精品解析：山西省部分学校2025-2026学年上学期九年级阶段测评三数学试题

2025-2026学年九年级上册阶段测评三数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：北师大上册全部 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段的判断．根据成比例线段的定义，如果四条线段中，其中两条的乘积等于另外两条的乘积，则它们成比例．通常，将线段排序后，检查最小与最大的乘积是否等于中间两个的乘积． 【详解】解：选项A：，，，故不成比例． 选项B：，，，故不成比例． 选项C：，，，故不成比例． 选项D：，，，故成比例． 故选D． 2. 如图，一个圆柱体被截去一部分，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看是一个的矩形少了一个角， 如图所示：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是树立空间观念，准确识图，注意：看见的棱是实线． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的解的问题，把方程的根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程：， 解得 ， 故选：C． 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：∵ 点在该函数图象上需满足， A：，∴不在图象上； B：，∴不在图象上； C：，∴ 不在图象上； D：，∴ 满足方程，在图象上； 故选 ：D． 5. 如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（ ） A. 越长 B. 越短 C. 一样长 D. 随时间变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】作图连线，即可找出规律，进行判断. 【详解】由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短， 故选：B． 【点睛】 本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度． 6. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 7. 从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： 所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种， 恰好抽到马鸣和杨豪的概率是， 故选C. 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，，，再通过公式 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根分别为 、， ∴ ，， ∴ ， 故选：D． 9. 如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 10. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 【详解】∵BF⊥AC ∴∠BMC=90° 又∵ ∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC ∴∠DNA=∠BMC=90° ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB ∴∠ADB=∠CBD ∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM 在△AND与△CMB ∵ ∴△AND≌△CMB(AAS) ∴AN=CM，DN=BM，故①正确． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE与△CMF中 ∵ ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴NE=FM，AE=CF，故③正确． 在△NFM与△MEN中 ∵ ∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴∠FNM=∠EMN ∴NF∥EM，故②正确． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB 又根据矩形性质可知DF∥EB ∴四边形DEBF为平行四边 根据矩形性质可知OD=AO， 当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB ∴四边形DEBF为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选D． 【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 同一时刻，小明在阳光下的影长为米，与他邻近的旗杆的影长为米，小明的身高为米，则旗杆的高为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设旗杆的高度约为，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的值即可． 【详解】解：设旗杆的高度约为， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得：（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵ 因式分解得：（x-4）（x-5）=0， 解得：x=4，或 x=5， 分两种情况： 当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形； 当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形； ∴菱形ABCD的周长=4AB=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键． 13. 一个圆柱的三种视图如图所示．则这个圆柱的体积为______． 【答案】24π 【解析】 【分析】根据主视图确定圆柱的高为6，根据俯视图确定圆的直径为4即半径为2，利用公式计算即可． 【详解】∵ ∴圆柱的高为6，圆的直径为4即半径为2， ∴圆柱的体积为==24π， 故答案为：24π． 【点睛】本题考查了圆柱的三视图，圆柱的体积，熟练读懂三视图，确定圆柱的高和直径是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，已知点E是的中点，点F是上一点，且，连接，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质得到，由题意，推出，进而得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 15. 如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是___________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 16. 如图，已知直线y＝mx＋4分别与y轴，x轴交于A，B两点，且△ABO的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB的中点，则反比例函数的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出于A，B两点坐标，设AB的中点为C，求出C点的坐标即可． 【详解】解：设AB的中点为C， 当x=0时，y＝4，即AO=4， ∵△ABO的面积为16， ∴, ∴, 过点C作CD⊥AO，垂足为D, ∵AB的中点为C， ∴DO=2，CD=4，即C点的坐标为（4,2）， 设反比例函数解析式为，把C点的坐标代入得， ， 解得，， 反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数求解析式和三角形中位线的判定与性质，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数的相关知识，利用中位线求出点的坐标． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 18. 如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，试求树高． 【答案】树高等于米． 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，过点作于点，可得四边形是矩形，则米，米，所以，则，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即树高等于米． 19. 如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】略 20. 乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种在某站公开赛中，某直播平台同时直播4场男单四分之一比赛，四场比赛的球桌号分别为“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（假设4场比赛同时开始），小宁和父亲准备一同观看其中的某一场比赛，但两人的意见不统一，于是采用抽签的方式决定，抽签规则如下：将正面分别写有数字“1、“2”、“3”、“4”的四张卡片（除数字不同外，其余均相同，数字“1”、“2”、“3”、“4”分别对应球桌号（“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（背面朝上洗匀，父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，比较两人所抽卡片上的数字，观看较大的数字对应球桌的比赛 （1）下列事件中属于必然事件的是　 　 A．抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号 B．抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号 C．小宁和父亲抽到同一个球桌号 D．小宁和父亲抽到的球桌号不一样 （2）用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率 【答案】（1）D;（2） 【解析】 【分析】（1）根据随机随机和必然事件的定义进行判断； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）因为父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，所以小宁和父亲抽到的球桌号不一样，它为必然事件． 故选D； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4，所以小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 22. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，连接在的右下方构造正方形，连接，延长，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上的点的特点，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解本题的关键是用方程的思想解决问题． （1）过点作轴于点,设，则，，，在中，，求出的值，由等面积法求出点A的坐标，即可求出的值； （2）过点作轴于点，证明，求出点的坐标，由待定系数法即可求出直线的解析式． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点． ， 设，则， ，． 点的坐标为， ． 在中，， ，解得（负值舍去）． ，． ， ． ． 点A的坐标为． ． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点． ． ． 又， ． 又， ． ，． ∴点的坐标为． 设直线的关系式为， ∵点，在直线上， ，解得， ∴直线的解析式为． 23. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________； （2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1）正方形； （2） 理由如下：如图，连接，由（1）知： ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠知： ∴ 又， ∴ ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形； （2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有； （3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处 ∴ ∴ ∵ ∴四边形的形状是正方形 故最后答案为：四边形的形状是正方形； （2）略 （3）∵，∴ 由折叠知：，∴ ∵ ∴ 设，则 在中，由勾股定理得： 解得：，即 如图，延长交于点G，则 ∴ ∴ ∴ ∵，∴ ∴ 【点睛】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键； （2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键； （3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册阶段测评三数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：北师大上册全部 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个圆柱体被截去一部分，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（ ） A. 越长 B. 越短 C. 一样长 D. 随时间变化而变化 6. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 7. 从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 同一时刻，小明在阳光下的影长为米，与他邻近的旗杆的影长为米，小明的身高为米，则旗杆的高为________米． 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 13. 一个圆柱的三种视图如图所示．则这个圆柱的体积为______． 14. 如图，在正方形中，已知点E是的中点，点F是上一点，且，连接，若，则_____． 15. 如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是___________． 16. 如图，已知直线y＝mx＋4分别与y轴，x轴交于A，B两点，且△ABO的面积为16，反比例函数的图象恰好经过AB的中点，则反比例函数的表达式为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，试求树高． 19. 如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形． 20. 乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种在某站公开赛中，某直播平台同时直播4场男单四分之一比赛，四场比赛的球桌号分别为“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（假设4场比赛同时开始），小宁和父亲准备一同观看其中的某一场比赛，但两人的意见不统一，于是采用抽签的方式决定，抽签规则如下：将正面分别写有数字“1、“2”、“3”、“4”的四张卡片（除数字不同外，其余均相同，数字“1”、“2”、“3”、“4”分别对应球桌号（“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（背面朝上洗匀，父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，比较两人所抽卡片上的数字，观看较大的数字对应球桌的比赛 （1）下列事件中属于必然事件的是　 　 A．抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号 B．抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号 C．小宁和父亲抽到同一个球桌号 D．小宁和父亲抽到的球桌号不一样 （2）用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率 21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，连接在的右下方构造正方形，连接，延长，与轴交于点，点的坐标为，且． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 23. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________； （2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $