精品解析：福建省龙岩市武平县第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

武平三中2025～2026学年第一学期期中检测 九年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（    ） A. B. C. x D. 1 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 8. 已知二次函数的部分与的值如下表： … 1 2 4 … … 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是_________． 12. 已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 13. 如图，将绕点A旋转到，，，则____°． 14. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人． 15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 16. 二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有_________． 三、解答题（共86分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1）2（x－1）2＝18； （2）x2－2x＝2x＋1 18. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，，． （1）点B关于x轴对称的点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）经过A、两点的直线相应的函数表达式是______． 19. 如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 21. 商场购进某种新商品每件进价为元．在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． （1）写出日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式（不需自变量的取值范围）； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． （3）求商场销售该商品销售单价为多少元时每天销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 23. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 24. 综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武平三中2025～2026学年第一学期期中检测 九年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（    ） A. B. C. x D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6， ∴，， 解得：， 把代入原方程可得， ∴一次项是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 5. 对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的顶点式确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故错误，正确， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 故正确， 故选：C． 6. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得，，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】解：由题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为， 由图象可知，此拋物线的顶点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：C． 8. 已知二次函数的部分与的值如下表： … 1 2 4 … … 0 … 根据表格可知，一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解． 【详解】解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，， ∴时，， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 9. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为；④当时，菜园面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，矩形面积的计算，正确列方程及函数思想的应用是解题的关键．设边长为 ，设矩形菜园的面积为，根据每一个结论的条件列出相应的方程或函数解析式，结合给定条件的限制逐一进行判断即可． 【详解】解：设边长为 ，则边长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 菜园的面积为， , 整理得 解得，（不合题意，舍去）或， 的长有一个值满足菜园的面积为 ，故②不正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意，得， ， 当时 ，有最大值，最大值为200，故③正确； 当时，，解得，，故正确； 正确的有2个， 故选：． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8， ②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的对称轴知识，解题的关键是掌握顶点式的对称轴为直线，易错点是忽略对称轴是直线这一特点，只写的值而不写“直线”或“”的形式，通过抛物线的顶点式可直接确定对称轴． 【详解】给定抛物线为 ，该形式是顶点式， 其中，因此对称轴为直线． 故答案为． 12. 已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 13. 如图，将绕点A旋转到，，，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，角的和差计算，根据旋转可得，由此即可求解，掌握角的和差计算，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为：50． 14. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人． 【答案】11 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据题意可得第一轮被传染了之后有x人，即有患了流感，则第二轮能传染人，故可列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意可得方程， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一个人传染11人， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，注意第一轮患者人数是被传染的人加上原有患者是解题的关键． 15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 16. 二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有_________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①不正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 三、解答题（共86分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1）2（x－1）2＝18； （2）x2－2x＝2x＋1 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可； （2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可. 【详解】解：（1）2（x－1）2＝18 所以或， 解得：或； （2）x2－2x＝2x＋1 所以或， 解得：或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键. 18. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：，，． （1）点B关于x轴对称的点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）经过A、两点的直线相应的函数表达式是______． 【答案】（1） （2） 解：如图，为所作， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征和旋转的性质． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解； （2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A、B的对应点即可； （3）利用待定系数法求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴点关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设过A、两点的直线相应的函数表达式为， 由图形可知，， 分别代入得， 解得， 所以过A、两点的直线相应的函数表达式为． 故答案为：． 19. 如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【答案】（1），（2）6，（3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 21. 商场购进某种新商品每件进价为元．在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题． （1）写出日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式（不需自变量的取值范围）； （2）商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． （3）求商场销售该商品销售单价为多少元时每天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2） 解：不能，理由， ， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不能达到元； （3）元，元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意可得，然后通过即可判断； （）设销售利润为元，则，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设销售单价元，日销售量件， 由题意，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设日销售利润为元， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当销售该商品销售单价为元时每天销售利润最大，最大利润是元． 22. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 【答案】（1）抛物线的表达式为，拱顶到地面的距离为 （2）这辆货运汽车可以通过 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线解析式、二次函数的实际应用，结合函数性质分析实际问题是解题的关键． （1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法化成顶点式，从而得到点到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，计算自变量为的函数值，再将函数值与进行大小比较即可判断． 【小问1详解】 解：根据题意，将，分别代入，得 解得， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴， ∴拱顶到地面的距离为． 【小问2详解】 解：隧道内设双向行车道，车宽，对称轴为，取，代入抛物线解析式得 ， ∴这辆货运汽车可以通过． 23. 平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；②可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ②联立，解得或， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 24. 综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 【答案】（1），； （2），，，不能，理由： ∵收纳盒的高为厘米， ∴纳盒底面的长为厘米，宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为． ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ∵， ∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒； （3）不可以 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由题意得：收纳盒底面的长为厘米，宽为厘米，根据解得：，即可判断； （3）分类讨论若收纳盒的高为厘米，厘米，厘米，即可求解； 【详解】解：（1）可列出方程：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：，； （2）略 （3）若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入， 故答案为：不可以 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴求二次函数的解析式； 【小问2详解】 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $