精品解析：广东省深实高中园、惠东高级中学2025-2026学年高三上学期第二次联考数学科试卷

2025-2026学年度第一学期深实高中园、惠东高级中学 高三年级第二次联考数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像. 【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C. 故选：B. 4. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合临界值判断即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以. 故选：A. 5. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 6. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面几何知识可得正方形的面积依次构成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求解. 【详解】作出示意图如图所示： 第一个正方形是，记为， 由平面几何知识可得第二个正方形的边长为， 所以正方形的面积为，记为， 依次类推可得第三个正方形的面积为，记为， 可得第个正方形的面积为， 所以正方形的面积可依次排成一个以为首项，为公比的等比数列， 所以前11个正方形的面积和为. 故选：D. 7. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数的周期为，进而求出，进而求出函数解析式和函数值. 【详解】由题意可知该函数的周期为，所以， f(x)＝tan 2x，所以 故选：D 【点睛】本题考查了正切函数的周期，考查了运算求解能力，属于基础题目. 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4， 因为为奇函数，所以② 令，由②得，所以， ①中令，得，所以， 令，得，所以， 综上，， ，， 所以 ， 由函数的周期性得，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设，则当取得最大值时， D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解. 【详解】A，若，则，即，故A正确； B，若，则，所以，故B错误； C，，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故C正确； D，因为， 所以 ， 则的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 在正四棱柱中，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理即可判断选项A；由线面垂直的判定定理即可判断选项B；依题意可得为对角线与底面所成的角，进而求出的正切值即可判断选项C；先证明平面，再根据求出四面体的体积，进而即可判断选项D. 【详解】对于选项A，因为，平面平面， 所以平面，故A正确； 对于选项B，因为为中点，且，，则， 则，， 则，所以， 又在正四棱柱中，有平面，且平面， 所以， 又，且，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C，在正四棱柱中，有平面， 所以为对角线与底面所成的角， 又，，则， 则，所以，故C错误； 对于选项D，在正四棱柱中，有， 又平面，所以平面， 所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得，进而得，从而有，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 又等比数列的首项为，且，所以，解得，所以， 则， 故答案为：. 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：由， 所以， 则， 因为在锐角中，，则， 由正弦定理得，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得，结合已知锐角三角形、正弦边角关系有，即可证明； （2）由同角三角函数关系及三角变换公式求得，由得，由余弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为三角形内角，故， 由平分得， 由得， ， 所以，解得. 由得，，所以. 所以. 16. 已知数列满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律； （2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和． 【小问1详解】 由题意知，，，，，，…，，，从而． 【小问2详解】 由（1），所以． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得的值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 18. 如图所示，正四棱锥中，点E是棱PB的中点，． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）连接 ，，连接 ， 因为 是 中点，点 是棱 的中点， 则， 因为平面 ，平面 ，所以平面 ． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）连接 ，，连接 ，根据中位线得出，从而可得平面 ； （2）（ⅰ）设 ，建立空间直角坐标系，根据向量法结合异面直线 与 所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （ⅱ）假设存在点F，设，使 平面 ，计算得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）在正四棱锥 中， 平面 ， ， 所以两两垂直， 以 为坐标原点，所在直线分别为 ，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由 ，则，设 ， ， 则， 所以， 又异面直线 与 所成角的余弦值为， 所以，解得， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 易得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，则； （ii）设线段 上存在点 ，且， 因为， 设，， ， 又因为， 平面PBC， 所以， 所以，解得 ， 当 时， 平面 ， 所以 平面 ， 所以当时， 平面 . 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 【答案】（1）证明：函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数； （2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数； （3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点. 【小问3详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以. 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期深实高中园、惠东高级中学 高三年级第二次联考数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 6. 正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 7. 函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设，则当取得最大值时， D. 的最大值为 10. 在正四棱柱中，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 13. 若，且，则__________. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分． （1）求证：； （2）若，求的值． 16. 已知数列满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在内的最大值为2，求的值. 18. 如图所示，正四棱锥中，点E是棱PB的中点，． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $