数感，2026届高三考生培养“不可忽视”的指标（备考素材）

数感，2026届高三考生培养“不可忽视”的指标 近期，在给某江苏知名教辅品牌解析《38套》中其中一套试题时，（这解析的过程，其实也是向命题人学习的过程），当解析到2026届南京市高三零模第8题，笔者除了“三角恒等变换+代数运算”的通性通法以及“破题的关键联想”之外，让笔者更感叹的是解法2中对于数字的敏锐洞察。 在解析试题时，我常常思考：命题组负责出这道题的老师，也是这么做的么？他是怎么设计这道题的呢？怎么设计这些数据的呢？当我从这一角度思考的时候，豁然开朗，于是有了解法2（巧解：基于对数字的敏锐观察）的撰写。 在写解法2的时候，我又在思考：我们出题的依据是什么呢？让学生考这样的题目的初衷是什么呢？于是想到本题与2024年全国1卷第11题、2025年全国1卷第11题的关联。尤其是，“数感”的一脉相承（2025年全国1卷第11题C选项中的“”、本题得出的数据“”），让人眼前一亮！ 【2026届南京市高三零模第8题】 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 参考答案 D 知识与技能：星形线参数方程+三角恒等变换+代数运算能力. 解法1（通性通法：三角恒等变换+代数运算） 第1步 代入消元：将参数方程代入条件，得：，又，则，； 将参数方程代入条件，得：（*）； 第2步 三角转化： 又 ，（关键联想：看到联想到立方和公式，而，这也是破题的关键） 结合可知：，则， 故， 则，代入（*）式，得： 解法2（巧解：基于对数字的敏锐观察）同解法1，得到：；观察这个数值，可尝试将其分解为两个平方和为1的数的乘积（这是“观察”的关键）。注意到： ，且. 因此，（或） 代入，得：，可知 验证满足所有的条件，且为选项D. 【解法对比】解法1需要一定的三角恒等变换与代数运算能力，尤其是看到，要能联想到立方和公式，这是解题的关键；解法2基于对数字的敏锐观察（数感），观察到可以被分解为两个平方和为1的数的乘积，进而得出和的值，从而绕过三角恒等变换的复杂过程，实现快速求解。 【考情速递】2024年全国1卷第11题考察的是形如“丝带”的有理曲线，本题考察“星形线”也可以视作其考察风格的延续，但不同的是本题偏向于三角变换的考察。这一点，又可视作2025年全国1卷第11题的延续（考察点：三角变换、解三角形等）。另外，在“数感”的考察上，2025年全国1卷第11题的C选项“”，数感好的考生可以从联想到常见的（）和（），从而合理猜测三角形为自己熟悉的直角三角形；而在本题中，数感好的考生可以将分解为两个平方和为1的数的乘积，可谓“一脉相承”！ 【出题背景】星形线是一条具有丰富几何性质的内摆线（一个半径为的圆在一个半径为的固定圆内部滚动时，圆上一点的轨迹）。其直角坐标方程为，这解释了为什么参数方程是的形式。本题中，条件和实际上是在星形线上定义了一个特殊的点P. 【数感训练】 （2025年全国1卷第11题）已知的面积为，，，则 A. B. C. D. 答案：ABC （变式训练）在中，，，则面积最大值为__________________ 答案： 【数感，与命题人的沟通】 我们认可有锲而不舍精神、按部就班的学生，也欣赏数感好的、有数学眼光的学生。 从2025年全国1卷高考数学第8题以及2026届南京市高三零模第8题可以看出：数感，不是一个抽象的词语，它已经实实在在地走进了我们的考试中！ 它不是简单的猜测，而是对数据的联想、对试题的揣测！ 数感，在考试中，有时是与命题人的一种沟通，一种“心领神会”！ 常年带高三毕业班的数学老师经常说：有时候，你看压轴题中的一些数据，它往往是解题的“突破口”！你看，“数感”一直都在！只是常常被忽视。 数感，2026届高三考生培养“不可忽视”的指标！ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $