精品解析：湖南省衡阳市祁东县育贤中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年下期育贤中学初三年级期中考试数学科试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 使式子有意义的实数x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x≤3且x≠0 C. x＜3 D. x＜3且x≠0 2. 若，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知2是关于的方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 或 4. 新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，则DF的值为( ) A. B. C. D. 1 7. 已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（　　） A. B. C. D. 8. 已知m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（m2﹣2m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值为（ ） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣3 D. 3 9. 商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（ ） A. 100元 B. 200元 C. 300元 D. 400元 10. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知最简二次根式与 是同类二次根式，则 a 的值是_______． 12. 观察分析，探求规律，然后填空：， 2， ， ， ，……，__________________．（请在横线上写出第100个数）． 13. 已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是______． 14. 若，则的值为__________. 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____． 16. 若是方程的根，则代数式的值是______． 17. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是____． 18. 如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解方程 （1） （2） 21. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一根小于3，求的取值范围． 22. 商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件． （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 24. 如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？ 25. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 26. 在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期育贤中学初三年级期中考试数学科试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 使式子有意义的实数x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x≤3且x≠0 C. x＜3 D. x＜3且x≠0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 【详解】使式子有意义的实数x的取值范围是：3﹣x≥0，且x≠0， 解得：x≤3且x≠0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2. 若，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例变形得，，由此即可求解． 【详解】解：已知， ∴A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原选项错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C ． 3. 已知2是关于的方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，即一元二次方程的解．解该题时，采用了因式分解法解一元二次方程． 将代入方程，得到关于的方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵2是方程 的根， ∴， 化简得： ， ∴，解得或． 故选：C． 4. 新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设彩纸的宽度为，则镶上宽度相等的彩纸后长度为，宽为，它的面积等于原来面积的倍，由此列出方程．解题的关键是理解：矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸后的面积是原来的倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 依题意，得：， 即． 故选：D． 5. 下列方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，此方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意； B、，，此方程有两个不相等的实数根， 此选项不符合题意； C、，此方程有两个相等的实数根， 此选项不符合题意； D、，此方程没有实数根，此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，则DF的值为( ) A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3， ∴ 即，解得DF=． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 7. 已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵AB=AC=6， ∴∠C=∠B=75°， ∴∠A=30°， ∵， ∴与△ABC相似的是选项C． 故选C． 8. 已知m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（m2﹣2m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值为（ ） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣3 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】将m、n代入方程可得：， ∴， 将其代入所求方程可得：(1+a)(3-7)=8， 解得：a=-3， 故选：C． 9. 商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（ ） A. 100元 B. 200元 C. 300元 D. 400元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查“一元二次方程的应用”，根据题意列出方程是解题关键． 设降价x元，根据题意，分别用x表示销售量和售价，根据利润（售价进价）销售量，列方程求解即可． 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知最简二次根式与 是同类二次根式，则 a 的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： 解得：或 当时，该二次根式无意义， 故 故答案为：3 12. 观察分析，探求规律，然后填空：， 2， ， ， ，……，__________________．（请在横线上写出第100个数）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，被开方数是 2的倍数，由此即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，……， ∴第n个数为， ∴第100个数为． 故答案为： 【点睛】本题是找规律的题目，根据题意得到被开方数与第几个数的关系是解题的关键． 13. 已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围． 【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x＋30＝0的两个根， ∴x1＋x2＝11，x1x2＝30， ∵（x1−x2）2＝（x1＋x2）2−4x1x2＝121−120＝1， ∴x1−x2＝1， 又∵x1−x2＜m＜x1＋x2， ∴1＜m＜11． 故答案为：1＜m＜11． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和． 14. 若，则的值为__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用二次根式的非负性质，求出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 解得： ∴. 故答案为-1. 【点睛】本题考查了二次根式的非负性质，解题的关键是根据非负性性质，得到两个非负数的和等于0，即每个式子都等于0. 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式求得，再代入求值即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴ 解得或（舍去） 将代入原式中 原式 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 16. 若是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 17. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】在和中， 解得 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18. 如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 【答案】7.5 【解析】 【知识点】此题考查了平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合． 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7.5． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算规则是解题的关键． （1）根据完全平方差公式和平方差公式去括号，然后合并同类项，进而完成计算． （2）先进行乘方运算，去绝对值，二次根式乘法运算，然后合并同类项，进而完成计算． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为 ∴ ∴或 ∴，． 21. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程有一根小于3，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意： ∴ ∵ ∴方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可证明； （2）利用因式分解，将转化为，即可得到方程的两根，根据方程有一根小于3即可计算的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将的左边因式分解得： ∴方程的两根为 ∵方程有一根小于3 ∴ 即的取值范围：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，其中各项及公式中的符号是易错点，第（2）问中，将方程的两根用m表示出来是解题的关键． 22. 商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件． （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）1800元 （2）每件商品应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量解答； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 （280﹣220）×30＝1800 （元）． ∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元． 【小问2详解】 设每件商品应降价x元， 由题意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝3600， 解得 x1＝20，x2＝30． ∵要更有利于减少库存， ∴x＝30． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 24. 如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？ 【答案】BC=6，BE=5 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得==，则可计算出BC=6，BF=BE，然后利用BE+BE=7.5求出BE的长． 【详解】∵l1∥l2∥l3，∴==，即==，∴BC=6，BF=BE，∴BE+BE=7.5，∴BE=5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 25. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】 （1）证明：∵DB平分， ，且， ， ， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长． 【详解】证明：（1）略 （2）， ， ，且， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 且， ． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 26. 在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1） （2） （3）秒或秒 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【小问1详解】 解：由题意得， 则， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； 【小问3详解】 解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $