4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质及应用，通过复习教材例7的两种解法（基本公式与二次函数模型）导入，搭建旧知与新知的联系，形成学习支架。 其亮点是注重性质推导与多解法对比，如证明{Sn/n}成等差数列培养逻辑推理，典例用等长片段和性质简化计算提升运算能力，结合《算法统宗》问题渗透数学建模。课堂小结系统梳理性质，助力学生构建知识网络，教师可提高教学效率，学生能深化理解并提升应用意识。

4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 学习目标 1.理解并会用等差数列前n项和的性质.(重点) 2.能灵活求解等差数列奇偶项和的问题.(难点) 3.能构造等差数列求和模型，解决实际问题. 刘雨萌 [教材21页例7] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 求这个等差数列的前n项的和? 思考 对于上节课的这道例题中的等差数列，还有其他解法求Sn吗？ 解法： 复习引新知 刘雨萌 新知探究 教材P25 若是等差数列，则成等差数列吗？如果是，表示出其首项和公差. 证明： 性质2 刘雨萌 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质2还可以怎样解？ 解法2： 典例分析 刘雨萌 学习笔记18页问题1分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则成等差数列吗？ l 证明：设的首项为，公差为，则 ， ∴ , . ∴， 即成等差数列，计算可知其公差为. 新知探究 (等长片段和性质) 刘雨萌 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质3还可以怎样解？ 解法3： 典例分析 刘雨萌 l 新知探究 练透91页第10题 在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 方法二　设等差数列的通项公式为an=an+b(a，b为常数)， 则得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a(m+n)+b=0. 性质3 已知am=n，an=m，am+n=0 方法一　设公差为d， 则d===-1，从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 刘雨萌 新知探究 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，m≠n，则Sm+n=-(m+n). 若Sn=Sm=，m≠n，则Sm+n=0. 刘雨萌 ___________ ______________ 中间两项和 中间项 新知探究 刘雨萌 知识梳理 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差 为___. 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，m≠n，则Sm+n=-(m+n). 4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 学习笔记18页 刘雨萌 学习笔记18页例1 (1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且= (n=1，2，…)，则+等于 A. B. C. D. 典例分析 √ 因为数列{bn}是等差数列， 所以b3+b18=b6+b15，所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)， 所以+=====. 刘雨萌 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 典例分析 方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10=100，S100=10， ∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 方法二　∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列， 设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10，解得d=-22， ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 刘雨萌 方法三　由也是等差数列，构造新的等差数列b1==10，b10==， 则d=(b10-b1)=×=-， 所以b11==b10+d=+=-1， 所以S110=-110. (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 方法四　直接利用性质Sn=m，Sm=n， Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110. 典例分析 刘雨萌 反思感悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 刘雨萌 跟踪训练1 等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 跟踪训练 √ 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 刘雨萌 作差？作比？ nd (n项) (n项) 新知探究 刘雨萌 作差？作比？ an (n-1项) (n项) 新知探究 刘雨萌 知识梳理 等差数列的奇(偶)项和的性质 (1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则有： ①S2n=n(an+an+1)； ②S偶-S奇=nd，=(an≠0，且S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、 偶数项和). (2)设等差数列{an}的项数为2n-1(n≥2，且n∈N*)，则S2n-1=(2n-1)an(an是 数列的中间项)，S奇-S偶=an，=. 学习笔记19页左侧知识梳理 刘雨萌 学习笔记19页例2 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得即 ∴ ∴首项为，项数为8. 刘雨萌 学习笔记19页例2 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，项数为8. 刘雨萌 跟踪训练2 (1)等差数列{an}共2 025项，求它的奇数项和与偶数项和之比. 由题意知等差数列{an}共有1 013个奇数项，1 012个偶数项， ∴S奇=，S偶=. ∵a1+a2 025=a2+a2 024，∴=. (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 刘雨萌 1：若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t 满足p＋q=s+t， 则ap＋aq ＝as＋ at 等差数列及前n项和的性质 特别地，当m＋n＝2k (m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak 2： 组成公差为md的等差数列 3：若{an}与{bn}均为等差数列，则数列{man+k bn} (m，k为常数)仍为等差数列 5： 4： 课堂小结 刘雨萌 等差数列及前n项和的性质 课堂小结 刘雨萌 1 2 3 4 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于 A. B. C. D. √ 由等差数列的性质知S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差数列， 设S3=k，S6=4k，则S9=3S6-3S3=9k，S12=3S9-3S6+S3=16k，所以 =. 随堂演练 刘雨萌 1 2 3 4 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 √ 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=-3的等差数列，且九项之和为207. 故S9=9a1+d=9a1-108=207，解得a1=35. 刘雨萌 1 2 3 4 3.一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则公差d为　　. 设首项为a1，公差为d， 则由题意可得解得 又S偶-S奇=6d，∴d=5. 综上所述，公差为5. 5 刘雨萌 1 2 3 4 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=-2，-=2，则= 　 　. 2 022 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和， ∴是等差数列，设其公差为d. ∵-=2，∴2d=2，d=1. ∵a1=-2，∴=-2， ∴=-2+(n-1)×1=n-3， ∴=2 025-3=2 022. 刘雨萌 1.基础性作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P24的练习1——4题； (3)课本P24题4.2第1-12题. 2.拓展性作业 练透95页作业4 1-10必做，11-14选做，15、16拓展研究 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵ 是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， $