5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“同角三角函数的基本关系”，通过“终边相同角的三角函数值关系”提问导入，结合单位圆交点坐标与勾股定理推导平方和商数关系，衔接公式一构建知识支架，帮助学生形成从已知到新知的认知脉络。 其亮点在于以几何直观（单位圆）培养数学眼光，通过“知一求二”分象限讨论、“齐次化切”多解法对比等分层题型设计发展数学思维，总结解题步骤与题型特点规范数学语言。例1分类求三角函数值、例2三种解法拓展思路，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

5.2.2 同角三角函数的基本关系 思考:公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等.那么,终边相同的角的三个三角函数之间是否也有某种关系呢? 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,所以它们之间一定有内在联系.由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 同角三角函数的基本关系 如图,设点 P(x,y)是角 的终边与单位圆的交点,过 P 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 M,则 ∆OMP 是直角三角形,且 OP = 1,由勾股定理有: . 因此 ,即 根据三角函数的定义,当 时,有 . A M O P 显然,当 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. 也就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1;商(有意义)等于角 的正切. 同角三角函数的两个基本关系式: 和 中有sin ,cos ,tan 这三个量,故知道其中一个即可求出另外两个. 步骤: 第一步,先根据条件判断角所在的象限; 第二步,确定各三角函数值的符号; 第三步,利用基本关系求解. 例1 已知 ,求 cos ,tan 的值. 由 得 ; 如果 是第三象限角,那么 .于是 ,从而 如果 是第四象限角,那么 .于是 ,从而 解:因为 , ,所以 是第三或第四象限角. 利用基本关系式“知一求二”的两种题型 题型一. 已知sin (或cos ),求cos (或sin ),tan . 利用基本关系式“知一求二”的两种题型 题型二. 已知tan ,求cos ,sin . 1.(1)若 ,且 是第三象限角,求 cos ,tan 的值; (2)若 ,求 sin 的值. 分析: 对(1)中明确 是第三象限角,所以只有一种结果; 对(2)中未指出角 所在象限的情况,需按 所在象限讨论、分类求解,一般有两种结果. (2)因为 , 是第二、四象限角, 由 ,可得 . 当 是第二象限角时, ; 当 是第四象限角时, . 解:(1)因为 , 是第三象限角, 所以 , . 齐次化切 例2.已知 ,求下列各式的值. (1) ; (2) ; (3) . 解:(1)法一:因为 ,所以 , 所以 . 法二:因为 ,所以 , 所以 . 法三:由 ,可得 , ,代入原式即可. 解:(2)法一:因为 ,所以 , 所以 . 法二:因为 ,所以 , 所以 . 法三:由 ,可得 , ,代入原式即可. 解:(3)法一:因为 ,所以 , 所以 法二:因为 ,所以 , 所以 法三:由 ,可得 , ,代入原式即可. “齐次化切”适用题型特点 (1)式子由正弦、余弦组成; (2)分式结构或可化成分式结构; (3)每一项次幂相同. 2.已知 ,求下列各式的值. (1) ; (2) ; (3) . 解:由题 , (1)原式 ; (2)原式 ; (3)原式 . 与 的关系 由 ,可知 上述方程中有: , , ,这三个量,所以知道其中一个可以求出另外两个. 例3.已知 为第二象限角,且 ,求 , 的值. 解:因为 , 所以 , 所以 , 又因为 是第二象限角,所以 , , 所以 ,所以 . 3.已知 , ,求 tan 的值. 分析: 又因为 ,所以 , ,则 解:由 ,得 , 因为 , 所以 , 由①②解得 , , 所以 . 1.如果 是第二象限角,下列各式中成立的是( ) A. B. C. D. 解:由商数关系可知A、D均不正确,当 为第二象限角时,cos <0,sin >0,故B正确. A 2.已知 是第四象限角, ,则 等于 ( ) A. B. C. D. 解:由条件知 . B 3.已知 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 解:因为 B 4.已知 , ,求 的值. 解:将 两边同时平方, 得 ,即 , 又因为 ,所以 , , 所以 , 可得 ,所以 , , . 同角三角函数的两个基本关系式: 和 中sin ,cos ,tan 这三个量,知一可求其二. 步骤:第一步,先根据条件判断角所在的象限; 第二步,确定各三角函数值的符号; 第三步,利用基本关系求解. “齐次化切”适用题型特点: (1)式子由正弦、余弦组成;(2)分式结构或可化成分式结构;(3)每一项次幂相同. 这两个式子中sin +cos ,sin -cos ,sin cos 这三个量,知一可求其二. $