圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2)①证明见详解，；②证明见详解，. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的最大值为3，所以； 因为当为椭圆上顶点时，为等边三角形，所以，解得， 所以，即椭圆的标准方程为. （2）①证明：由（1）知，; 设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，可得，即点在定直线上. ②证明：设，联立，得， 则有，解得，，即； 联立，得， 由得，，即； 设直线的斜率为， 当时，即时， 则. 所以直线的方程为， 即，所以直线过定点. 当，若，则,,此时直线的方程为； 若，则,,此时直线的方程为； 综上可得，直线恒过定点. 例2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰直角三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 (3)条，理由见解析 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线，由题意，， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，则，得， 即， 整理得， 则， 化简整理得，所以， 因为，所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线，于是， 由，则，得，即， 结合得，，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，也过定点； 综上，直线恒过定点. （3）假设存在直线满足条件，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，显然不符合； 当直线的斜率存在时，由（2）可知，， 又，代入展开整理得， 又，所以，所以， 又，所以， 构造函数，则， 令得，， 于是当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又， 根据零点存在定理可知函数在内有唯一零点， 于是函数在R上只有一个零点，即方程有唯一的实数根， 所以存在直线，使得是等腰直角三角形，这样的直线只有条. 例3．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. (1)设、分别为直线、的斜率，求的值； (2)若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 【答案】(1); (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由题意可得，． 设，则，，所以． 因为在椭圆上，所以，所以． 故； （2）设，，则 直线的方程为，直线的方程为， 由，消去，整理得：， 则，， ∴ 由，消去，整理得：, 则，， ∴ 所以 直线的方程为， 即 故直线PQ恒过定点.    （ii）由（i）知， 令，则， , 当时，取得最小值， 因为，所以. 设和的外接圆半径分别为， 由正弦定理得，所以. . 所以的最大值为. 变式1．（2025·广东·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.当为的上顶点时，. (1)求的方程； (2)过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）若的斜率不为0，记的中点为，（i）中的定点为的斜率为的斜率为，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）记的半焦距为，显然，而， 故，于是的方程为. （2）（i）证明：解法一：设， 当直线的斜率不为0时，设， 联立，得， 可得. 易知，故直线可表示为， 显然，故当时， ， 故直线过定点. 当直线的斜率为0时，易知过点. 综上所述，直线过定点. 解法二：由解法一得，直线可表示为， 显然，当时， ， 故直线过定点. 当直线的斜率为0时，易知过点. 综上所述，直线过定点. （ii）证明：由题意，而， 则 ， 则，故，为定值.    变式2．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)求线段长度的最小值. 【答案】(1) (2)过定点，定点为与 (3) 【详解】（1）由已知可得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）法1：设，已知，， 所以直线斜率为；直线斜率为， 所以， 又因为，所以， 设直线方程为，则直线的方程为， 所以，， 则以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. 法2：已知，，设， 由为椭圆上的点，可得即， 直线的方程为，令得：， 同理得：， 所以以为直径的圆的方程为， 即 由化简， ， 所以以为直径圆的方程为， 令，可得 所以该圆恒过定点与. （3）（3）由（2）知， 由对称性可设，所以， 当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为. 变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线与该椭圆相交于A，B两点. (1)求椭圆的方程； (2)若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由题可知，，而，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题设直线：，，， 联立直线方程与椭圆方程得：， ，，， 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， 所以， 将，代入化简可得，， 解得或. 当时，直线与椭圆的一个交点为右顶点，与题意不符，舍去． ∴，即直线过定点.    考点二 定值问题 例1．（25-26高二上·海南·月考）已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）∵椭圆的上、下两个焦点分别为， ∴，∵过点的直线与椭圆相交于两点，当轴时，， ∴，即， ∴，即， ∴，∴，即，解得或（舍）， ∴，即椭圆的标准方程为. （2）如图，直线与椭圆交于两点，设， 联立方程，得， 则，则，即或, 由韦达定理可得， 所以， 因为， 所以，综上，为定值0， ②点到直线的距离, 弦长, 即, 所以, 由于， 由均值不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 例2．（25-26高二上·陕西西安·期中）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，记动点M的轨迹为 (1)求C的方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交C于P，Q和S，T，满足证明：直线，的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为动点与定点的距离和点M到定直线l：的距离的比是常数， 可得， 化简整理得， 即曲线C的方程为； （2） （i）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. 例3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】(1) (2)直线和的斜率之积为定值； (3). 【详解】（1）由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； （2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； （3）设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为.    变式1．（25-26高三上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【答案】(1); (2)直线与椭圆相切，理由见解析; (3)证明见解析. 【详解】（1）    由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； （2）由题，，，所以，所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点，所以直线与椭圆相切； （3）证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆心。 已知圆，则圆心，半径；圆，则圆心，半径； 因为动圆与圆外切，且与圆内切，所以，； 则； 根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为； （2）①设过点的直线方程为，与椭圆联立： ，消去得：， 设，，由韦达定理得：，； 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 代入，，得：， 分子：， 分母：， 因此，代入斜率比得：， 故为定值； ②设的内心到三边的距离为， ，因，故， ，， 因此：， 直线：，由①知，故直线可写为：，即：，直线过和，斜率为，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得：， 代入的方程得，即； ，则：， ， 因为点在椭圆上，故由椭圆方程，得； 将代入化简得： ，. 由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，，， 因此：，； 故：， 因，故，所以，故：.    变式3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【详解】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 考点三 定直线问题 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 例2．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见详解 【详解】（1）设，，的中点，则，， 由，两式相减整理得，即， ，解得， 所以椭圆离心率. （2）在中，令，得，故， 由的中点为，故， 直线方程为，即， 所以椭圆的方程为. （i）由，设， 代入椭圆方程并整理得， 由，得，且， 直线与的距离， 结合的范围，得，， ， （ii）设的中点，直线与的交点为， 由（1）知，即，所以， 即弦的中点始终在直线上， 又，所以直线的方程为. 因为，所以直线与的交点始终在直线上， 即直线与的交点在定直线上. 例3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)； (3)在一条定直线上，此定直线为，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆上点，则，，， 在椭圆上，， ，，为定值； （2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，在直线，， ，， ， ，， ，， ，或， 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，不满足题意，舍去； 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，则直线l过定点； （3），，，，， 直线的方程为， ，直线的方程为， 联立和的交点为， 解得的的值为交点的横坐标， 整理得， 由（2）知，，代入， 得到 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，， ，， ， ，交点在定直线上. 变式1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 所以，得． 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，因，则, 得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上． 变式2．（25-26高二上·江苏常州·期中）双曲线，左、右顶点分别为为的右焦点. (1)是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程. (2)已知点，直线与交于A，B两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明：在定直线上. 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，所以为的中点，所以的面积是面积的2倍， 所以的面积等于的面积，所以，所以轴， 故直线方程为，联立得，即或， 又，所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或， 即或； （2）不妨设， 则， 因为均在上， 所以， 所以， 欲使，只需， 故只需，即， 联立整理得， 因为，所以且， 所以，所以只需，即，解得， 所以， 所以，即上存在点满足题设， 显然在定直线上，证毕. 变式3．（25-26高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆交于E、F两点（点E在点F的左侧），证明：直线与的交点在定直线上； (3)过点的直线与椭圆交于M、N两点（点M在点N的上方），过点M作直线轴，分别与、交于点P，Q，证明：P是的中点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由椭圆：，可得，，， 因为，可得. 又因为，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题知，直线必存在斜率且斜率不为0，且，，， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，，则，，所以， 由直线的斜率不为0知：且， 则直线的方程为，直线的方程为， 令， 可得， 所以，所以直线与的交点在定直线上. （3）当直线与x轴平行时，此时直线方程为，不合题意， 则设直线的方程为，设，，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，可得，所以点， 联立方程组，整理得， ， 由韦达定理可得，， 因为点在直线上，所以，所以， 所以，， 由，得， 又因为，则直线的方程为， 令，则， 则 ， 所以， 又由，即， 所以， 因为，则， 又点P，Q，M的纵坐标相同，所以P为的中点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 例2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰直角三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. (1)设、分别为直线、的斜率，求的值； (2)若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 变式1．（2025·广东·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.当为的上顶点时，. (1)求的方程； (2)过点作的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）若的斜率不为0，记的中点为，（i）中的定点为的斜率为的斜率为，证明：是定值. 变式2．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的离心率，且过点.设A，B为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于的动点，连结并延长交直线于点，连接并延长交直线于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)探究以为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)求线段长度的最小值. 变式3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线与该椭圆相交于A，B两点. (1)求椭圆的方程； (2)若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 考点二 定值问题 例1．（25-26高二上·海南·月考）已知椭圆的上、下两个焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于两点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 例2．（25-26高二上·陕西西安·期中）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，记动点M的轨迹为 (1)求C的方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交C于P，Q和S，T，满足证明：直线，的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值. 例3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 变式1．（25-26高三上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 变式3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 考点三 定直线问题 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 例2．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 例3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 变式1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，点在线段上，且与端点不重合． (1)求双曲线的离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线分别与轴交于点，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 变式2．（25-26高二上·江苏常州·期中）双曲线，左、右顶点分别为为的右焦点. (1)是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程. (2)已知点，直线与交于A，B两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明：在定直线上. 变式3．（25-26高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆交于E、F两点（点E在点F的左侧），证明：直线与的交点在定直线上； (3)过点的直线与椭圆交于M、N两点（点M在点N的上方），过点M作直线轴，分别与、交于点P，Q，证明：P是的中点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $