角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 考点目录 角度的四则运算 角平分线的相关计算 余角和补角的相关计算 考点一 角度的四则运算 例1.(24-25七年级上福建泉州期末)若∠1=5435'，则2∠1的度数下列表达正确的是() A.10435 B.10835 C.10870' D.10910' 例2.(24-25七年级上山西运城期末)已知∠1+∠2=90°，若∠1=2732'，则∠2的度数为() A.6332 B.6228 C.6232 D.6328 例3.(25-26七年级上·上海阶段练习)计算：9216-4657'=一· 例4.(25-26七年级上广东广州阶段练习)如图，∠B1C和∠D1E都是7030 的角.若D1C=27°30 则 ∠BAE的度数为一· 变式1.(24-25七年级上辽宁铁岭期末)如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合， 已知∠1=28°40'，则∠2的大小是() 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 A.3120 B.5840' C.5720 D.6240' 变式2.(24-25七年级上天津河西·期末)下列计算结果错误的是() A.18°+38°=56° B.90°-3850'=6110' C.2117'×5=10625 D.360°÷5=72° 变式3.(25-26七年级上内蒙古阶段练习)5518+27°45'=一· 变式4.(25-26七年级上·黑龙江阶段练习)计算：36°55'+3215'=一， 2 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 考点二 角平分线的相关计算 例1.(25-26七年级上河南周口期中)如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠D0E=90°. (1)若∠AOD=35°，求∠COE的度数： (2)若∠AOD=a,求∠COE的度数（用含a的代数式表示）. B 例2.(25-26七年级上山东济南期中)如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD,OE分别是 ∠AOB,∠BOC的平分线， (1)若∠A0C=20°，求∠D0E的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角∠AOC的大小如何，∠DOE的度数始终为∠AOC的一半.他的结论是否正 确？请判断，并说明理由. B 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 例3.(25-26七年级上河北唐山期中)如图，已知∠AOC:∠BOC=13,OD平分∠AOB,且∠COD=36°， 求∠AOB的值， B D 例4.(25-26七年级上河北秦皇岛期中)如图，0为直线DA上一点，∠A0B=130°，OE是∠A0B的平分线， ∠FOB=90°. B E (I)求∠DOB的度数. (2)求∠AOF和∠FOE的度数 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 变式1.(25-26七年级上陕西西安期中)如图，∠COD=2∠BOD,∠BOD=12°，OE平分∠AOC. (1)求∠BOC的度数. (2)若∠AOB=64°，求∠E0B的度数. C D 变式2.(24-25七年级上广东广州阶段练习)如图，O是直线CE上一点，以0为顶点作∠AOB=90°，且OA, OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD (1)当∠AOC=60°时，求∠DOE的度数： (2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由. B E D 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 变式3.(25-26七年级上河南周口期中)如图，己知∠AOB=120°，OC平分∠AOB,OD平分∠B0C,求 ∠AOD的度数. (要求：写出解题过程并注明理由) 变式4.(23-24七年级上·吉林辽源期末)已知，O是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分∠BOC. (1)如图①，∠AOC=45°，求∠DOE的度数： (2)在图①，∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数；（用含a的代数式表示） (3)将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度数之间 的关系 A B D 图① 图② 6 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 考点三 余角和补角的相关计算 例1.(25-26七年级上浙江杭州阶段练习)如图，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC,OE平分 ∠AOC (1)求出∠AOB及其补角的度数： (2)求出∠DOC和∠COE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补： B诺B0C=a,∠10C=B,则∠D0E与<408 是否互补？请说明理由. 例2.(25-26七年级上广西桂林阶段练习)如图，直线AB,CD相交于点O,以O为观察中心，射线OA表示正 北方向，射线OC表示正东方向，即∠AOC-90°，射线OE,OF的方向如图所示，且OE⊥OF. (1)如图1，若射线OE的方向为北偏东40°.请说明∠AOF与∠COE互为补角. (2)如图2， OM平分∠COE,ON平分∠DOE,求证：∠DON=∠MOF. 北 北 A A E M D C D C 西 东 西 东 南 南 图1 图2 > 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 例3.(25-26七年级上河北唐山期中)如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是 ∠AOC、∠AOD的平分线 M D B (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为∠AOC与∠AOD互补 所以<A0C+∠A0D= ∠AOC+∠ =180 又因为 所以= 根据 ,求<AOw ∠MOC=70° (2)若 的度数。 例4.(25-26七年级上：广东深圳阶段练习)如图，已知点0是直线AB上一点，∠BOC=100°，∠COD=90°， OM平分∠AOC. (1)求∠MOD的度数： (2)若∠COP与∠COM互余，求∠COP的度数. D 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 变式1.(25-26九年级上广东·期中)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起 (其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°) (①)若∠DCE=40°，则∠ACB的度数为： (2)若点E在AC的上方，设∠ACB=a(90°<a<180°)，求∠DCE.(用含a的式子表示) 变式2.(25-26七年级上福建厦门阶段练习)如图，点0在直线AB上，∠D0E=90°，∠AOC=140°，OD平分 ∠AOC (1)求∠AOD的度数： (2)求∠BOE的度数： (3)OE是否平分∠BOC？试说明理由. D E B 9 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 变式3.(25-26七年级上·江苏南通阶段练习)如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角. (1)若 ∠BOD=20°25' 求<BC 的度数 (2)若 B0C=4B0D,OF平分40C,求<10 的度数. C D 变式4.(25-26七年级上山西运城·阶段练习)O是直线AC上一点.己知射线OB,OD是不与OC重合的两条射 线，且射线OB,OD在直线AC的同一侧，∠AOB与∠BOD互为补角，OE平分∠AOB (1)如下图，若∠AOB=150°，则∠AOD的度数为，∠DOE的度数为 (2)若∠DOE=30°，求∠AOB的度数. D ⊙角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 角度的四则运算、角平分线的相关计算、余角和补角的相关计算专项训练 考点目录 角度的四则运算 角平分线的相关计算 余角和补角的相关计算 考点一 角度的四则运算 例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，则的度数下列表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 例2．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 例3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）如图，和都是的角．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 则． 故答案为： 变式1．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得： ， ， 故选：． 变式2．（24-25七年级上·天津河西·期末）下列计算结果错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·内蒙古·阶段练习） ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 考点二 角平分线的相关计算 例1．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，O是直线上一点，是的平分线，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵O是直线上一点， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，，是内部的一条射线，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)小明通过作图观察发现，无论锐角的大小如何，的度数始终为的一半．他的结论是否正确？请判断，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)正确，理由见解析 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴． ∴； （2）解：小明的结论正确，理由如下： 设（为锐角），则：， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， 即无论的大小如何，始终为的一半． 例3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【详解】解：平分， ， ， ， ． 例4．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 变式1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 变式2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图，已知，平分，平分，求的度数． （要求：写出解题过程并注明理由） 【答案】的度数为 【详解】解：∵平分（已知），（已知）， ∴（角平分线的定义） ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（角的和差关系）． 变式4．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 考点三 余角和补角的相关计算 例1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 例2．（25-26七年级上·广西桂林·阶段练习）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东．请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）由题意得， ∵，， ∴， ，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 例3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 例4．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 变式1．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 变式2．（25-26七年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 变式3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】解：因为与互为补角，与互为余角， 所以． （1）因为，所以． 故答案为：． （2）因为，所以，所以， 所以． 又因为平分，所以． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·山西运城·阶段练习）O是直线AC上一点．已知射线OB，OD是不与OC重合的两条射线，且射线OB，OD在直线AC的同一侧，与互为补角，OE平分． (1)如下图，若，则的度数为________，的度数为________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵与互为补角， ∴． ∵平分 ∴， ． 故答案为：，； （2）解：设，则． 因为OE平分， 所以． 分以下两种情况讨论： ①当射线OE在的外部时（如图①）， ． 因为， 所以， 解得，即； ②当射线OE在的内部时（如图②）， ． 因为， 所以，解得，即． 综上所述，的度数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $