精品解析：广东省汕头市金平区金园实验中学2025-2026学年八年级上学期数学期中考试卷

金园实验中学2025-2026学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 说明： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟； 2、考生须用黑色水笔在答题卷上作答． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ） A. 两边之和大于第三边 B. 对称性 C. 稳定性 D. 全等性 2. 已知三角形两边的长分别是2和6，第三边的长为偶数，则第三边的长是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（ ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D. 6. 如图，于点D，于点E．添加下列一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于边与的和；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤ 二、填空题，本大题5小题，每小题3分，共15分． 10. 已知等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的底边长是___________． 11. 已知：如图，P、Q是边上两点，且，则___________度． 12. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则______． 13. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为___________ 14. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 15. 如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是直角三角形吗？为什么？ 16. 如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 17. 小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出BE=DE，∠B=∠D=90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD=8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 19. 如图，在中，点D为边的中点，，，E，F为垂足，， （1）求证：； （2）求证：平分． 20. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤： 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置． 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为，， 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 应用： （1）如图1组合图形分割为长方形和中，，，，以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形的重心点的坐标为___________，长方形的重心点的坐标为___________，长方形形的面积为___________．长方形的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________； （2）如图2，直角梯形，，，，求直角梯形的重心坐标 22. 已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且．若的边长为3，，求的长．（利用备用图探究） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金园实验中学2025-2026学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 说明： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟； 2、考生须用黑色水笔在答题卷上作答． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ） A. 两边之和大于第三边 B. 对称性 C. 稳定性 D. 全等性 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选：C． 2. 已知三角形两边的长分别是2和6，第三边的长为偶数，则第三边的长是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是2和6， ∴第三边， 即第三边， ∵第三边的长为偶数， ∴第三边的长是6， 故选：C 3. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则m的值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（ ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，于点D，于点E．添加下列一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理，逐一判断，即可解题． 【详解】解：于点D，于点E． ， ， A、，“” 不能证明，符合题意； B、，“”能证明，不符合题意； C、，“”能证明，不符合题意； D、，“”能证明，不符合题意； 故选：A． 7. 如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为文柱（即底边的中线），两根支撑架，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．先根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，两式相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出和的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即与的长度之比是， 故选：C． 9. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于边与的和；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到，从而得到和都是等腰三角形；②同①有，所以；③由②得：的周长为：；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：， ， 中，与的平分线交于点， ， ， ， 即和都是等腰三角形； 故①正确； ，故②正确； 的周长为：； 故③正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 故④错误； 由题意知，， ∴ 故⑤正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键． 二、填空题，本大题5小题，每小题3分，共15分． 10. 已知等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的底边长是___________． 【答案】 2或8 【解析】 【详解】解：若8为腰长，则底边长为，此时三边为8、8、2，满足，故成立； 若8为底边长，则腰长为，此时三边为5、5、8，满足，故成立， 因此底边长为2或8， 故答案为：2或8． 【分析】本题考查了等腰三角形中的分类讨论及三角形三边关系的应用，分8为腰长和8为底边长两种情况，利用周长公式计算另一边长，并验证是否满足三角形三边关系． 11. 已知：如图，P、Q是边上两点，且，则___________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 12. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和，再利用三角形内角和求出． 【详解】解：处在处的南偏西方向，处在处的北偏东方向， ， 处在处的南偏东方向， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算． 13. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为___________ 【答案】（3，-3） 【解析】 【分析】根据余角的性质，可得∠GHP=∠HKQ，根据全等三角形的判定与性质，可得KQ，HQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案． 【详解】解：作GP⊥y轴，KQ⊥y轴，如图， ∴∠GPH=∠KQH=90°． ∵GH=KH，∠GHK=90°， ∴∠GHP+∠KHQ=90°． 又∠HKQ+∠KHQ=90°， ∴∠GHP=∠HKQ． 在△GPH和△HQK中， ∵∠GPH=∠HQK，∠GHP=∠HKQ，GH=KH， Rt△GPH≌Rt△KHQ（AAS）， KQ=PH=4﹣1=3；HQ=GP=4． ∵QO=QH﹣HO=4﹣1=3， ∴K（3，﹣3）， 故答案为（3，﹣3）． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出KQ，HQ是解题关键． 14. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 连接，由垂直平分线的性质得到，，若要的周长取最小值，则三点共线，即为与的交点，的周长为，最后代入求解即可． 【详解】解：为边的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，且， 连接，如图， 依题意得，， 的周长， 的周长的最小值为14， 故答案为：14. 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 15. 如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是直角三角形吗？为什么？ 【答案】 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 16. 如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角的和差关系及解含的直角三角形． （1）先根据角平分线的定义，得出，再由是的高，依据直角三角形两锐角互余可得，最后根据角的和差关系求得结果； （2）先根据三角形内角和得出，再利用解含的直角三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 解：∵，是的角平分线， ∴， 又∵，是的高， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴在中，． 17. 小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出BE=DE，∠B=∠D=90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD=8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由． 【答案】 解：河宽为8m． 理由如下： 在和中， ， ∴． ∴m． 【解析】 【分析】河宽为8m，理由如下：由于，，对顶角相等，利用“角边角”，可以判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质求解． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据角的运算得到，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“”字形得到，最后进行等量代换求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 记交于点， 有， ， ，， ． 19. 如图，在中，点D为边的中点，，，E，F为垂足，， （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵点D为边的中点， ∴， 又∵，， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴是底边上的中线， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了中点的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及等腰三角形三线合一的性质． （1）根据中点的定义可知，由已知，，，根据“”证得，进而得出； （2）根据（1）的结论判断的形状，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤： 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置． 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为，， 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 应用： （1）如图1组合图形分割为长方形和中，，，，以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形的重心点的坐标为___________，长方形的重心点的坐标为___________，长方形形的面积为___________．长方形的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________； （2）如图2，直角梯形，，，，求直角梯形的重心坐标 【答案】（1），，12，20， （2） 【解析】 【分析】本题考查了重心的应用，平均数及矩形的性质． （1）将组合图形分割为长方形和后，根据素材2计算即可； （2）过点B作，将直角梯形分成长方形和，再根据素材1和素材2计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知， 在长方形中，，， ∴点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为， ∴长方形的重心的坐标为， ∴长方形中，，， ∴点C坐标为，点D坐标为，点E坐标为，点F坐标为， ∴长方形的重心的坐标为， 长方形的面积，长方形的面积， ，， ∴重心坐标为． 故答案为：，，12，20，． 【小问2详解】 解：如图，过点B作， ∴直角梯形分成了长方形和， 对于长方形，∵，，， ∴长方形的重心的坐标为，面积， 对于，∵，，， ∴， ∴的重心的坐标为，面积， ，， ∴重心坐标为． 22. 已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且．若的边长为3，，求的长．（利用备用图探究） 【答案】（1）= （2） ， 理由：如图，过点E作，交于点F， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）7或1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证明，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证明为等边三角形，得，再证明，得，即可得出结论； （3）①过点E作，交于点F，同（2）得为等边三角形，，则，，即可得出答案； ②过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， 利用平行线的性质得到，随即证得为等边三角形，通过等腰三角形三线合一定理得出对应边的长度，再通过线段间的等量关系计算得出答案． 【小问1详解】 解：∵在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，交的延长线于点F， 同（2）得，为等边三角形，， ∴， ∴， ∵的边长为3， ∴， ∴． ②如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， ∵为等边三角形 ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，即等边的边长为7， ∵， ∴根据等腰三角形三线合一定理，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 同理可得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $