角平分线4种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

角平分线4种高频考点专项训练 角平分线4种高频考点专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 角平分线的性质与全等三角形综合 考点一 角平分线的性质 例1.(25-26八年级上辽宁鞍山月考)在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D,S.BC=4, BC=8,则AD的长为() B A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 【答案】B 【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E,如下图： D 由Sam-DExC-DE8=4将，DE=1 1 因为BD平分∠ABC, 故AD=DE=1. 故答案为：B. 例2.(25-26八年级上福建厦门期中)如图，∠A0B=94°，点D在∠A0B内，DE⊥0A于点E,DF⊥0B于点 F,连接OD,若DE=DF,则LBOD=() D E B A.44° B.45 C.46° D.470 【答案】D 【详解】解：DE⊥OA,DF⊥OB,DE=DF, 角平分线4种高频考点专项训练 OD平分∠AOB, 又∠A0B=94°， ∴∠BOD= ∠A0B=47°， 2 故选：D 例3.(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，点A,C分别为∠EBF两边上的点，∠ABC,∠EAC的平分线 BP,AP交于点P,过点P分别作PM⊥BE于点M,PN⊥BF于点N,连接PC，,若AC=I3,CN=3,则AM的长 为() M A B CNF A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解：作PF⊥AC于点F, E M F B CN F ~∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE于点M,PN⊥BF于点N, ∴PM=PN,PM=PF,∠AMP=∠AFP=∠CNP=∠CFP=90°， ∴PN=PF, ∴点P在LACF的平分线上， CP平分∠ACF, 在△AMP和△AFP中， ∠AMP=∠AFP ∠MAP=∠FAP, AP=AP 角平分线4种高频考点专项训练 AAMP≌△4FP(AAS, 同理△CNP≌aCFP(AAS), ·AM=AF,CN=CF, AM +CN=AF+CF, AF+CF=AC,AC=13,CN=3, .AM=AC-CN=13-3=10. 故选：D. 例4.(25-26七年级上·山东淄博·期中)如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5,BD平分∠ABC,若M,N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是一· D M B 【答案】6 【详解】解：过C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作MN'⊥BC于N',如图： E 、M' D M BD平分∠ABC,ME⊥AB,MN'⊥BC, B N :MN'=ME, CE=CM'+ME=CM'+MN'是CM+MW最小值， 此时M与M'重合，N与N'重合， :三角形ABC的面积为15，AB=5, 2x5-CE=15, 1 CE=6. 即CM+MN的最小值为6. 故答案为：6 例5.(25-26八年级上吉林长春·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相交于 点P,过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于H,则下列结论： 角平分线4种高频考点专项训练 F B D ①SAACD:S△ABD=AC:AB; ②∠APB=135°； ③PF=PA; ④BD+AH=AB, 其中正确结论的序号是 【答案】①②③④ 【详解】解：~AD是∠BAC的平分线， ∴点D到AC、AB的距离相等， 设该距离为h, 叉5m-分4C-h,SmB-h, 1 S。ACD:SABD=AC:AB,①正确、 在RtAABC中，∠ACB=90°， ∠BAC+∠ABC=90° AD、BE是角平分线， ∠PAB=∠BAC,∠PBA=∠ABC, 1 2 ÷∠PAB+∠PBA=∠BAC+∠ABC)=45°， ∠APB=180°-45°=135°，②正确. ×∠APB=135°， ∴∠BPD=45°. PF⊥AD, ∴∠FPD=90°，∠FPB=45°， ∠APB=∠FPB=135°. 又BP=BP,∠ABP=∠FBP, AABP≌△FBP(ASA), ∴PF=PA,③正确， 角平分线4种高频考点专项训练 由△ABP≌△FBP,得AB=FB,PA=PF· ×∠APH=∠FPD=90°， ∠PAH+∠ADC=∠PFD+∠ADC, ·∠PAH=∠PFD AAPH≌△FPD(ASA), ∴AH=FD. FB=BD+FD, 六AB=BD+AH,④正确. 故答案为：①②③④. 例6.(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90,点D在ABC外，∠BCD=135°，且 BD平分∠ABC.以下结论：①CD平分ABC的外角∠ACE;②LBAC=2LBDC;③AC平分∠BAD;④ ∠BDA=45°；其中正确的结论是（填写序号）. 【答案】①②④ 【详解】解：①在Rt△ABC中，∠BCA=90°， LACE=180°-∠BCA=90°， :∠BCD=135°， .∠ACD=∠BCD-∠BCA=45°， .LECD=LACE-∠ACD=90°-45°=45°， LACD=∠ECD=45°， CD平分∠ACE, 即CD平分ABC的外角∠ACE, 故结论①正确； ②BD平分∠ABC, :设∠ABD=∠CBD=Q, .∠ABC=2a, 在Rt△ABC中，∠BCA=90°， ∴.∠BAC=90°-∠ABC=90°-2a, 角平分线4种高频考点专项训练 :LECD=45°，∠ECD是△CBD的外角， :ZECD ZCBD+ZBDC, 45°=u+∠BDC, ∠BDC=45°-a, ∠BAC=2LBDC, 故结论②正确； ③过点D作DH⊥BE于点H,DF⊥AC于点F,DK⊥BA,交BA的延长线于点K,设BD与AC相交于点P,如 图所示： D BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACE, H E :DK=DH,DH=DF, :.DK =DF, 又：点D在LKAC的内部， DA是∠KAC的平分线， ∠BAC=90°-2， .∠KAC=180°-∠BAC=90°+2a, :∠CAD=∠K4C=45°+a, 2 :∠BAC≠∠CAD, :AC不是∠BAD的平分线， 故结论③不正确； ④在Rt△BCP中，∠BPC=90°-LCBD=90°-a, .∠APD=∠BPC=90°-a, 在△APD中，∠BDA=180°-（∠CAD+∠APD)=180°-（45°+a+90°-a=45°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④. 故答案为：①②④ 变式1.(25-26八年级上·湖北随州期中)如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长 BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数() 6 角平分线4种高频考点专项训练 ①CP平分∠ACF;②LABC+2LACP=-180°；③∠ACB=2∠APB;④SAPAC=S△MP+SANCP· M B NE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：①如图，过点P作PD⊥AC于D, E M A B CNF ∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF, :.PM =PN PM PD, :.PM PN PD, PN⊥BF,PD⊥AC, ·CP平分∠ACF,故①正确，符合题意； ②~PM⊥BE,PN⊥BF, ∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， .∠ABC+∠MPN=180°， 在RtAPAM和Rt△PAD中， PM=PD PA=PA ∴.Rt△PAM≌RtAPAD(HL), ∴∠APM=∠APD, 同理可得：RtAPCD≌RtAPCN (HL, ∠CPD=LCPN, 7 角平分线4种高频考点专项训练 ·∠MPN=2∠APC, LABC+2LAPC=180°，故②错误，不符合题意； ③~PA平分∠CAE,BP平分∠ABC, ∠CE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,PAM-A8c+∠AP8, ∴∠ACB=2LAPB,故③正确，符合题意； ④由②可得：Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),RtAPCD≌RtAPCN (HL, 六SAPD=SAPM,Sacro=SacP￥， ∴SAPAC=S△MP+S△NCP,故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C. 变式2.(25-26八年级上·青海西宁期中)如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长 BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的是() ①CP平分LACF;②2LABC+LAPC=I80°；③∠ACB=2∠APB;④S△PAc=SAMAP+SANCP E M ■ B CN A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】C 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D, M B -F ~PB平分∠ABC,PA平分LEAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, 2PM PN,PM PD :.PM PN PD, PN⊥BF,PD⊥AC, d 角平分线4种高频考点专项训练 ∴点P在LACF的角平分线上，所以结论①正确； ②PM⊥AB,PN⊥BC, LABC+90°+∠MPN+90°=360°， ∠ABC+∠MPN=180°， 在RtAPAM和Rt△PAD中， (PM=PD PA=PA’ Rt△PAM≌Rt△PAD(HL), ·∠APM=∠APD, 同理：RtAPCD≌RtAPCN(HL), ∠CPD=LCPN, ∠MPN=2∠APC, ∠ABC+2LAPC=180°，所以结论②错误； ③PA平分∠CAE,BP平分∠ABC, LCHE=LAC+L4CB=2ZPAM,∠PMM-ABc+∠AP, ∠ACB=2∠APB,所以结论③正确； ④由②可知RtA PAM≌RtAPAD,RtAPCD≌Rt PCN, ∴SAPD=S。APM'SCPD=S.CPN, ∴S。APM+S,CpN=SAPc,所以结论④正确， 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：C. 变式3.(25-26七年级上山东泰安期中)如图，在ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O, AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论：①点O到ABC的三个顶点的距离相 等，②∠408=90+号C:@当∠C=60防，4F+8E=48:④若00=a,AB+BC+C4=26,则5=，共 中正确的是() 9 角平分线4种高频考点专项训练 0 B ED A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②③④ 【答案】D 【详解】：AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线， :根据角平分线的性质，点O到ABC三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等， ①错误； 在ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°， .∠BAC+LABC=I80°-LC, :AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线， 201B=B4C,<0B1= ZABC, 在A0B中，∠A0B=180-(∠01B+∠0BA-∠BAC+∠ABC =180°-2180°-∠C) 2 =90+C,改②正痛 当∠C=60°时，∠BAC+∠ABC=180°-60°=120°， :AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线， 208+20A=∠B4C+AC-x12r=60. 在A0B中，∠A0B=180°-（∠0AB+∠0BA=180°-60°=120°， 则∠A0F=LB0E=60°， 在AB上取一点H,使得BH=BE, H :BF是∠ABC的角平分线， B ED ∴.∠HBO=∠EBO, 10角平分线4种高频考点专项训练 角平分线4种高频考点专项训练 考点目录 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的作图问题 角平分线的性质与全等三角形综合 考点一 角平分线的性质 例1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）在中，，平分交于，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 例2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 例4．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 例5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于，则下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的序号是 ． 例6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，点在外，，且平分．以下结论：①平分的外角；②；③平分；④；其中正确的结论是 （填写序号）． 变式1．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是（    ） ①平分；②；③；④ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 变式3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 变式4．（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 变式5．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为 ． 变式6．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，平分，．若，，则 ． 考点二 角平分线的判定 例1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 例2．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 例3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点，于点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 例4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，连接，过点作于点，边、的延长线交于点，且，．求证：是的平分线． 变式1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，的外角、的平分线交于点，过点作，，垂足分别为、． (1)若，，求的度数； (2)连接，证明：平分． 变式2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 变式3．（24-25八年级下·江西景德镇·阶段练习）已知，如图所示，，是的中点，平分．连接． (1)是否平分？请证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 变式4．（25-26八年级上·天津·期中）如图，已知，，相交于点M，，． (1)试判断与的数量与位置关系，并说明理由． (2)连接，求的度数 考点三 角平分线的作图问题 例1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站P，使得驿站P到公路、、的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 例2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，． (1)求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 例3．（25-26八年级上·青海西宁·月考）动手画一画． (1)画出的边上的高，垂足为D． (2)在三角形内找出一点E使其到三角形三边的距离相等（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 变式1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，点在边上． (1)请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，则的长为_____． 变式2．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，点在边上． (1)尺规作图：作的平分线，交于点． (2)过点作于点，连接，若，，，求的长度． 变式3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，如图四边形中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点E，连接（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 考点四 角平分线的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 例2．（25-26八年级上·广东湛江·期中）【情境】图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，求的面积． 例3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究． (1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______． (2)已知 ，平分，平分． ①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______． ②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由． ③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示） 例4．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知平分，定点在射线上，与射线交于点，与射线交于点，且，当时，的长为． (1)试说明： ①， ②； (2)如图，当点在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，当点在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 变式1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 变式2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)若，，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (2)当时，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 变式4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在中，，，是的高，点在高上，． (1)如图（1），求证； (2)如图（2），点在的延长线上，，求证； (3)如图（3），是外一点，，，求证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $