∵∠FCB＝∠GAB＝90°， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得BC＝1.3． 由题意，得FC∥DE， ∴∠EDB＝∠FCB，∠CBF＝∠DBE， ∴△BFC∽△BED， ∴， 即， 解得DE＝2.1． 答：灯光反射到墙面上的高度ED为2.1m．；..................................................4分 问题解决2：如图， ①将平面镜放在E处， ②人CD走到适当的地方：刚好能从平面镜E中看到旗杆的顶部A， ③测出人的高度CD＝a，人到平面镜的距离DE＝b，平面镜到旗杆底部的距离EB＝c， ④计算出旗杆的高度：∵△CDE△ABE， ∴， 所以旗杆的高度AB．..................................................9分 22.解：（1）①当m＝﹣3，n＝4时，OA＝3，OB＝4． 根据线段平移的性质，BC＝OA＝3． ∴点E坐标为（4，3）． ∵由反比例函数表达式得k＝xy＝4×3＝12． ∴反比例函数y的表达式为y．.................................................3分 ②法一： ∵点P1（a，y1）、P2（a+1，y2）、P3（a+2，y3）都在反比例函数y的图象上， ∴y1，y2，y3， ∵， ∵（a+1）2＝2+2a+1，a（a+2）＝a2+2a， ∴1， ∴y1+y3＞2y2． 法二： ∵点P1（a，y1）、P2（a+1，y2）、P3（a+2，y3）都在反比例函数y的图象上， ∴y1，y2，y3， ∴ ∴ ∵a＞0，∴＞0，＞0，∴＞0 ∴y1+y3＞2y2． 法三：如图，分别过点作x轴的垂线，交x轴于,连接并延长交于点K，过点作x轴的平行线，分别交、于点 可得， ∴ ∴可得是△的中位线 ∴即 ∴ ∵ ∴y1+y3＞2y2．..................................................8分 （2）法一：如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点P． ∴DP∥y轴． ∴∠AOB=∠DPB，∠OAB=∠PDB ∴△AOB∽△DPB ∴． ∵OB＝n，OA＝﹣m，BP＝xD﹣n，DP＝yD． ∴． ∵点C在反比例函数y的图象上，同理（1）可得点C的坐标为（m，﹣n）． ∴k＝﹣mn． ∴． ∴xD． ∴BP＝xD﹣OB． ∵OA∥BC，OA＝BC． ∴四边形OABE是平行四边形． ∴AB＝OC． ∴． 故的值为定值． 法二：过点D作DP⊥x轴，设BP=a，DP=b ∴DP∥CB ,OC∥DB ∴∠COB=∠DBP，∠OBC=∠BPD ∴△CBO∽△DPB ∴即 ∵点C、D在反比例函数y的图象上 ∴-mn=（n+a）b，整理得 ∴由可得，整理得 解得 ∴∴． 故的值为定值．..................................................13分 23.（1）解：四边形ABCD是“等分对角四边形”．理由如下： 如图1，连接AC， 在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA， ∴AC平分∠DAB，∠BCD， ∴四边形ABCD是“等分对角四边形”；..................................................3分 （2）解：CF＝EF； 证明：∵四边形ABCD是“等分对角四边形”，AC是“等分线”， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA， 在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（ASA）， ∴AD＝AB，CD＝CB， ∴AC⊥BD， ∵△EAC∽△BAD， ∴， ∴AC＝AE，∠EAF＝∠CAD， ∴∠EAF＝∠CAF， 在△AEF与△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴CF＝EF；..................................................8分 （3）解：由（2）得AC⊥BD，AE＝AC，EF＝CF， ∴AF⊥EC， ∵四边形BFCO是“等分对角四边形”，BC是“等分线”， ∴∠OBC＝∠FBC，∠OCB＝∠FCB， ∵BC＝BC， ∴△OBC≌△FBC（ASA）， ∴BO＝BF， ①当AD∥EC时，如②，连接BE， ∵AE＝AC，AB＝AD，∠EAB＝∠CAD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∵AD∥EC， ∴∠DAO＝∠ACE， ∵△EAC∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ADO， ∴∠ADO＝∠DAO， ∵∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠ADO＝∠DAO＝45°， ∴△AFC与△AOD是等腰直角三角形， ∵∠AFC＝∠AOB＝90°，∠CAF＝∠BAO， ∴△AOB∽△AFC， ∴， ∴， ∵∠BAC＝∠OAF， ∴△ABC∽△AOF， ∵△ACF为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴S△ABE＝S△ADC＝S△ABC＝2S1， 又∵， ∴， ∴，即 ； ②当CD∥AE时，如图③，连接DF并延长交AE的延长线于点G，则∠DCF＝∠GEF， ∵DO＝BO， ∴S△AOD＝S△AOB，S△FOD＝S△FOB， ∴S△ADF＝2S1， ∵CF＝EF，∠CFD＝∠EFG， ∴△CDF≌△EGF（ASA）， ∴DF＝GF， ∴S△CDF+S△AEF＝S△EGF+S△AEF＝S△AFG＝S△ADF， ∴S2＝S△CDF+S△AEF+S△ADF＝2S△ADF＝4S1，即 ； 综上所述，为或4．.................................................14分 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/18 8:52:22；用户：曾文波；邮箱：orFmNtxCkjZJSL1B5jClu3YrSVAs@weixin.jyeoo.com；学号：30481443 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上学期九年级期中考试数学科试题 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1.如图所示，该几何体的主视图是(） 正面 A. B. 2.已知关于x的方程x2+x+3=0的一个根为x=1,则实数的值为() A.4 B.-4 C.3 D.-3 3.若点(3，-4)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则该图象也过点（) A.(2,6)B.(3,4) C.(-4,-3)D.(-6,2) 4.若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=10,b=4,c=5,则d是() A.8 B.0.5 C.2 D.20 5.课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2+▲x-5=0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面 四位同学的观点中正确的是() A.无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B.无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C.无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D.因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 6.在2025年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为8678人，第四场比赛到场观赛人数为 14266人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为x,则可列方程为() A.8678(1+x)2=14266B.8678(1+2x)=14266C.8678x2=14266D.8678(1+x2)=14266 7.下列命题是真命题的是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.矩形的对角线相等且互相平分 D.平行四边形的对角线平分对角 8.身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m,则旗杆高为() A.14米 B.16米 C.18米 D.20米 9.如题9图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分△CEG) 是A1BC的面积的，已知BC=3,则△ABC平移的距离BE为 A.1.5 B.3 C.3 D.1 10.如题10图，反比例函数y=k(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A,BC边与y轴交于点D,若正方 形OABC的面积为12，BD=2CD,则k的值为() A.3B.18C.16D.10 5 5 3 4 题9图 题10图 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 山.号则 b 1 12.在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机 摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子 中白球的个数是 13.已知，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O.若增加一个条件，将它边的数量关系 特殊化，可使AC⊥BD,则增加的一个条件可以是 。.(写出一个即可) 14.如题14图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,利用圆规在AC上截取CD=CB,在AB上截 取AE=AD,点E就是AB的黄金分割点.若AB=2,则AE的长为 y↑ C D A、 B E 题14图 题15-1图 题15-2图 15.海螺有一定的数学形态美我们把它抽象出来变成数学中的一个小模型：如题15-1图，若点H在△ABC 的边AB上，且满足∠ACH=∠B(或∠BCH=∠A),则称满足这样条件的点H为△ABC边AB上的“海 螺点”.如题15-2图，直角坐标系中，点A(-1,0),B(2,0),C(0,4),在x轴上存在点H 使点A为△BCH边BH的“海螺点”，则点H的坐标为_ 三.解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16.小颖在解方程2x2-8x+4=0时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程：2x2-8x+4=0 解：2x2-8x=-4,…① x2-4x=-4,…② x2-4x+4=-4+4,…③ (x-2)2=0,…④ x-2=士0，…⑤ x1=x2=2…⑥ (1)小颖的解答过程从第几步开始出错，其错误的原因是什么： (2)请你写出此题正确的解题过程， 17.“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育 活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程（依次记为A,B,C,D),若该校小丽和小慧两 名同学随机选择一个板块课程. (1)小慧选择科普活动课程的概率是 (2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率。 18.如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90°，E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F, 连接AF. (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程： ①AE=DE;②BF=BC;③AE=BE. (2)若四边形ABDF是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积. 2 四。解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19.问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法.小聪搜集 了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v(h)与行驶时间t(h)的数据如下表. 建立模型： (1)根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v(a/)是行驶时间t()的函数.求 v(auh)与t(h)之间的函数关系式： 小型车辆 行驶时间t 平均速度 (h) (km/h) 个抓拍B点 抓拍A点 A 0.5 60 B 0.3 100 0 测速区间 0.6 50 起点 D 0.4 75 后台数据中心 问题解决： (2)若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为二，求它的平均速度； 6 (3)已知该测速区间限速要求不超过80/h,小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 20.综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片ABCD的边长为I2,在正方形ABCD内部作等边三角形ABE,连接DE,CE. (1)求证：DE=CE. (2)如图2，在等边三角形ABE的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起， 做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）·该纸盒的高为x,用含x的代数式表示该纸盒底 面的边长，并直接写出x的取值范围. E H G D C B 21.根据背景素材，探究解决问题. 图1 图2 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线 分别位于法线两侧；入射角i等于反射角，这就是光的反射定律 问题解决1：如图2，如图，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木 板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，距离地面的高度AG=1.4,到平面镜的水平距离AB=2.6, 手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，点F到地面的 高度CF=0.7,墙到木板的水平距离为CD=2.6,已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中 点A,B,C,D在同一水平面上. 法线 入射光线 反射光线 反射面 墙 、、F 光的反射定律 木板B 图1 地面D C 平面镜 图2 任务1：求灯光反射到墙面上的高度ED 3 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆AB垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标 杆比人高)、平面镜. 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆AB的高度的方案（不能攀 登旗杆)，画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、b、c…表示，在示意 图上标注)，并根据你的测量方案，计算出旗杆AB的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）· B 77777777777777 五.解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.如图1，在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为(0，)，B点坐标为(，0)，将线段OA沿着线 段AB平移得到线段BC,连接OC,反比例函数y=二的图象经过点C. (1)①若m=-3,n=4,求反比例函数y=二的表达式： ②在①的条件下，若点B(a,)、P,(a+1,)、P(a+2,)都在反比例函数y=k的图 象上（其中a>0)，判断+y与2y2的大小关系，并说明理由： (2)如图2，延长4B交反比例函数y-冬的图象于点D,试探究器的值是否为定值，若是，请求出： 12 若不是，请说明理由； D 0 中 图1 图2 23.定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角 线叫做这个四边形的“等分线”， (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,试判断四边形ABCD是否为“等分对角四边 形”，并说明理由： (2)如图②，四边形ABCD是“等分对角四边形”，AC是“等分线”，AC,BD交于点O,E是AC 下方一点，且△EAC∽△BAD,延长AB交CE于点F,猜想CF与EF的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在(2)的条件下，连接OF,若四边形BFCO是“等分对角四边形”，BC是“等分线”， 当四边形ADCE的一组对边平行时，记△AOF的面积为S1,四边形ADCB面积为S2,求兰的值 0 D D B B E 图① 图② 图③