精品解析：广西壮族自治区柳州市第三十五中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

柳州市第三十五中学2025-2026学年度上学期段考测试卷八年级数学 （全卷满分120分，考试时间共120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，能构成三角形，故B正确； C、，不能构成三角形，故C错误； D、，不能构成三角形，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件进行判断． 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，根据指数运算的基本规则（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及合并同类项），逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴A错误。 B、∵，∴B错误。 C、∵，∴C错误。 D、∵，∴D正确． 故选：D． 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，左右两边不相等，不是因式分解，不符合题意； D．，等式右边是乘积形式，是因式分解，符合题意； 故选：D． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 6. 如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质、对顶角相等即可得． 【详解】解：A、无法判断，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、由对顶角相等得：，则此项正确，符合题意； D、因为，所以，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握三角形的外角性质和对顶角相等是解题关键． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 10. 在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接， ∵，，， ∴， ∴ 又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键． 根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， 故选：． 12. 在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是单项式乘法运算，根据单项式乘法的法则，系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加直接进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 14. 如图，已知，，，则的度数为_____． 【答案】##37度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；连接，过点B作于点H，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点H，如图所示： ∵是的平分线，， ∴， ∵，点C是的中点， ∴； 故答案为． 16. 如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 通过证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. (1)化简：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． (1)先用单项式乘以多项式，平方差公式展开，再合并同类项； (2)先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】(1)解： ； (2) ． 18. 如图，某中学校园内有一个长为米，宽为米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化． （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积； （2）当时，求绿化面积． 【答案】（1）平方米； （2）绿化的面积为74平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，正确列式、代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）绿化的面积=长方形的面积－边长为米的正方形的面积，据此列式计算即可； （2）把a、b的值代入（1）题中的代数式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 平方米； 【小问2详解】 解：当时，． 所以绿化的面积为74平方米． 19. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形， 理由如下： ∵， ， 由（1）得， ， 为直角三角形． 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理即可求解； （）由平行线的性质可得，进而由三角形内角和定理可得，据此即可判断求解； 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 20. 已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由可证，可得． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 【问题呈现】借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图①，图②是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图①__________，图②____________；（用字母的代数式表示） 【数学思考】利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【拓展运用】如图③，点是线段上一点，以为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和，若，，直接写出的面积．（用表示）． 【答案】问题呈现：；；数学思考：（1）25；（2）4052；拓展运用： 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解题意是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）令，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：问题呈现： 由图①得，； 由图②得，； 故答案为：；； 数学思考： （1）∵， ∴， ∵，， ∴； （2）令，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展运用： 设，， 则，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 22. 【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知； （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若不全等，请举出反例． 【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【答案】（1）； （2）如图②所示；不一定； （3）结论：． 理由：如图③中，作交的延长线于G．作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）②③ 【解析】 【分析】（1）根据即可判断； （2）画出图形，可知两个三角形不一定全等． （3）结论：．如图③中，作交的延长线于G，作交的延长线于H．利用3次全等解决问题即可； （4）利用（1）（3）中结论即可解决问题； 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， 故答案为． （2）如图②中，通过作图知， 存在满足条件，但不与全等； 故答案为：不一定 （3）略 （4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等． 故答案为②③． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，若，，求边上的中线取值范围． 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_______，（填序号：①；②；③；④） （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是____________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． 【初步运用】（3）如图②，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【实际运用】（4）如图③，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图③所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】（1）①；（2）； （3）证明：延长到点F，使，如图， ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，中点与中线的性质应用，解决本题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）根据全等三角形的判定即可得出答案； （2）根据三角形三边的关系可求出的取值范围，再根据即可求出长的取值范围； （3）延长到点F，使，先证明，得到，，再证明，得到，即可证明； （4）如图，延长与交于点，证明，得出，，利用线段的和差求出的长，再证明，得到，即可解答． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴． 故答案为：①． （2）由（1）知，， 在中，， 则有，即， ∵， ∴，即． 故答案为：． （3）略 （4）如图，延长与交于点， ∵的中点为D， ∴， 由题意得，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市第三十五中学2025-2026学年度上学期段考测试卷八年级数学 （全卷满分120分，考试时间共120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分） 1. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 10. 在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 14. 如图，已知，，，则的度数为_____． 15. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是_____． 16. 如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. (1)化简：． (2)因式分解：． 18. 如图，某中学校园内有一个长为米，宽为米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化． （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积； （2）当时，求绿化面积． 19. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 20. 已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 21. 【问题呈现】借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图①，图②是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图①__________，图②____________；（用字母的代数式表示） 【数学思考】利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【拓展运用】如图③，点是线段上一点，以为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和，若，，直接写出的面积．（用表示）． 22. 【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知； （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若不全等，请举出反例． 【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 23. 【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，若，，求边上的中线取值范围． 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_______，（填序号：①；②；③；④） （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是____________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． 【初步运用】（3）如图②，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【实际运用】（4）如图③，为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图③所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $