5.1.2 等式的性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.1.2等式的性质同步练习 一、单选题 1．把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，根据等式性质变形为，那么，必须符合的条件是（    ） A． B． C． D．，为任意有理数或式子 6．若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 8．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 9．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 二、填空题 10．如果，那么 ，其依据是 ． 11．如果，那么 ． 12．已知与互为相反数，那么 ． 13．如果，根据等式的性质填空． 14．用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的． （1）若，则 ， ． （2）若，则 ， ． （3）若，则 ， ． （4），则 ， ． 15．若，则的值是 ． 16．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如表格所示，这是一个三阶幻方，则的值为 ． 0 a 4 c b 三、解答题 17．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知等式，你能比较和的大小吗？ 19．已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 20．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 21．已知，利用等式的基本性质，求的值． 22．20个质量分别为1，2，3，…，19，20克的砝码放在天平两边，正好达到平衡． (1)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡 ； (2)试将砝码①，②，…，⑳（①，②，…分别代表1克，2克，…的砝码）分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡 ． 23．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 24．有张相同的长方形纸片，各边长如图所示，将它们拼成较大的长方形共有张不同的方式，如图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ．    (1)分别求出如图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中长方形周长、、和； (2)通过计算、、，说明图Ⅰ中周长最大； (3)如果在图Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中有两个长方形周长相等，求出和的等量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质进而分析即可求解． 【详解】解： 方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断． 【详解】解：A、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； B、如果，那么原变形不正确，故此选项符合题意； C、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； D、因为，且，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决问题的关键． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 5．C 【分析】当时，由得到，则，即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，根据等式性质变形为，那么，必须符合的条件， 故选：C 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 【详解】A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A、等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； B、在等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； C、由 ，得，故本选项正确； D、在等式的两边同时加上，得到，故本选项错误． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 9．D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 10． 等式的基本性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可． 【详解】解： 故答案为：，等式的基本性质1 11． 【分析】本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等是解答此题的关键． 根据题意，可知第一个等式等号右边为，第二个等式等号右边为，因为，所以等号两边同时加． 【详解】解：两边同时加，得； 故答案为： 12． 2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 13． 5 m 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 14． 根据等式的性质1，等式两边同时减5 根据等式的性质2，等式两边同时除以 根据等式的性质1，等式两边同时加 18 根据等式的性质2，等式两边同时乘3 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． （1）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时减5； （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同除以； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时加；（4）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同乘3． 【详解】（1）若，则，根据等式的性质1，等式两边同时减5． （2）若，则，根据等式的性质2，等式两边同时除以． （3）若，则，根据等式的性质1，等式两边同时加． （4）若，则，根据等式的性质2，等式两边同时乘3． 故答案为：（1），根据等式的性质1，等式两边同时减5；（2），根据等式的性质2，等式两边同时除以；（3），根据等式的性质1，等式两边同时加；（4）18，根据等式的性质2，等式两边同时乘3； 15． 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把等号两边同时除以4得出，等号两边再同时减去即可得答案． 【详解】解：， 等号两边同时除以4得：， 所以， 所以的值是． 16．7 【分析】本题考查列代数式，等式的基本性质．根据“幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”可得，再根据等式的基本性质变形即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故答案为：7 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同时减去8，得， 所以； （2）解：方程两边同时乘以，得， 所以； （3）解：方程两边同时减去7，得， 化简，得， 方程两边同时除以，得； （4）解：方程两边同时加，得， 化简，得， 方程两边都乘12，得，整理得， 方程两边都除以5，得． 【点睛】本题运用了等式的基本性质．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 18． 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 【详解】解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 19． 【分析】利用等式的性质即可求解． 【详解】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 20．(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 21．． 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：， 根据等式的基本性质，两边同时加，得 ， 即， 根据等式的基本性质，两边同时除以，得 ， 即． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质1．弄清天平两边正好达到平衡，每边的质量和为105克是解题的关键． （1）将砝码①，③，…，⑳放在天平一边，砝码②，④，…，19克放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码即可； （2）将砝码①，②，…，14克放在天平一边，砝码15克，16克，17克，18克，19克，⑳放在天平另一边，根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 【详解】（1）解：天平一边是砝码①，③，…，⑳，天平另一边是砝码②，④，…，19克，两边每次取质量和为21克的偶数个砝码； （2）解：天平一边是砝码①，②，…，14克，天平另一边是砝码15克，16克，17克，18克，19克，20克，从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能再使天平保持平衡． 23．①等式的基本性质二，乘法分配律；②三，移项时没有变号（移项时未变号）；③见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律， 故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号（移项时未变号）， 故答案为：三，移项时没有变号（移项时未变号）； ③    第三步，     第四步，     第五步． 24．(1)，，， (2)见解析 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解； （2）根据整式的加减进行计算，根据得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时；②当时，分别得出关系式 【详解】（1）解：根据题意得： ， ，，， （2）， ，，即， ， ， 同理得：，，即最大； （3）， ， ，即， 当时，，即； 当时，，即． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减运算，等式的性质，熟练掌握数形结合是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $