第三章 勾股定理 单元测试卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第三章《勾股定理》单元测试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（   ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图，点E在正方形的边上，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点表示，点是原点．以点为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，每个直角三角形的面积为，则小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 10．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A．27 B．36 C．40 D．45 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以所在的点为旋转中心，将过点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是 ． 12．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 13．如图，在一个直角三角形纸片中，，将其折叠，恰使边落在斜边上，点落在点处，折痕交边于点，则的长为 cm． 14．如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 15．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 16．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．） 17．（8分）如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 18．（8分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 19．（8分）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 20．（8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 21．（10分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 22．（10分）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 23．（10分）如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 24．（10分）【问题探究】（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图，四边形中，，，，，，求的值． 参考答案 一、单项选择题 1．B 【详解】解：A、， 此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、， 此时三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C、， 此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．A 【详解】解：设原三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， ∵直角三角形的各边都扩大4倍， ∴则新三角形的三边分别为，， 由题意知，， ∵， ∴得到的新三角形是直角三角形． 故选：A． 3．B 【详解】解：由是正方形可知：, 又∵， ∴ ∴根据正方形的面积公式可知 故选：B 4．B 【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 5．B 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 7．C 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故选：C． 8．A 【详解】解：直角三角形的直角边长为，，每个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 小正方形的面积为． 故选：A ． 9．A 【详解】解：如图所示， 将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴，即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：． 10．D 【详解】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 二、填空题 11． 【详解】解：正方形的边长为1， 对角线的长为：， 点A表示的数是：， 故答案为：． 12． 【详解】解：如图，，，， ∴， 根据平移性质可得地毯的长度至少需， 故答案为：． 13． 【详解】解：∵ ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．10 【详解】解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 15．2026 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 16． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 17．（1）解：， ∴是的中垂线， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 18．（1）解：∵米，（米），， ∴（米）； （2）解：根据题意可知：（米）， ∴（米）， ∴米， 即游船向岸边移动的距离为米． 19．（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 20．（1）解：由题意可知m，m，，m． 在中，由勾股定理， 得， m（负值已舍去）， m． 答：风筝的垂直高度为m． （2）如答图，风筝沿方向下降m至处，保持不变，连结，此时m． 在中，m， m， 小明应该往回收风筝线m． 21．（1）由题意得，， 故答案为：、； （2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 22．（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 23．（1）解： ， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 24．（1）解：， 理由如下： ， ， ，， 在和中，， ， ； （2）解：如图所示， 在的外部作，使，，连接、， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示， ，， 是等边三角形， ，， 将绕点沿逆时针方向旋转得到，连接， 则，， 是等边三角形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $